I appello - 29 Giugno 2007

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1 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos ( + )x, x >. x Verificare ioltre se vale l uguagliaza [ cos + ) Risolvere la seguete equazioe differeziale: ( )] ( + )x dx =. x xy + y = x log x, x >. Determiare ioltre la soluzioe ȳ(x) che verifica la codizioe ȳ(x) =. x + 3) Calcolare il seguete itegrale: D y dx dy, dove D è la parte del semipiao y deitata dalle curve di equazioe x + y = 4 e (x 3) + y = 6.

2 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 Svolgimeto ) Studiamo dapprima la covergeza putuale. Poiché risulta, per x >, f cos ( ) (x) = x ( + )x + + =, 4 x 4 x 4 4 la successioe (f (x)) coverge putualmete alla fuzioe ite f(x) =. Per quato riguarda la covergeza uiforme, bisoga valutare [ ( )] sup cos ( + )x. + x> x Osserviamo che si ha sup f (x) + x> + f ( ) = [ + + cos()] = cos() >, e duque la covergeza o è uiforme i ], + [. Se ivece x [, ] si ha x, e duque [ ( )] [ ( )] cos ( + )x 4 cos ( + ), x per ogi N. Da qui segue che sup + x [,] f (x) 4 + [ cos ( )] ( + ) = 4 + cos ( ) =, e pertato (f (x)) coverge uiformemete a f(x) = i [, ]. Allora, poiché le f (x) soo cotiue i [, ], per u oto teorema vale il passaggio al ite sotto il sego di itegrale e duque + [ ( )] cos ( + )x dx = x f (x) dx =. + ) Dividedo per x l equazioe può essere riscritta come y + y x = log x, x > e si tratta di u equazioe differeziale lieare del primo ordie a coefficieti costati. Utilizzado la formula risolutiva, l itegrale geerale è dato da ( ) y(x) = e A(x) b(x)e A(x) dx + C,

3 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 3 dove C R, A(x) = y(x) = x a(x) dx = ( dx x = x log x x + C x, ) x log x dx + C = x co C R. Impoedo la codizioe ȳ(x) = x + C =, da cui la soluzioe cercata è = log x + k e b(x) = log x. Risulta duque ( x log x x + ȳ(x) = x log x x. ) x dx + C [ x log x x + C ] = si ottiee x 3) Il domiio D, rappresetato i figura, è uioe di D e D, etrambi domii ormali rispetto all asse x. Risulta i particolare D = {(x, y) : x, y } 4 x e D = {(x, y) : x, y 6 (x 3) }. Ioltre I := y dx dy = D y dx dy + D y dx dy =: I + I. D Per quato riguarda il primo itegrale, applicado u teorema di riduzioe si ha: 4 x ] I = dx y dy = (4 x ) dx = [4x x3 3 = 75 4.

4 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 4 Aalogamete risulta I = 6 (x 3) dx y dy = e pertato I = I + I = [6 (x 3) ] dx = ] [7x + 3x x3 3 = 3 4,

5 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 5 II appello - Luglio 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete serie di fuzioi: + = si ( x ), x [, ]. ) Risolvere il seguete problema di Cauchy: y y = xe x y cos x, y() =. 3) Calcolare il seguete itegrale curvilieo: +F r(d) (x dy y dx), dove D è la frotiera della parte di piao deitata dalla retta y = x e dagli assi coordiati.

6 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 6 Svolgimeto ) Studiamo dapprima la covergeza putuale. Se x = si ottiee ua serie a termii ulli, duque covergete. Se x si ha ua serie a termii positivi co a = si del rapporto si ha: a + a = = si + ( ) x + + x + + x + + x ( x a + e duque = x. + a La serie pertato coverge putualmete se < x <. + ( ) Se x = ± si ottiee si, e poiché a b = 3 asitotico la serie coverge, essedo putualmete i [, ]. + = 3 x ( x ), si ). Applicado il criterio, dal criterio del cofroto covergete. I coclusioe la serie coverge Studiamo ora la covergeza uiforme. Poiché è possibile maggiorare il termie geerale della serie come e la serie umerica [, ]. + = 3 a x, 3 è covergete, c è covergeza totale, e quidi uiforme, i ) Si tratta di u equazioe differeziale del primo ordie di Beroulli, cioè del tipo y +a(x)y = b(x)y s, co s =, a(x) = e b(x) = xe x cos x. Co la sostituzioe y = z s = z, da cui y = z, l equazioe diveta z z + z = xe x cos x, che è u equazioe differeziale lieare i z. Applicado la formula che forisce l itegrale geerale si ha z(x) = e A(x) ( ) β(x)e A(x) dx + C,

7 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 7 co C R, A(x) = α(x) dx = dx = x + k e β(x) = xe x cos x. Risulta pertato z(x) = e ( x ) ( x cos x dx + C = e x x si x + ) si x dx + C = xe x si x e x cos x + Ce x, e ifie y(x) = e x C x si x cos x. Impoedo la codizioe iiziale y() = si ottiee soluzioe cercata è C = C =, da cui la y(x) = e x x si x cos x. 3) La frotiera del triagolo D, di vertici (, ), (, ) e (, ), risulta formata da tre segmeti, ovvero γ = γ γ γ 3, dove x(t) = t, x(t) =, γ : t [, ] γ : t [, ] y(t) = + t, y(t) = t, x(t) = t, γ 3 : y(t) =, t [, ]. Si ottiee allora, teedo coto del fatto che il cotributo sugli assi è ullo, I = (x dy y dx) = (x dy y dx) = [t + t + ] dt +F r(d) γ 3 [ ] = 3 t3 + t + t = 5 3. Si può perveire allo stesso risultato ache utilizzado le formule di Gree, da cui I = (x + ) dx dy. Essedo D u domiio regolare rispetto all asse x co D D = {(x, y) R : x, y x},

8 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 8 utilizzado u teorema di riduzioe si ha I = (x + ) dx dy = dx = D ( + x 4x ) dx = x (x + ) dy = [ x + x 4 3 x3 ] = 5 3. (x + )( x) dx

9 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 9 III appello - Settembre 7 ) Stabilire se esiste il seguete itegrale geeralizzato: + si x 3 x(x + ) dx. ) Determiare, dopo avere giustificato l esisteza, i puti di massimo e miimo assoluti della fuzioe f(x, y) = x xy + y i Q = [, ] [, ]. 3) Calcolare il volume del solido D deitato dai piai z = e z = x + e dal cilidro di equazioe x + y = 4.

10 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 Svolgimeto ) Osserviamo che si può scrivere + si x 3 dx = x(x + ) Per quato riguarda il primo itegrale, risulta x + si x + 3 dx + x(x + ) si x si x 3 = x(x + ) x + x x 3 x + =, si x 3 x(x + ) dx. si x duque f(x) = 3 è itata i prossimità di e pertato itegrabile alla x(x + ) Riema, essedo estedibile co cotiuità i [, ]. Studiamo ora il secodo itegrale. Osserviamo che risulta f(x) i quato 3 x(x + ) = g(x) e g(x) è G-itegrabile i [, + ), g(x) = x + x + x α x 4 3 x α ( ) = + x per α = 4 >. Pertato, dal criterio del cofroto, ache f(x) è G-itegrabile i [, + ). 3 Quidi f(x) è G-itegrabile i R +. ) Essedo Q compatto ed f cotiua, dal teorema di Weierstrass f ammette massimo e miimo i Q. Per quato riguarda i puti iteri a Q, risulta f x = y = f = x + y = y se e solo se x = y = (, e duque l uico puto critico è, ). Essedo poi ( deth, ) = = 4 <, (, ) è u puto sella. Studiamo ora la frotiera di Q, la quale può essere suddivisa ei quattro segmeti α, β, γ, δ, dove α = {(x, ) : x }, β = {(, y) : y }, γ = {(x, ) :

11 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 x } e δ = {(, y) : y }. Si ha f α (x, y) = f(x, ) = x = g (x), crescete i [, ], f β (x, y) = f(, y) = ( y) = g (y), decrescete i [, ], f γ (x, y) = f(x, ) = x = g 3 (x), decrescete i [, ] e ifie f δ (x, y) = f(, y) = y = g 4 (y), crescete i [, ]. Si coclude pertato che i puti (, ) e (, ), i cui f assume il valore, soo di miimo assoluto, metre (, ) e (, ), i cui f vale, soo di massimo assoluto. 3) Il solido D può essere rappresetato come dove D = {(x, y) : x + y 4}. D = {(x, y, z) R 3 : z x +, (x, y) D}, Utilizzado u teorema di riduzioe risulta pertato ( x+ ) Vol(D) = dx dy dz = dz dx dy = (x + ) dx dy. D ed ed Passado i coordiate polari si ha D = {(ρ, θ) : θ [, π], ρ [, ]} e duque Vol(D) = = π π ( ) π ρ(ρ cos θ + ) dρ dθ = ( 8 3 cos θ + 4 ) dθ = [ 8 si θ + 4θ 3 [ ρ 3 cos θ + ρ 3 ] π = 8π. ] dθ

12 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 IV appello - Settembre 7 ) Studiare la cotiuità i R e la derivabilità e la differeziabilità i (, ) della fuzioe x 4 + y 4 f(x, y) = ( + 3, (x, y) (, ), x + y )(x + y ) (x, y) = (, ). ) Risolvere la seguete equazioe differeziale: y (4) 3y + 36y = e x. 3) Data la forma differeziale lieare ω(x, y) = (3x y y ) dx + (f(x) xy) dy si chiede di: (a) determiare la fuzioe f C (R) tale che ω sia esatta el suo domiio D e che, el puto, assuma il valore ; (b) i corrispodeza alla f trovata al puto (a) calcolare u poteziale di ω; (c) calcolare ω dove γ è l arco di parabola y = x +, x [, ]. γ

13 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 3 Svolgimeto ) La fuzioe è sez altro cotiua i R \{(, )}, i quato somma, prodotto e composizioe di fuzioi cotiue. Studiamo ora il puto (, ), calcolado il ite Passado i coordiate polari si ha ρ ρ (cos 4 θ + si 4 θ) + 3 ρ cos θ + si θ =, (x,y) (,) ρ (cos 4 θ + si 4 θ) e ioltre + 3 ρ cos θ + si θ ρ, per ρ. Il ite, pertato, è uiforme rispetto a θ e duque f è cotiua ache i (, ), essedo f(, ) =. Per quato riguarda la derivabilità i (, ) si ha e f(x, ) f(, ) x x f(, y) f(, ) y y x = x + 3 x = y = y + 3 y =, duque f è derivabile i (, ) e f f (, ) = (, ) =. x y Riguardo alla differeziabilità, ifie, bisoga valutare da cui f(x, y) = f(, ) + f f (, )x + x y (, )y + x + y ε(x, y), ε(x, y) = (x,y) (,) (x,y) (,) Passado i coordiate polari si ottiee ρ(cos 4 θ + si 4 θ) co + 3 ρ cos θ + si θ rispetto a θ, si ha che (, ). ρ (x,y) (,) f(x, y) x + y = (x,y) (,) ρ(cos 4 θ + si 4 θ) + 3 ρ cos θ + si θ =, x 4 + y 4 ( + 3. x + y )(x + y ) 3 ρ, per ρ e duque, essedo il ite uiforme ε(x, y) =. Pertato si coclude che f è differeziabile i x 4 + y 4 ( + 3 x + y )(x + y ).

14 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 4 ) Si tratta di u equazioe differeziale lieare del quarto ordie a coefficieti costati o omogeea. Risolviamo dapprima l equazioe omogeea associata y (4) 3y + 36y =. Il poliomio caratteristico è λ 4 3λ + 36 =, le cui soluzioi soo ± e ±3; l itegrale geerale dell equazioe omogeea associata è duque co c i R, i =,..., 4. y H (x) = c e x + c e x + c 3 e 3x + c 4 e 3x, Cerchiamo ora ua soluzioe particolare dell equazioe completa. Risulta β(x) = e αx P (x) co α = soluzioe del poliomio caratteristico di molteplicità e P (x) = : ua soluzioe particolare, pertato, è della forma ȳ(x) = Axe x, A R, da cui ȳ (x) = 4A( + x)e x e ȳ (4) (x) = 6A( + x)e x. Sostituedo ell equazioe data si ottiee Ae x = e x, da cui A = e la soluzioe particolare cercata è ȳ(x) = x ex. Ifie, l itegrale geerale dell equazioe risulta co c i R, i =,..., 4. y(x) = c e x + c e x + c 3 e 3x + c 4 e 3x x ex, 3) (a) Essedo D = R covesso, ω è esatta se e solo se è chiusa. Poiché X y = 3x y, Y x = f (x) y, si ha X y = Y x se e solo se f (x) = 3x, da cui f(x) = x 3 + c, co c R. Poiché deve essere ioltre f() = c =, la fuzioe cercata è f(x) = x 3 + e la forma differeziale lieare diveta ω(x, y) = (3x y y ) dx + (x 3 xy + ) dy. (b) Se U(x, y) è u poteziale di ω, si deve avere U x = 3x y y, U y = x3 xy +.

15 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 5 Dalla prima espressioe si ottiee U(x, y) = x 3 y xy + ϕ(y), da cui U y = x3 xy + ϕ (y) = x 3 xy + se e solo se ϕ (y) =, cioè ϕ(y) = y + c, co c R. Quidi ad esempio U(x, y) = x 3 y xy + y è u poteziale di ω. (c) Poiché ω è esatta, per u oto teorema risulta ω = U (, 3) U(, ) = 5. γ

16 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 6 V appello - Febbraio 8 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme i R della successioe di fuzioi: f (x) = x si ( ) x +, x R Verificare ioltre se vale la relazioe ) Calcolare il seguete itegrale: + I = D x si ( ) x dx =. + ( + x) dx dy, dove D è la parte di piao racchiusa dalle curve y = x e x + y =. 3) Calcolare l area del domiio regolare D racchiuso dalla curva γ di equazioi parametriche x(t) = t t, γ : t [, ]. y(t) = t t 3,

17 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 7 ) Fissato x R risulta f (x) = + Svolgimeto + x si ( ) x + =, per cui (f (x)) coverge putualmete alla fuzioe f(x). Per quato riguarda la covergeza uiforme, bisoga valutare il ite ( x si x ) e poiché sup + x R sup + x R la covergeza o è uiforme i R. f (x) f(x) = + sup x R f (x) f(x) + f () = + si + + = si >, I [, ] tuttavia la successioe (f (x)) coverge uiformemete a f(x) ; ifatti sup f (x) f(x) = sup x si ( ) x si ( ) = + x R + x R =. Ioltre le fuzioi f (x) soo itegrabili i [, ], dal mometo che soo cotiue. Vale pertato il teorema di passaggio al ite sotto il sego di itegrale, da cui x si ( ) x + + dx = x si ( ) x dx =. + + ) Il domiio D è uioe di D e D, dove D = {(x, y) : x, y x }, D = {(x, y) : x, x y }, e duque I = ( + x) dx dy + ( + x) dx dy. D D Per quato riguarda il primo itegrale, passado i coordiate polari si ha D = {(ρ, θ) : ρ, θ π} e = D ( + x) dx dy = πρ dρ = π. dρ π ( + ρ cos θ)ρ dθ = ρ[θ + ρ si θ] π dρ

18 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 8 Per quato riguarda il secodo itegrale risulta D ( + x) dx dy = = Si coclude duque che I = π. ( + x) dx x dy = ( + x x x 3 ) dx = ( + x)( x ) dx [x + x x3 3 x4 4 ] = ) Utilizzado le formule di Gauss-Gree risulta: A(D) = = γ x dy = [ 3 t3 5 4 t t5 (t t )(t 3t ) dt = ] = = 6. (t 5t 3 + 3t 4 ) dt

19 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 9 VI appello - 6 Febbraio 8 ) Studiare la covergeza putuale, uiforme e assoluta della seguete serie di fuzioi: + = cos(x ), x. ) Determiare la soluzioe dell equazioe differeziale che verifica le codizioi y() = e 3) Data la forma differeziale lieare si chiede di y y 3y = 4e x y(x) =. x + ω(x, y) = (f(y) x) dx + (x y) dy (a) determiare ua fuzioe f C (R) tale che ω sia esatta i R poteziale di ω; (b) i corrispodeza alla f trovata al puto (a), calcolare equazioe 3x + y =. γ e calcolare u ω, dove γ è la curva di

20 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 Svolgimeto ) Studiamo la covergeza putuale. Si tratta di ua serie a termii positivi, pertato applicado il criterio del rapporto si ha: a + = + a + cos(x + ) cos(x ) e duque la serie coverge putualmete i [, ]. + =, Studiamo ora la covergeza totale. Risulta, per ogi x [, ], cos(x ), e è il termie geerale di ua serie geometrica di ragioe, duqe covergete. Cocludiamo pertato che c è covergeza totale, e quidi ache assoluta e uiforme, i [, ]. ) Si tratta di u equazioe differeziale lieare del secodo ordie a coefficieti costati. Risolviamo dapprima l equazioe omogeea associata y y 3y =. Poiché il poliomio caratteristico è λ λ 3 =, le cui soluzioi soo e 3, l itegrale geerale dell equazioe omogeea associata è y H (x) = c e x + c e 3x, co c, c R. Per quato riguarda l equazioe completa, poiché il termie a secodo membro è β(x) = 4e x, cerchiamo ua soluzioe particolare della forma y(x) = Axe x, dal mometo che - è soluzioe del poliomio caratteristico. Poiché y (x) = Ae x Axe x e y (x) = Ae x + Axe x, sostituedo ell equazioe di parteza si ha da cui A =, e duque y(x) = xe x. 4Ae x = 4Ae x, L itegrale geerale è dato allora da y(x) = c e x + c e 3x xe x. Impoedo ora la codizioe y() = si ottiee c + c =, cioè c = c. Per avere, ifie, y(x) = [c (e x e 3x ) xe x ] =, deve essere c =, da cui la soluzioe x + x + cercata è y(x) = xe x.

21 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 3) (a) Poiché R è covesso, l esattezza di ω è equivalete alla chiusura. Dal mometo che X y = f (y), Y x =, affiché ω sia chiusa deve essere f (y) =, da cui f(y) = y, ad esempio. Detto F (x, y) u poteziale di ω deve essere F = (y x), x F = (x y). y Dalla prima equazioe si ottiee F (x, y) = xy x + ϕ(y), e duque F y = x + ϕ (y) = x y se e solo se ϕ (y) = y, da cui ϕ(y) = y + c, co c R. Pertato ad esempio F (x, y) = xy x y è u poteziale di ω. I alterativa, si può ache osservare che la forma differeziale lieare ω è positivamete omogeea di grado α =, e duque u poteziale può essere calcolato tramite la formula xx(x, y) + yy (x, y) F (x, y) = = α + (x(y x) + y(x y)) = xy x y. (b) Poiché ω è esatta e γ è ua curva chiusa, per u oto teorema risulta ω =. γ