PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

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1 Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo) ogi gruppo additivo abeliao ( M, + ) dotato di u applicazioe (prodotto estero) che gode delle segueti proprietà: i) per ogi a, b A, m M, ( a + b) m = am + bm ii) per ogi a A, m, M, a ( m + ) = am + a iii) per ogi a, b A, m M, ( ab ) m = a( bm) iv) per ogi m M, m = m : A M M ( a, m) am Nota Per comodità, idicheremo co 0 l elemeto eutro di M, beché questo sia il simbolo usato ache per lo zero dell aello A Il cotesto permetterà, di volta i volta, di dare la giusta iterpretazioe Esercizio 72* Provare che a) per ogi a A a0 = 0 (qui 0 idica lo zero di M) b) per ogi m M, 0m = 0 (qui 0 idica lo zero di A a primo membro, lo zero di M a secodo membro) Osservazioe 73 Se A è u campo, la ozioe di modulo su A coicide co quella di spazio vettoriale su A Esempi 74 a) L aello commutativo uitario A è u modulo su se stesso (detto modulo regolare): il prodotto estero è il prodotto di A b) Più i geerale, A è u modulo su ogi suo sottoaello uitario c) La ozioe di Z-modulo coicide co quella di gruppo abeliao Defiizioe 75 Sia M u A-modulo U sottogruppo N del gruppo additivo M si dice u sottomodulo (o, più precisamete, sotto-a-modulo) di M se, per ogi a A, N, a N (i altri termii, se è chiuso rispetto al prodotto estero) Esempi 76 a) Soo sottomoduli di u A-modulo M: M e { 0 } (quest ultimo è detto ache sottomodulo ullo)

2 b) I sottomoduli di A soo i suoi ideali c) Dato u modulo M, per ogi ideale I di A l isieme IM = { ai mi ai I, mi M, N} è u sottomodulo di M Defiizioe 77 Dato u sottoisieme S dell A-modulo M, si dice sottomodulo geerato da S il più piccolo sottomodulo di M coteete S Nota Il sottomodulo geerato dall isieme vuoto è il sottomodulo ullo Lasciamo al lettore la facile dimostrazioe della seguete: Proposizioe 78 Il sottomodulo di M geerato dal sottoisieme S è a s N, ai A si S i i, Se S = { s,, s }, idicheremo tale sottomodulo ache come As i Ai moduli si estedoo le segueti ozioi, ote dalla teoria degli spazi vettoriali Defiizioe 79 Sia M u A-modulo, sia S u suo sottoisieme Si dice che a) S è libero, se, per ogi N s,, s S, a,, a A tali che a = 0, si ha che a = 0 per, ogi i =,, I tal caso si dice ache che gli elemeti di S soo liearmete idipedeti b) S è u sistema di geeratori per M se il sottomodulo geerato da S coicide co M, ossia, se per ogi m M esistoo N, s,, s S, a,, a A tali che m a i s i c) S è ua base di M se è libero ed è u sistema di geeratori per M i s i = M si dice fiitamete geerato (fg) se ammette u sistema di geeratori fiito Nota U elemeto m di M si dice libero se { m } è libero U elemeto del modulo regolare A è libero se e solo se o è u divisore di zero Osservazioe 70 Cotrariamete a quato avviee per gli spazi vettoriali, i u modulo a) o sempre esiste ua base; b) u sistema di geeratori miimale o è ecessariamete ua base; c) u isieme libero massimale o è ecessariamete ua base; d) i sistemi di geeratori miimali o hao ecessariamete la stessa cardialità e) gli isiemi liberi massimali o hao ecessariamete la stessa cardialità L Osservazioe 70 giustifica la seguete Defiizioe 7 U modulo si dice libero se ha ua base Esempi 72 Soo moduli liberi: a) l aello A come modulo su se stesso: ua base è formata da ; b) per ogi itero positivo, l aello somma diretta A : ua base è formata dalle -uple i

3 e = (,0,0,,0,0), e = (0,,0,,0,0),, e = (0,0,0,,0,) ; 2 c) l aello dei poliomi A [x] ell idetermiata x: ua base è formata dagli elemeti, x, x, d) il modulo ullo, che ha l isieme vuoto come base Esempi 73 No soo moduli liberi: a) i gruppi Z come Z-moduli: ifatti Z o ha sottoisiemi liberi o vuoti; b) Q come Z-modulo: ifatti è facile vedere che, dato u sottoisieme S di Q, se S ha u solo elemeto, o è u sistema di geeratori, e se S ha almeo due elemeti, o è libero La seguete proprietà stabilisce, però, u importate aalogia co gli spazi vettoriali Ne daremo la dimostrazioe a coclusioe di questa lezioe Proposizioe 74 Le basi di u modulo libero hao tutte la stessa cardialità (detta rago del modulo) Ache i u modulo libero, tuttavia, possoo essere valide le affermazioi b), c) e d) dell Osservazioe 70 Lo dimostra il prossimo esempio Esempio 75 I base all Esempio 72 a) Z è uo Z-modulo libero di rago Però: 2,3 è u sistema di geeratori miimale, ma o è ua base; - { } - { 2 } è u sottoisieme libero massimale, ma o è ua base; - { 2,3} e {,5,0 } 6 soo sistemi di geeratori miimali, aveti cardialità diverse Diversamete da quato avviee per gli spazi vettoriali, u sottomodulo di u modulo libero o è ecessariamete libero Proposizioe 76 Se u ideale dell aello A è u A-modulo libero, allora è pricipale Se A è itegro, vale il viceversa Dimostrazioe: Osserviamo che u sottoisieme di A avete almeo due elemeti a, b o è libero, i quato ba-ab = 0 Quidi u ideale libero dell aello A è ecessariamete geerato da u solo elemeto, cioè è pricipale Sia I = (a) Se a = 0, allora I è libero i virtù dell Esempio 72 d) Altrimeti, se A è itegro, a è u elemeto libero Quidi { a } è ua base di I come A-modulo Esempio 77 I base all Esempio 7 c), Z [x] è uo Z[x] -modulo libero Però l ideale ( 2, x ) o è uo Z[x] -modulo libero, perché, come visto i Algebra 2, Esempio 62, o è u ideale pricipale Osservazioe 78 Dalla Proposizioe 76 o è possibile rimuovere l ipotesi di itegrità Ifatti, i Z 6, l ideale ([ 2] 6 ) o è uo Z 6-modulo libero, perché essuo dei suoi elemeti è libero Per avere proprietà simili a quelle degli spazi vettoriali, è ecessario cosiderare moduli liberi fiitamete geerati su domii ad ideali pricipali, ad esempio su Z Per questi vale il seguete teorema, che è cosegueza del Teorema di struttura per i moduli fiitamete geerati su Z (vedi Algebra 2, Lezioe 27) 2

4 **Teorema 79 Sia M u modulo libero fiitamete geerato su Z, e sia m il rago di M Sia N u sottomodulo di M Allora a) N è libero, fiitamete geerato, di rago m ; b) esiste u base { s,,s m } di M ed esistoo umeri iteri c,,c tali che { c s,, c s } sia ua base di N; c) L idice ( M : N ) è fiito se e solo se m = I tal caso, se { a,,a m } e { b,,b m } soo basi di M ed N rispettivamete, allora esiste u matrice ivertibile T di ordie m a coefficieti i Z tale che Ioltre, ( M : N) = dett Dimostrazioe: [B], Theorem A b a = T b m a m Nota La codizioe m= coteuta ella parte b) dell euciato o implica affatto che M=N Basta pesare che, i base alla Proposizioe 76, tutti i sottogruppi (ideali) di Z soo Z- moduli liberi di rago Defiizioe 720 U applicazioe f : M N tra A-moduli si dice u omomorfismo di A- moduli (o applicazioe A-lieare) se è u omomorfismo di gruppi additivi tale che, per ogi a A, m M, f ( am) = af ( m) Esercizio 72* Provare che l immagie (la cotroimmagie) di u sottomodulo del modulo di parteza (di arrivo) è u sottomodulo del modulo di arrivo (di parteza) I particolare, il ucleo di u omomorfismo di moduli è u sottomodulo del modulo di parteza Cocludiamo questa sezioe itroduttiva co la struttura di modulo quoziete Dati u A- modulo M ed u suo sottomodulo N, il gruppo quoziete M N può essere dotato di ua struttura di A-modulo defiedo il prodotto estero el seguete modo: per ogi a A, m M si poe a( N + m) = N + am Si verifica facilmete che tale defiizioe è be posta Defiizioe 722 Il gruppo quoziete M N dotato del prodotto estero defiito sopra si dice modulo quoziete di M rispetto ad N (detto, per brevità, ache M su N, oppure M modulo N) La suriezioe caoica

5 π : M M N m N + m com è facile vedere, è u omomorfismo di moduli Ai moduli, agli omomorfismi di moduli ed ai moduli quoziete si estedoo i maiera aturale le pricipali proprietà valide per i gruppi (ad esempio, i Teoremi di isomorfismo, di corrispodeza, e molti altri) e le pricipali costruzioi (somma diretta, prodotto diretto) Le richiameremo, di volta i volta, quado ci occorrerao Per ora, diamo ivece u risultato che appartiee esclusivamete alla teoria dei moduli, e che ci sarà utile per dimostrare la Proposizioe 74 Lemma 723 Sia I u ideale dell aello A e sia M u A-modulo Allora M IM è u modulo su A I mediate il prodotto estero defiito come segue: per ogi a A, m M, ( I + a)( IM + m) = IM + am Dimostrazioe: È sufficiete dimostrare che la defiizioe è be posta: dopo di ciò, gli assiomi di modulo seguoo baalmete da quelli soddisfatti da M Siao a ' A, m' M tali che Allora si deduce facilmete che I + a ' = I + a, IM + m' = IM + m a ' m' am = a ' m' a ' m + a ' m am = a '( m ' m) + ( a ' a) m IM Siamo ora i grado di dare la Dimostrazioe della Proposizioe 74: Sia M u modulo libero sull aello A Sia B ua sua base Supporremo, per semplicità, che B sia fiito, B = { x,, x} Sia I u ideale massimale di A (esistete come cosegueza del Lemma di Zor, vedi, ad esempio, [AM], Teorema 3) Allora A I è u campo (vedi Algebra 2, Proposizioe 80), e alla luce del Lemma 723, M IM è uo spazio vettoriale su A I Detta π : M M IM la suriezioe caoica, è facile vedere che π ( B) è u sistema di geeratori di M IM su A I Proviamo che π ( B) è ache u isieme libero Siao a,, a A tali che ( I + ai )( IM + xi ) = IM + 0 () Allora a x IM i i, quidi esistoo b,, b I tali che a x = b x i i i i

6 Per l uicità della rappresetazioe, segue che, per ogi i =,,, ai = bi, quidi I + ai = I Segue che i coefficieti della combiazioe lieare i () soo tutti ulli Ciò prova che π ( B) è ua base di M IM su A I, quidi = dim M / IM A/ I Ciò prova che tutte le basi di M su A hao lo stesso umero di elemeti = Suppoiamo che l A-modulo M ammetta u sistema di geeratori fiito S { s,, } Cosideriamo l applicazioe s ϕ : A M ( a,, a ) a s i i Questa è evidetemete u omomorfismo di A-moduli suriettivo, che è iiettivo se e solo se S è ua base I base al teorema fodametale di omomorfismo per moduli segue Proposizioe 724 Ogi A-modulo geerato da elemeti è isomorfo ad u quoziete di A