Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

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1 INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi come somme di dearo, riferiti a epoche diverse. Esistoo 2 tipi di operazioi fiaziarie : operazioi fiaziarie semplici : che risultao dallo scambio tra 1 sola prestazioe e ua sola cotroprestazioe operazioi fiaziarie complesse : che risultao dallo scambio tra 1 sola prestazioe e più cotroprestazioi o viceversa ; ache il leasig, il rimborso di u debito, la costituzioe di u capitale soo operazioi complesse. Tutte le operazioi fiaziarie soo sempre legate al fattore tempo. Il tempo si può rappresetare graficamete mediate ua retta orietata, detta asse dei tempi, ella quale : il verso della retta idica il trascorrere del tempo ; l origie rappreseta l istate i cui si icomicia a cotare il tempo; l uità di misura è l uità di tempo prescelta ( ao, semestre, mese.) Il capitale iiziale è il valore del capitale impiegato all iizio dell operazioe fiaziaria, cioè il capitale che frutterà u certo iteresse L iteresse I è il compeso che spetta a chi presta u certo capitale per u tempo t, ad u certo tasso di iteresse. Si chiama tasso di iteresse uitario auo, e si idica co i, l iteresse prodotto i 1 ao dal capitale uitario di 1. Si chiama tasso di iteresse percetuale auo, e si idica co r, l iteresse prodotto i 1 ao dal capitale di 100. Si chiama motate o valore fiale, il valore del capitale al quale è stato aggiuto l iteresse I. = + I atematica Fiaziaria Pag. 1/6

2 REGII DI APITALIZZAZIONE Ogi volta che si calcola u motate, si sta eseguedo u procedimeto detto capitalizzazioe. Esistoo due regimi di capitalizzazioe: a) capitalizzazioe semplice, i cui l iteresse o è fruttifero, perché è solo il capitale iiziale a fruttare; b) capitalizzazioe composta, i cui l iteresse è fruttifero, perchè alla fie di ogi periodo, si aggiuge al capitale iiziale e produce a sua volta, u iteresse ei periodi successivi. APITALIZZAZIONE SEPLIE Nella capitalizzazioe semplice, l iteresse I è direttamete proporzioale al capitale, al tasso i, al tempo t. Pertato si calcola co la formula : I = it ( si utilizza quado il tasso è auo e il tempo è espresso i ai ) it Se il tempo è i ai e mesi I = 12 it Se il tempo è i ai, mesi e giori I = 360 ( si itede ao commerciale di 360 gior Se il tasso o è auo, ma è riferito ad ua frazioe di ao avremo i segueti casi: tasso semestrale i 2; tasso quadrimestrale i 3, tasso trimestrale i 4, tasso bimestrale i 6, tasso mesile i 12, ed ache il tempo adrà riferito ella stessa uità di misura del tasso. Esempio 1) alcolare l iteresse prodotto da 500 impiegati per 2 ai e 6 mesi al tasso trimestrale i 4 = 0,03 t = 2a 6 m = 2x = 30 mesi, poiché il tasso è trimestrale e i u trimestre ci soo 3 mesi t = I = 500 x 0,03 x = atematica Fiaziaria Pag. 2/6

3 PROBLEI INVERSI DELLA APITALIZZAZIONE SEPLIE ( NOTO I ) Dalla formula I = it, si possoo ricavare le formule iverse che permettoo di calcolare,i, t, quado soo oti gli altri 3 elemeti. = it I I ; i = t I ; t = i ONTANTE SEPLIE Il motate come sappiamo è la somma del capitale iiziale co l iteresse I maturato al termie dell operazioe, cioè al tempo t. Quidi cooscedo e I = + I. Se o si coosce I e o serve calcolarlo, il motate va calcolato co la formula : = + it = ( 1 + it ) Il fattore ( 1 + it ) è detto fattore di capitalizzazioe semplice, perché esso rappreseta il motate el regime di capitalizzazioe semplice, di 1 euro al tasso i e per il tempo t. PROBLEI INVERSI DELLA APITALIZZAZIONE SEPLIE ( NOTO ) = ; i = t ; t = i GRAFII di I e di Fissato u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale, I e si possoo rappresetare graficamete come 2 fuzioi lieari. Posto t = x ; I = y da I = it y = i. x cosiderado i come costate, si ota che y = i.x è l equazioe di ua retta uscete dall origie. atematica Fiaziaria Pag. 3/6

4 Ivece da = + it, posto = y e t = x y = i.x + è l equazioe di ua retta parallela alla precedete, ma uscete da u puto su asse y di coordiate ( 0; ) APITALIZZAZIONE OPOSTA Si parla di regime di capitalizzazioe composta, quado il tempo di impiego di u capitale è suddiviso i più periodi e, alla fie di oguo di essi, l iteresse semplice, prodotto dal capitale esistete all iizio del periodo si aggiuge al capitale e, isieme ad esso, produce iteresse ei periodi successivi. La capitalizzazioe composta si dice : - aua, se il periodo di capitalizzazioe è l ao e il tasso è auo i ; - frazioata, se il periodo di capitalizzazioe è u sottomultiplo dell ao ( trimestre, semestre, quadrimestre, bimestre, mese ) Il motate composto di u capitale, al tasso auo i, impiegato per ai, si calcola co la formula : = ( 1 + i ), il fattore ( 1 + i ) è detto fattore di capitalizzazioe composta o di motate composto, perché moltiplicato per, mi dà il valore del motate composto. Quado il tempo o è u umero itero di ai, ma ai, mesi e giori, per calcolare il motate composto esistoo 2 covezioi : a) ovezioe espoeziale : = ( 1 + i ) a + m/12 + g/360 b) ovezioe lieare o mista : = ( 1 + i ). ( 1 + i. t) ove = umero ai e m g t = atematica Fiaziaria Pag. 4/6

5 PROBLEI INVERSI DELLA APITALIZZAZIONE OPOSTA Tre soo i problemi iversi che si presetao ella capitalizzazioe composta : a) alcolo del apitale = b) alcolo del tasso auo i i = - 1 c) alcolo del tempo = Log( ) Log(1+ APITALIZZAZIONE OPOSTA FRAZIONATA Quado el calcolo del motate composto la capitalizzazioe degli iteressi o è aua, ma avviee i periodi di tempo iferiori all ao, perché il tasso o è più auo, ma è relativo ad 1/k di ao ( per esempio tasso semestrale,trimestrale ecc), si parla di ONTANTE OPOSTO FRAZIONATO. Se il tasso è semestrale, si idica co i 2 e il tempo va espresso come frazioe di semestre 2 x360+ 3x Es = 2 a 3 m 10 g =, si mette 180 perché i 1 semestre ci soo giori Se il tasso è trimestrale, si idica co i 4 e il tempo va espresso come frazioe di trimestre 4 x12+ 5 Es = 4 a 5 m =, si mette 3 perché i 1 trimestre ci soo 3 mesi 3 Tasso Tasso Tasso quadrimestrale Tasso Tasso semestrale trimestrale bimestrale mesile i 2 i 4 i 3 i 6 i 12 Per il resto valgoo le stesse formule dirette ed iverse viste per la capitalizzazioe composta. REGII DI SONTO Si defiisce Scoto, il compeso che spetta a chi paga aticipatamete u certo capitale. Si defiisce Somma Scotata o Valore Attuale di u capitale esigibile tra -periodi, il capitale esigibile subito V. Si defiisce Valore Nomiale, il capitale che dovrebbe essere pagato alla scadeza. I geerale lo scoto è la differeza tra valore omiale e somma scotata. S = V Accato ad ogi regime di capitalizzazioe esiste u regime di scoto. SONTO RAZIONALE SEPLIE atematica Fiaziaria Pag. 5/6

6 E il regime di scoto secodo il quale lo scoto razioale di u capitale di valore omiale, si it calcola co la formula : S raz = Oppure, se è ota la somma scotata V, lo scoto razioale si può calcolare così : S raz = V. i. t etre la somma scotata si ottiee i due modi: a) V = - S raz ( se soo oti valore omiale e scoto razioale) b) V = ( se soo oti il valore omiale, il tasso e il tempo ) SONTO OPOSTO E il regime di scoto secodo il quale lo scoto composto di u capitale di valore omiale, si calcola co la formula S c = [1 (1+ ] etre il valore attuale o somma scotata V, si trova co la stessa formula iversa utilizzata per calcolare il capitale ella capitalizzazioe composta, ovvero : V = 1 Il fattore si chiama fattore di scoto composto, perché mi permette di trovare la somma (1+ scotata V, oto il valore omiale del capitale. PRINIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA Per poter cofrotare, sommare, sottrarre dei capitali scadeti i epoche diverse, occorre riferirli alla stessa scadeza, portadoli avati o idietro sull asse dei tempi. Portare avati su asse dei tempi u capitale, sigifica capitalizzarlo, ovvero calcolare il motate mediate la capitalizzazioe semplice o quella composta. Per otteere il motate semplice si utilizza la formula = ( 1 + it ) Per otteere il motate composto si utilizza la formula = ( 1 + i ) Portare idietro su asse dei tempi u capitale, sigifica scotarlo, ovvero calcolare il valore attuale o somma scotata mediate i regimi di scoto semplice o composto. Per otteere il valore attuale co scoto semplice si usa la formula V = Per otteere il valore attuale co scoto composto si usa la formula V = atematica Fiaziaria Pag. 6/6