Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Esercizi di ricapitolazione n. 1

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1 Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Esercizi di ricapitolazione n. Università di Padova - Lauree in Fisica ed Astronomia - A.A. 8/9 venerdì 8 maggio 9 Questi esercizi sono proposti come preparazione alla I a prova parziale. Le loro risoluzioni saranno date, per uanto possibile, nel corso della lezione di lunedì /5.. (a) Dire per uali valori di α R convergono i seguenti integrali generalizzati. Calcolare poi gli integrali (iii) e (iv) per ogni α in cui convergono, e l integrale (v) per α =. (i) + dx x α x α, (ii) + x α π + dx, (iii) (x + cos x) α sin x cos α x dx, (iv) + e ( α)x sin(αx + ) dx (α ), (v) + (b) Studiare per uanto possibile l andamento delle funzioni integrali (i) F (x) = x x (x + ) α log(x α + ) dx. t t dt, + (ii) G(x) = x+ log(t + t + ) dt x senza calcolare una primitiva delle funzioni integrande di t. Solo alla fine cercare di ottenerne una forma esplicita tramite una primitiva, rispondendo alle uestioni rimaste in sospeso.. Risolvere i seguenti problemi con euazioni differenziali. (i) Data l euazione y(x + )y + y =, studiarne la crescenza delle soluzioni. Dire se vi sono soluzioni costanti, e se le soluzioni definite in x = sono pari. Si calcolino infine la soluzione tale che y() =, e la soluzione tale che y() =. (ii) Risolvere (x )y y = in due modi. Vi sono soluzioni definite su tutto R? (iii) Trovare la funzione y(x) tale che (x + )y + x y = sin x e y() = α, ove α è un parametro reale. Calcolare lim x + y(x). (Facoltativo: Calcolare lim x + y(x).) (iv) Trovare le soluzioni y(x) dell euazione differenziale y y + y = (x + )e x tali che y() = y (). (v) Alla luce di uanto studiato, dire come è fatto l integrale generale dell euazione differenziale y + αx y + 8y =, ove α R. (Facoltativo: Posto poi α =, cercare per uanto possibile di descrivere concretamente tale integrale generale.) cioè: che struttura ha (spazio vettoriale, spazio affine, nulla di tutto ciò...), e uale sarà il dominio delle soluzioni.

2 . (i) Disegnare nel piano la curva cartesiana S = {(x, y) : x y =, x } e la curva polare C di euazione ρ(θ) = cos θ con π θ 5π, descrivendo di che tipo di insiemi si tratta. Descrivere la retta ortogonale a S in (, ) e la retta tangente a C nel punto con θ = π. Scambiando le rappresentazioni, esprimere S con un euazione polare ρ = ρ(θ), e C con un euazione cartesiana del tipo f(x, y) = ; uindi scrivere esplicitamente le due parametrizzazioni di S e C come curve-grafico y = y(x) o come curve polari ρ = ρ(θ) (ual è il cambio di parametro?). (ii) Parametrizzare A = {(x, y) : x + y + x + y =, x + y } e B = {(x, y) : x + e y =, y } in modo opportuno. Calcolare l elemento d arco dσ, la lunghezza, il baricentro geometrico e l integrale al differenziale d arco di f(x, y) = x y. (iii) Disegnare il sottoinsieme di R Γ = {(x, y, z) R : x + y + z =, y = x, x } e parametrizzarlo in due modi, come curva-grafico e tramite l angolo θ delle coordinate cilindriche. Scrivere esplicitamente il cambio di parametrizzazione. Calcolare la lunghezza di Γ. Supponendo che la densità di massa di Γ evolva con la legge δ(x, y, z) = ax+by+c per certi a, b, c R, calcolare la massa e il momento d inerzia di Γ rispetto all asse z.. (a) Per ciascuna delle seguenti funzioni studiare il dominio, il segno (per (iii), il segno di ciascuna componente), la limitatezza, la continuità, e i limiti proposti (con più opzioni). y x x ( ) (i) lim ; (ii) lim arctg ( x + y y) ; x y (,); (,); (8,);( 8 5, 5 ); (iii) ( xy + sin xy lim (,);(,π); x + y ), y e x. (b) Disegnare ognuno degli insiemi che seguono, e dire se è aperto, chiuso, limitato, compatto, connesso (per archi). (i) A = {(x, y) : x y +, x y } ; (ii) B = {(x, y, z) : x + y + (z ) =, x > } ; (iii) C = {(x, y) : y < e x, x < } ; (iv) D = {(x, y, z) : x + y + x =, z + + x + z > }. Per ognuna di ueste domande, così come per uelle dell esercizio seguente, è importante riuscire a scrivere correttamente gli integrali da calcolare, anche se non si riesce a terminare il conto.

3 Soluzioni.. Si denoterà con f α(x) la funzione integranda. (a.i) L integrabilità va controllata in +, in, in + e in +. Poiché f α(x) + x ( α), l integrabilità in + dà ( α) >, ovvero α >. Si ha poi fα(x) x α, dunue l integrabilità in dà α >, ovvero α <. Infine, essendo x α + x α si ha f α(x) + x ( α), dunue l integrabilità in + dà ( α) <, ovvero α <. Riassumendo, l integrale proposto converge per < α <. (a.ii) Poiché x + cos x > per ogni x, l integrabilità va controllata in + e +. In + si ha x + cos x +, da cui (x + cos x) α +, mentre per il numeratore bisogna distinguere due casi: se α si ha x α + +, mentre se α < si ha x α + + x α. Pertanto, se α si ha f α(x) +, e non c è problema; se invece α < si ha f α(x) + x α, e bisogna che α >. Dunue si ha integrabilità in + se e solo se α >. Passando ora a +, si ha x + cos x + x da cui (x + cos x) α + x α ; per il numeratore bisogna ancora distinguere i casi α > (in cui si ha x α + + x α ) e α (in cui x α + + ). Pertanto, se α > si ha f α(x) + x α ( α) = x α, e la condizione è α <, ovvero α < ; se invece α si ha f α(x) + x ( α) = x α, e la condizione è α <, ovvero α < (sempre vero). Dunue si ha integrabilità in + se e solo se α <. Riassumendo, l integrale proposto converge per α <. sin x (a.iii) Si ha f α(x) =. Vale dunue fα(x) cos α x x (integrabile); essendo poi cos x + π ( π x), si ottiene f α(x) π ( π x) α, da cui la condizione α >, ovvero α <. Perciò l integrale converge per α <. D altra parte, una primitiva di f α(x) è cos α x (se α ) oppure log cos x (se α = ), dunue la tesi seguirebbe α anche per calcolo diretto, dando per α < il valore dell integrale generalizzato ( cos α x ] π α = >. α (a.iv) L unica uestione di integrabilità si ha in +. Per α = la funzione f (x) (a meno della costante moltiplicativa sin > ) diventa e x, ovviamente non integrabile. Se invece α > la funzione f α(x) è oscillante: poiché sin(αx + ) ha una primitiva limitata (che è cos(αx + )), il criterio di Abel-Dirichlet ci dice che se α e ( α)x è decrescente ed infinitesima (il che accade per α <, ovvero per α > ) allora l integrale converge semplicemente, mentre se α l integrale non converge. Notiamo che il calcolo di una primitiva è possibile: infatti, integrando due volte per parti 5 si ottiene R e ( α)x sin(αx + ) dx = α (α +α+) e( α)x cos(αx + ) + (α ) sin(αx + ), da cui (nell ipotesi α > ) si ottiene R + e ( α)x sin(αx + ) dx = α cos +(α ) sin (α +α+) >. (a.v) L integrabilità va controllata in + e in + ; iniziamo da +. Il fattore (x + ) α + è ininfluente; uanto a log(x α + ), se α > si ha log(x α + ) + x α (da cui la condizione α >, sempre vera), se α = si ha log(x α + ) = log (integrabile), mentre se α < si ha log(x α + ) + + log(x α ) = α log x log x + (integrabile). Perciò f α(x) è sempre integrabile in +. Passando ora a +, si ha (x + ) α + x α ; uanto a log(x α + ), se α > si ha log(x α + ) + log(x α + ) + log(x α ) = α log x + log x, se α = si ha log(x α + ) = log +, e se α < si ha log(x α + ) + x α. Pertanto, se α > si ha f α(x) + x α log x, da cui 6 la condizione α <, ovvero α > ; se α = si ha f(x) = log (ovviamente non integrabile a + ), mentre se α < si ha f α(x) + x α x α = x α, da cui la condizione α <, ovvero α > (sempre falsa). Perciò f α(x) è integrabile in + se e solo se α >. Ricapitolando, l integrale proposto esiste se e solo se α >. In particolare, uando α = si ottiene R + dx = ( log() ] + R + ( ) dx = ( ) + ( ]+ = ( ) =. (b.i) (Vedi Figura ) Poiché la funzione integranda f(t) = log() () t t + è continua (dunue localmente integrabile) su tutto R, il dominio di F (x) = R x x t t + dt è x ; inoltre, poiché f(t), si ha F (x) se e solo se x x dunue se e solo se x >. Quanto alle simmetrie, si ha F ( x) = R x x t dt; col cambio di variabile τ = t t + si ottiene dunue F ( x) = R x τ ( dτ) = R x τ x τ + dτ = F (x), dunue F (x) è una funzione dispari, e τ x + in uesto caso anche assolutamente, perché e ( α)x decresce molto rapidamente, e dunue f α(x) = o + ( ). x Il ragionamento per far vedere che l integrale non converge possiamo farlo per ogni integrale del tipo R + φ(x) sin x dx con φ(x) continua in [, + ] e φ(x) per ogni x. Infatti, se l integrale generalizzato R + φ(x) sin x dx fosse finito, esso dovrebbe coincidere con la somma della serie P n N an con an = R (n+)π φ(x) sin x dx, ma tale serie non può convergere nπ perché la successione (a n) non è infinitesima (infatti, poiché φ(x) per ogni x, e poiché sin x ha segno costante su ogni intervallo [nπ, (n + )π], si ha a n = R (n+)π φ(x) sin x dx R (n+)π sin x dx = ). 5 nπ nπ con lo stesso trucco usato per calcolare l integrale R e x sin x dx. 6 Si ricordi che la funzione x β log x γ è integrabile a + se β <, oppure se β = e γ <.

4 R + t possiamo limitarci allo studio con x >. Si ha lim x + = +, e R t + limx + f(t) non è integrabile a ± ). Derivando, si ottiene F (x) = ( x ) ( ) ( x ) + x essendo F (x) per x, la funzione F (x) ha un punto di minimo in x = (e, per disparità, un punto di t = + (infatti t + ( x) ( ) = x = : ( x) + x x massimo in x = ). Derivando ancora, si ha F (x) =, dunue F è convessa per x >. x Cerchiamo ora di dedurre una forma esplicita per F (x). Da F (x) = si otterrebbe immediatamente x F (x) = x + + k, con k R da determinare su ognuna delle due semirette x < e x > ; tuttavia non c è x alcun valore evidente di F (x) (ad esempio, nessun punto in cui F si annulla). Non c è dunue alternativa al trovare una primitiva di f(t), il che è comunue facile perché f(t) = e dunue F (x) = (t arctg t] t x + x = arctg + x arctg x = (x + ) (arctg x + arctg ); notando che effettivamente vale arctg x + arctg ± π x x x x x per x, si ha F (x) = x + π per x >, e F (x) = x + + π per x <. x x (b.ii) (Vedi Figura ). Anche ui, poiché la funzione integranda g(t) = log(t + t + ) è continua e su tutto R, il dominio di G(x) = R x+ log(t + t + ) dt è x, e vale G(x) se e solo se x+, il che accade x x per < x oppure x <. La funzione G(x) non ha simmetrie evidenti (al solito, verificare 6 6 calcolando G( x)). Si ha lim x G(x) = R log(t +t+) dt, che è un numero finito α < per ora sconosciuto, visto che non sappiamo calcolare (o meglio, facciamo finta di non saper calcolare) una primitiva di g(t): dunue y = α è asintoto orizzontale per G(x). Vale poi lim x G(x) = lim x ± G(x) = R ± log(t + t + ) dt, e uesti integrali generalizzati valgono (infatti g(t) ± log(t ) = log t, non integrabile a ). Derivando, si ottiene G (x) = g( x+ ) ( x+ x x ) g( ) ( ) = x + g( x+ ): poiché g(t) > per ogni t, nel dominio si (x ) x avrà G (x) se e solo se x + x +, ovvero se e solo se x oppure x +. Ne ricaviamo che G(x) avrà un punto di massimo locale (negativo) in x =, e uno di minimo locale (pure negativo) in x = +. Cerchiamo ora di dedurre una forma esplicita per G(x): integrando per parti si ottiene R g(t) dt = (t + ) log(t + t + ) + arctg (t + ) t, dunue G(x) = ((t + ) log(t + t + ) + arctg (t + ) t] x+. Chiaramente, ora x si possono determinare ad esempio α e le uote degli estremi locali.. (i) L euazione differenziale y(x + )y + y = è del primo ordine a variabili separabili. Si noti che una soluzione y(x) non si può mai annullare (altrimenti si avrebbe =, assurdo), mentre se x = si ottiene y( ) =, ovvero y( ) = ±. Supponendo invece x si ottiene y = y, dunue le soluzioni (vedi y() Figura ) sono crescenti per x < e (y < oppure < y < ) oppure per x > e ( < y < oppure y > ). Una costante y(x) k è soluzione se e solo se k =, ovvero se e solo se k =. Esaminiamo ora l eventuale parità delle soluzioni φ(x) definite in x = : se ψ(x) = φ( x), si ha ψ(x) (x + )ψ (x) + ψ(x) = φ( x)(x + )φ ( x) + φ( x) = [φ( x)(( x) + )φ ( x) + φ( x) ] φ( x)φ ( x) = φ( x)φ ( x), ma uest ultima uantità non è nulla per ogni x (a parte il caso in cui φ(x) sia una delle due soluzioni costanti ): dunue le sole soluzioni pari sono le costanti. Se la condizione iniziale è y() = la soluzione cercata è la costante y y(x) ; se invece la condizione iniziale è y() = si possono separare le variabili ottenendo y y =, da cui raddoppiando e integrando si ha log y = log(x + ) + k, ed imponendo y() = si ha k = log, da cui log y = log (x + ), da cui y = (x + ), da cui y = (x + ) (infatti vicino a (x, y ) = (, ) i due membri sono positivi), da cui y = x + 6x +, da cui y(x) = x + 6x + (infatti y() = : vedi Figura ). (ii) L euazione del primo ordine (x )y y = è sia lineare che a variabili separabili. Risolta come lineare, per x ± si ottiene y y = ; se p(x) = si ha P (x) = log x x x x, e R e P (x) (x) dx = R x dx = x sign ( x ), da cui y(x) = x x ( sign ( x ) + k) = k x = k(x ) con k R (ove ueste soluzioni sono x pensate separatamente su ognuno dei tre intervalli di R \ { }, dunue vi sarà una costante k per x <, una costante k per < x < e una costante k per x >, l una indipendente dalle altre). Il limite di tutte ueste soluzioni per x è sempre finito per ogni (k, k, k ), e vale ; invece, il limite per x è finito se e solo se k = k =, e vale ancora, ed in tal caso per x < si ottiene la costante y(x). Tuttavia, richiedendo la derivabilità anche in x = (con derivata nulla) si ottiene pure k =. In sostanza, l unica soluzione definita su tutto R è la costante y(x) = (x ). Risolviamo ora l euazione come a variabili separabili. Si ottiene (x )y = y + : notata la costante y, possiamo separare le variabili e integrare ottenendo log y + = log x + h = log e h x, da cui (posto u = ±e h ) si ha y + = u x (x ), da cui y(x) = u con u R. Si tratta di una famiglia diversa da uella () trovata in precedenza? Ovviamente ciò non può essere (ed infatti, con la relazione u = k + tra le due costanti arbitrarie k e u, le due famiglie coincidono). (iii) (Vedi Figura ) L euazione (x + )y + x y = sin x è lineare del primo ordine, e per x può essere posta in forma normale y + p(x)y = (x) con p(x) = x (dunue P (x) = log x + x + ) e (x) = sin x. Le x +

5 sue soluzioni non possono essere poste in forma esplicita, ma applicando la formula integrale con la condizione y() = α (e pensando ovviamente x + >, ovvero x > ) si può comunue scrivere y(x) = (x + ) R (α + α+ x sin t dt R x (t + ) sin t dt), ovvero y(x) = t +. t + (x +) Quando x + il denominatore tende a + (è asintotico a x ), mentre il denominatore ha limite finito (infatti α R, e l integrale generalizzato R + dt converge grazie al criterio di Abel-Dirichlet): dunue sin t t + lim x + y(x) =. Quando invece x + il denominatore tende a +, mentre al numeratore l integrale generalizzato R converge (infatti (t + ) + (t + ), dunue sin t t + dt sin t t + + (t + ) ) ad un valore U > (infatti la funzione integranda è negativa su ], ], che però viene percorso a ritroso). Ne ricaviamo che se α U allora lim x + y(x) = ±. Se invece vale proprio α = U si ha una forma indeterminata, e con de l Hôpital si ottiene lim x + y(x) = lim x + sin x x + x (x +) = lim x + sin x = sin <. x (iv) L euazione y y + y = (x + )e x, del secondo ordine a coefficienti costanti, ha euazione caratteristica con radice doppia, dunue lo spazio delle soluzioni dell euazione omogenea è {(A + Bx)e x : A, B R}. Una soluzione particolare dell euazione completa sarà dunue della forma ỹ(x) = x (ax + b)e x, con a, b R da determinare: si ha allora ỹ (x) = ( a x + (a + b )x + bx)e x e ỹ (x) = ( a x + (a + b )x + (a + b)x + b)e x, da cui la condizione ỹ ỹ + ỹ = 8(ax + b)e x x = (x + )e, che dà a = e b =. L integrale generale 8 dell euazione completa è pertanto {y(x) = (A + Bx + 8 x + x )e x : A, B R}. Derivando si ottiene y (x) = ( A +B +( + B )x+ 6 x + 8 x )e x, dunue la condizione y() = y () dà A = ( A +B) = A B, da cui B = A: le soluzioni cercate sono pertanto uelle dell integrale generale con B = A. (v) L euazione differenziale y + αx y + 8y = è lineare, del terzo ordine, in forma normale. Essa è infatti del tipo y + a (x) y + a (x) y + a (x) y = b(x), ove le funzioni a (x) =, a (x) = ax, a (x) = 8 e b(x) = sono tutte continue nel dominio R \ { }, e andrà dunue risolta indipendentemente in uno dei due intervalli I =], [ oppure J =], + [. Su ognuno di essi (ad esempio su I), l integrale generale S dell euazione omogenea associata y + αx y + 8y = è un sottospazio vettoriale di dimensione nello spazio vettoriale complesso V = C (I, C) (le funzioni I C di classe C ), dunue sarà generato da una terna di funzioni (sistema fondamentale) {ϕ (x), ϕ (x), ϕ (x)} V ; invece l integrale generale S dell euazione completa sarà un sottospazio affine di V, ottenuto traslando S tramite una ualsiasi soluzione particolare ϕ(x) S, ovvero S = {Aϕ (x) + Bϕ (x) + Cϕ (x) + ϕ(x) : A, B, C C}. Si noti che le soluzioni saranno funzioni di classe C definite su tutto I (la stessa cosa, poi, varrà indipendentemente per J). Se α =, l euazione y + 8y = diventa a coefficienti costanti reali. L euazione caratteristica è λ + 8 =, cioè λ = 8, che ha le tre radici e ± i : un sistema fondamentale di soluzioni è pertanto {ϕ (x) = e x, ϕ (x) = e (+i)x, ϕ (x) = e ( i)x }. 7 Per cercare una soluzione particolare ϕ(x) S, in uesto caso si deve ricorrere al metodo della Variazione delle Costanti Arbitrarie. Si ha W ϕ (x) = e x e (+i )x e x ( + i )e (+i )x e x ( + i )e (+i )x e ( i )x ( i )e ( i )x ( i )e ( i )x γ (x) e x + γ (x) e (+i )x + γ (x) e ( i )x, con γ (x) = R e γ (x) = R (+ i) e ( +i i() )x dx. C A, da cui risulta det W ϕ (x) = i: pertanto sarà ϕ(x) = i e x i() dx, γ(x) = R ( i) e ( i )x i(). (i) (Vedi Figura 5) La curva S è ovviamente il segmento chiuso nel piano cartesiano che congiunge i punti (, ) e (, ), parametrizzabile cartesianamente tramite γ : [, ] R data da γ(x) = (x, x ). Invece l euazione polare ρ(θ) = = è, come noto, un ellisse (si noti che l eccentricità è e = < ), e la parametrizzazione cos θ cos θ associata di C è ϕ : [ π, 5π ] R data da ϕ(θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ) = ( cos θ, sin θ ); nel nostro caso, si cos θ cos θ tratta dunue dell arco corto di ellisse che congiunge i punti ϕ( π ) = (, ) e ϕ( 5π ) = (, ). Vale γ (x) = (, ), dunue la retta ortogonale a S in (, ) = γ() è {(, ) + λ(, ) : λ R} = {( + λ, λ) : λ R}; da y = λ e x = + λ si ricava anche l euazione cartesiana x + y =. Si ha poi ϕ (θ) = ( 9 sin θ ( cos θ), ), pertanto un vettore tangente a C nel suo punto ϕ( π ) = (, ) è ( cos θ) ( cos θ) ϕ ( π ) = (, ), dunue la retta tangente a C in ϕ( π ) è {(, ) + λ(, ) : λ R} = {(λ, λ) : λ R}; anche ui, da x = λ e y = λ si ricava l euazione cartesiana x + y + =. Per ottenere l euazione polare di S basta partire dalla sua euazione cartesiana: da x y = si ricava 7 Per avere una base di soluzioni reali, volendo si possono rimpiazzare ϕ (x) e ϕ (x) rispettivamente con ϕ (x)+ϕ (x) e x cos( x) e ϕ (x) ϕ (x) i tenersi la base complessa. dx = = e x sin( x). Ma per i conti che seguono, in cui interviene il Wronskiano, conviene forse 5

6 ρ cos θ ρ sin θ =, da cui ρ(θ) =, con π θ arctg. La parametrizzazione associata di S è cos θ sin θ γ : [ π, arctg ] R cos θ data da γ(θ) = (, sin θ ), ed il cambio di parametro α : [ π, arctg ] [, ] cos θ sin θ cos θ sin θ cos θ è x = α(θ) =. Infine, dall euazione polare ρ(θ) = di C si ricava ρ ρ cos θ =, da cui cos θ sin θ cos θ p x + y = x+, da cui elevando al uadrato (nell ipotesi x > ) l euazione cartesiana 5x +9y x 9 =. Dalla figura è chiaro che si può esprimere C come curva grafico x = x(y) (non viceversa!), e la funzione x(y) si ricava esplicitando opportunamente x dall euazione cartesiana appena trovata: si ottiene infatti x = ( ± p 9 5y 5 ), e va scelto il ramo sinistro, ovvero x = ( p 9 5y 5 ), con y. La relativa parametrizzazione è ϕ : [, ] R data da ϕ(y) = ( ( p 9 5y 5 ), y); il cambio di parametro β : [, ] [ π, 5π ] è θ = β(y) ottenuta invertendo la funzione y = y(θ) = ρ(θ) sin θ = sin θ cos θ. (ii) (Vedi Figura 6) A = {(x, y) : x + y + x + y =, x + y } è la semicirconferenza di centro (, ) e raggio 5 che sta sotto la retta y = x, mentre B = {(x, y) : x + e y =, y } è il tratto di grafico della funzione x(y) = ey con y. Una parametrizzazione conveniente di A è senz altro γ : [ π, 7π ] R data da γ(t) = ( + 5 cos t, + 5 sin t), e una di B è ϕ : [, ] R data da ϕ(y) = ( ey, y). Per A, si ha γ (t) = ( 5 sin t, 5 cos t), e γ (t) = 5: dunue dσ = 5 dt, la lunghezza è ovviamente L A = R 7π R π 5 dt = π 5, il baricentro geometrico è (xa, y A) = ( x dσ, R y dσ) = ( R 7π L A γ L A γ π 5 π ( + R 7π 5 cos t) 5 dt, π 5 π ( + 5 sin t) 5 dt) = (, ), e l integrale è R f dσ = R 7π π π γ π h( + 5 cos t) ( + i 5 5 sin t) dt (si calcola facilmente). Quanto a B, si ha ϕ (y) = ( ey, ), e ϕ (y) = + ey : dunue dσ = + ey dy, la lunghezza è L B = R + ey dy, il baricentro geometrico risulta R (x B, y B) = ( x dσ, R y dσ) = ( R ( ey L B ϕ L B ϕ L B ) + ey dy, R y L B + ey dy), e R f dσ = R h i ( ey ) y + ey dy (si può provare a calcolare uesti integrali ponendo τ = + ey ). γ (iii) (Vedi Figura 7) Γ è la curva nello spazio ottenuta intersecando il piano x + y + z = con la cubica y = x (invariante rispetto z) nel settore in cui x. Poiché y = x e z = x y = x x, è chiaro che Γ è parametrizzata come curva-grafico da γ : [, ] R data da γ(x) = (x, x, x x ). Dall euazione y = x si ricava (in coordinate cilindriche) ρ sin θ = ρ cos θ, da cui ρ(θ) = tg θ ; il punto finale della cos θ curva è (, 8, ), ed è ottenuto uando θ = arctg 8 = arctg ; si ha pertanto la parametrizzazione alternativa γ : [, arctg ] R data da γ(θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ, z(θ)) = ( tg θ, tg θ tg θ, ( + tg θ) tg θ). Il cambio di parametro è x = α(θ) = ρ(θ) cos θ = tg θ. Usando ad esempio γ(x), si ha γ (x) = (, x, x ), da cui γ (x) = p + x + ( x ) = p ( x + x ): la lunghezza di Γ è dunue espressa da L Γ = R p ( x + x ) dx. Supponiamo ora che la densità di massa di Γ evolva con la legge δ(x, y, z) = ax+by+c per certi a, b, c R: in termini del parametro x ciò significa dunue δ(x) = ax + bx + c. La massa di Γ risulta dunue m Γ = R δ dσ = R (ax + γ bx + c) p ( x + x ) dx, ed il momento d inerzia di Γ rispetto all asse z è I z = R δ γ (x + y ) dσ = R (ax + bx + c)(x + 9 x6 ) p ( x + x ) dx. y. (a.i) La funzione f(x, y) = x x non è definita nei punti della retta y = x e nei punti strettamente interni x y alla parabola x = y. Il numeratore è (nel dominio) uando p y x x: se x < ciò è sempre vero, altrimenti per x euivale a y x (x) = x, ovvero x y + x, ovvero i punti compresi tra l asse y e il ramo destro dell iperbole euilatera di centro (, ), asintoti y = ±(x + ) e passante per (, ); invece il numeratore è > sotto la retta y = x. La combinazione dei due segni dà il segno globale di f. La funzione non è limitata (diverge a ± tendendo ai punti di y = x ), ed è ovunue continua nel dominio. Per continuità, il limite in (, ) è f(, ) =. Tendendo a (8, ) (che non sta nel dominio) la funzione tende chiaramente a ± (infatti il numeratore tende a 8, e il denominatore è infinitesimo). Tendendo a ( 8, ) (che pure non sta nel 5 5 dominio, ed è l intersezione tra y = x e l iperbole) lungo la stessa iperbole, sulla uale f è nulla, il limite di f è ovviamente, mentre in ogni intorno del punto vi sono altri punti della retta y = x, nei uali f diverge: dunue il limite di f non esiste. Infine, tendendo a sempre lungo l iperbole il limite è, e tendendovi lungo una ualsiasi curva asintotica a y = x la funzione diverge: dunue nemmeno uesto limite esiste. (a.ii) La funzione f(x, y) = arctg ( x + y y) è definita e continua su tutto R ; si ha f per arctg ( x + y y), ovvero x + y y tg, ovvero x + y y + tg : se y < tg ciò è sempre tg + vero, mentre se y tg ciò euivale a x + y y + tg oppure x + y (y + tg ), ovvero x tg oppure y x. Poiché l arco-tangente ha valori in ] π, π [, vale π f(x, y) π, dunue f è limitata. Per continuità, il limite in (, ) vale f(, ) = arctg = π < ; poi, prendendo ispirazione dallo studio del segno, tendendo a lungo l asse y si ha lim y + f(, y) = π < e limy f(, y) = π >, dunue il limite non esiste. 6

7 xy+sin xy, y e x (a valori in R ) e definita e continua su tutto R tranne (, ). x +y xy La prima componente f (x, y) = xy+sin e uando xy sin xy, ed essendo t sin t se e solo se t, ne x +y ricaviamo che f = sugli assi e f > nel primo e terzo uadrante. La seconda componente f (x, y) = y e x x (a.iii) La funzione f (x, y) = e uando y e, ed essendo uesta una condizione simmetrica rispetto ai due assi basta operare la doppia riflessione dell insieme y e x nel primo uadrante. La funzione f e limitata, perche se (x, y) 6= (, ) si ha xy sin xy f (x, y) = xy+sin xy + xy + xy = x xy +y = ; invece f non lo e, perche ad esempio sull asse x +y x +y x +y y si ha limy f (, y) = +. In (, ) la funzione f tende a, mentre f non ha limite: infatti sugli assi x e nulla, mentre sulla bisettrice y = x essa vale f (x, x) = x +sin, con limite. Pertanto f non ha limite in x (, ). In (, π), per continuita il limite e f (, π) = ( ππ+, π e ). Infine, ne f ne f hanno limite in (ad esempio, limx f (x, ) = mentre limx f (x, x) = ; e limx f (x, ) = mentre limy f (, y) = + ), dunue nemmeno f ha limite in. (b.i) (Figura 8) A e chiuso (disuguaglianze late di funzioni continue su R ), ma non e limitato (infatti tutto il semiasse {(x, ) : x > } vi e contenuto), dunue non e compatto; infine, e connesso per archi. (b.ii) (Figura 9) B e l intersezione tra la superficie dell ellissoide di centro (,, ) e semiassi,, rispettivamente lungo x, y, z, e i due semispazi x < e x > : esso non e aperto (non e intorno dei suoi punti in R ) e nemmeno chiuso (i punti di intersezione tra la superficie e i piani x = ± sono di accumulazione per B, ma non stanno in B), e limitato (infatti e contenuto nell ellissoide, dunue x, y e z, ovvero z 5), non e compatto perche non e chiuso, e non e connesso (ha due componenti). (b.iii) (Figura ) C e aperto (disuguaglianze strette di funzioni continue su R ) e limitato (infatti x <, e dunue y < e, ovvero e < y < + e ), non e compatto perche non e chiuso, ed e connesso. (b.iv) (Figura ) La condizione x + y + x =, in R, descrive la superficie cilindrica a sezione ellittica con asse parallelo all asse z che ha sezione sul piano (x, y) l ellisse con asse maggiore sull asse x, tra x = e x =, e asse minore lungo la retta x = tra y = 6 e y = 6. D altra parte, la condizione z + + x + z >, che richiede z x, euivale a x + z > z ; se z < (ovvero z > ) cio e sempre vero, mentre se z cio euivale a x + z > z + z +, ovvero x > z +. Dunue D e l intersezione tra la superficie cilindrica e il semispazio chiuso z x, e risulta dunue essere chiuso. Esso non e limitato in direzione z, dunue non e compatto; ed e connesso per archi.. La funzione integrale F (x) di (.(b.i));. La funzione integrale G(x) di (.(b.ii));. Le zone di crescenza (gialle) e la soluzione di (.i) con y() = ;. L integrale generale di (.iii). 5. Le curve S e C di (.i); 6. Le curve A e B di (.ii); 7. La curva Γ di (.iii), intersezione del piano grigio con la curva rossa. 7

8 Gli insiemi A, B, C e D di (.b). 8