Analisi Vettoriale A.A Soluzioni del Foglio 4

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1 Analisi Vettoriale A.A Soluzioni del Foglio 4 Esercizio 4.1. Sia Σ la superficie cartesiana z = 1 x y, (x, y) = {x 2 + y 2 1}, determinare in ogni punto di Σ il versore normale diretto nel verso delle z crescenti, determinare l area di Σ, ed esaminare il collegamento tra essa e l area del cerchio. L equazione z = 1 x y si legge piú agevolmente come x + y + z = 1, il piano dello spazio determinato dai tre punti (1,, ), (, 1, ), (,, 1). La superficie Σ é la porzione di tale piano sopra al cerchio x 2 + y 2 1, geometricamente un ellisse. Il versore richiesto é ν = 1 3 {1, 1, 1} L area si calcola con la formula relativa alle superfici cartesiane 2π Area(Σ) = 1 + fx 2 + fy 2 dx dy = dθ 3 ρ dρ = π 3 L area del cerchio vale π, l area della superficie Σ vale di piú: il legame é Area(Σ) ν z = Area() tenuto presente che ν z = cos( ν z). Esercizio 4.2. eterminare l area della superficie cartesiana Σ z = 3x 2 + 2y 2, (x, y) = { x2 4 + y2 9 1}. Si tratta ancora di una superficie cartesiana (un paraboloide ellittico): z x = 6x, z y = 4y, 1 + zx 2 + zy 2 = x y 2 1

2 2 Area = x y 2 dx dy La regione si rappresenta parametricamente con { x = 2ρ cos(θ) ρ [, 1], θ [, 2π] y = 3ρ sin(θ) Lo Jacobiano della trasformazione é J = 2 cos(θ) 3 sin(θ) 2ρ sin(θ) 3ρ cos(θ) = 6ρ L integrale doppio che fornisce l area si esprime pertanto con Area = = 2π 2π dθ (2ρ cos(θ)) (3ρ sin(θ)) 2 6ρ dρ = ( ρ2 6ρ dρ = ) 145 π π Si osservi come l area della superficie sia molto superiore all area, 6π, della regione, l ellisse di semiassi 2 e 3, su cui si rappresenta. Esercizio 4.3. ato il tetraedro Ω = {x, y, z, x + y + z 1}, e detta la sua frontiera, calcolare l integrale superficiale xyz d σ. La frontiera del tetraedro Ω é composta di quattro (tetra) triangoli: tre di essi appartengono a piani coordinati x =, y =, z = e il quarto T ha vertici (1,, ), (, 1, ), (,, 1) Solo su quest ultimo la funzione integranda é diversa da zero: pertanto xyz d σ = xyz d σ La superficie triangolare T é la superficie cartesiana Pertanto z = 1 x y, T x 1, y 1 x

3 3 T xyz d σ = x 1, y 1 x xy(1 x y) 3 dx dy = 3 12 Teniamo presente che la superficie T su cui si calcola l integrale superficiale é un triangolo equilatero di lato 2 e quindi di area 3/2, la funzione integranda, xyz, prende sui punti di tale superficie valori compresi nell intervallo [, 1/27] il valore I dell integrale pertanto deve soddisfare le diseguaglianze 3 I 54 cosa che effettivamente avviene... Esercizio 4.4. Sia F = {x + y, z, x } : calcolare il flusso ν dσ di F uscente dal cubo Q = { x 1, y 1, z 1}. Q Il flusso uscente si puó calcolare col teorema della divergenza ν dσ = div( F ) dx dy dz Tenuto conto che si ha Q volume del cubo Q. Q Q div( F ) = 1 ν dσ = Q dx dy dz = 8 Osservazione. Il valore trovato sarebbe rimasto lo stesso anche se il campo F fosse cambiato in F = {x + s(y), q(z), p(x) } con s(y), q(z), p(x) funzioni C 1 ma del tutto arbitrarie... La divergenza del campo infatti non sarebbe mutata!

4 4 Esercizio 4.5. Assegnata la semipalla Ω = {x 2 + y 2 + z 2 1, z } determinare il versore normale esterno ν a (la sua frontiera), dato il campo scalare f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, determinare l espressione delle derivata, dν calcolare l integrale superficiale dν dσ, ricavare tale integrale servendosi del teorema della divergenza. Il versore normale sui punti della semisfera é ν = {x, y, z} mentre su quelli del cerchio che delimita Ω inferiormente riesce ν = {,, 1}. Sulla semisfera Σ = f ν = {2x, 2y, 2z} {x, y, z} = 2 dν sul cerchio base C = f ν = {2x, 2y, 2z} {,, 1} = 2z = dν avendo tenuto conto che su tale cerchio riesce z =. Si ha pertanto dν dσ = 2 dσ = 4π Σ avendo tenuto conto che l area della semisfera di raggio 1 vale 2π Il teorema della divergenza avrebbe fornito dν dσ = f ν dσ = div( f) dx dy dz = Ω = {f xx + f yy + f zz } dx dy dz = 6 dx dy dz = 4π Ω avendo tenuto conto che il volume della semipalla di raggio 1 vale 2/3 π. Esercizio 4.6. Sia C la curva dello spazio di equazioni parametriche x = cos(t), y = sin(t), z = cos(t) + sin(t) t [, 2π] determinare il versore tangente τ alla curva C orientata nel verso delle t crescenti, Ω

5 determinare il lavoro C τ ds essendo F = {y, x, z}, determinare, dandone la rappresentazione parametrica, una superficie di cui C sia il bordo, esprimere il lavoro richiesto precedentemente tramite il teorema di Stokes. 5 Nella curva assegnata si riconosce z = x + y, si tratta quindi di una curva che appartiene a tale piano. L espressione di x e di y fanno riconoscere la curva come intersezione del cilindro dello spazio x 2 + y 2 = 1 con il piano z = x + y : la curva é pertanto un ellisse. τ = sin(t) cos(t) { sin(t), cos(t), sin(t) + cos(t)} Il lavoro richiesto é, per definizione, C 2π F τ ds = {cos 2 (t) sin 2 (t)} dt = Era del resto evidente che il campo assegnato F fosse conservativo..., essendo irrotazionale e definito in tutto lo spazio (un suo potenziale é φ(x, y) = xy + z2 ). Per applicare il teorema di Stokes avremmo potuto 2 comunque sfruttare l osservazione che la curva C é un ellisse giacente nel piano z = x + y per scrivere: C τ ds = rot( F ) ν dσ = (,, ) (1, 1, 1)dσ =, se denota la porzione del piano racchiusa dall ellisse e ν la normale ad essa. Esercizio 4.7. Sia Σ la superficie ottenuta per rotazione di y = x 1, x [1, 2] intorno all asse y : fornire una rappresentazione parametrica di tale superficie, calcolare la sua area, calcolare l integrale superficiale (x 2 + y 2 + z 2 )d σ. Σ

6 6 Una possibile rappresentazione parametrica per Σ é data da x = (1+u) cos v, y = u, z = (1+u) sin v, u [, 1], v [, 2π], per cui φ u φ v = 2(1 + u). Per calcolare la sua area possiamo peró utilizzare direttamente la formula introdotta per le superfici generate dalla rotazione di una curva x = f(y) = 1 + y attorno all asse y: Area(Σ) = 2π f(y) 1 + f 2 (y)dy = 2 2π Infine l integrale superficiale dá: (x 2 + y 2 + z 2 )d σ = 2 2π Σ = 2 2π (1 + y)dy = 3 2π. (u 2 + (1 + u) 2 )(1 + u)du = (2u 3 + 4u 2 + 3u + 1)du = 26 2π. 3