Precorso di Matematica, aa , (IV)

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1 Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe ax = 1 ha ua ed ua sola soluzioe, questa soluzioe si dice l iverso di a e si idica co a 1. Ad esempio si ha ( ) 1 =.. Poteze co espoete itero relativo. Per ogi umero reale a R e per ogi itero relativo Z, la poteza di base a ed espoete e defiita da aa a ( volte) per > 0; a = 1 per = 0; ; a 1 a 1 a 1 ( volte) per < 0; le poteze co espoete egativo soo defiite solo per a 0. Ad esempio si ha: ( ) = ( ) = 9 4. Le poteze ad espoete itero relativo hao le segueti proprieta :. Radici Cosideriamo l equazioe a m a = a m+ ; (a m ) = a m ; (ab) m = a m b m. x = a ell icogita x; per ogi a 0 si prova che l equazioe ha due soluzioi reali, di sego opposto (evetualmete coiciedeti i 0); 1

2 la soluzioe maggiore-uguale a 0 viee detta radice quadrata di a e viee idicata co a; per ogi a < 0 l equazioe o ha soluzioi reali, e i tal caso a o e defiita. Cosideriamo l equazioe x = a ell icogita x; per ogi a R si prova che l equazioe ha ua ed ua sola soluzioe; questa soluzioe viee detta radice terza di a e viee idicata co a. Si vegoo cosi a defiire le radici m a per ogi itero m ; per m pari m a e defiita solo per a 0, e si ha m a 0; per m dispari m a e defiita per ogi a R, e m a ha lo stesso sego di a. Coviee porre 1 a = a, per ogi a R. Per ogi itero positivo, l operazioe radice ma e l iversa dell operazioe poteza ma, el seso che valgoo le idetita segueti ( ) a = a per dispari; a = a, a = a per pari. per ogi a R. Per semplicita, d ora iazi ci limiteremo a cosiderare radici di umeri maggiori-uguali a 0. Le operazioi di radice possiedoo le segueti proprieta m a = ( m a ) ; m a = m a; m a m b = m ab,

3 per ogi a, b 0. Osserviamo che mp a p = m p a p = m a. Queste proprieta possoo essere usate per effettuare delle semplificazioi: = 4 = 4 = 4, = 8 4 = 8 4 = 4; oppure per effettuare dellle moltiplicazioi: 15 = = 0 5 = Poteze co espoete razioale. Per ogi umero reale positivo a > 0 e per ogi umero razioale m, co m itero relativo ed itero positivo, la poteza di base a ed espoete m e defiita da a m = a m Osserviamo che la defiizioe e be posta: se mp, co p itero positivo, p e ua frazioe equivalete a m, si ha Alcui esempi: a mp p = p a mp = a m = a m. 4 = 4 = 4 8; 4 = 4 = Le proprieta delle poteze cotiuao a valere per le poteze ad espoete razioale. Verifichiamo la prima proprieta : a m p a q = p a m q a = pq a mq pq a p = pq a mq+p = a mq+p pq = a m p + q. 5. Poteze co espoete reale. Per ogi umero reale positivo a > 0 e per ogi umero reale r, si puo defiire la poteza a r di base a ed espoete r. No diamo la defiizioe, ma solo u idea ituitiva su u esempio. La poteza π si puo otteere cosiderado la successioe,, 1,, 14,...

4 di decimali che approssimao π, ed usado la corrispodete successioe di poteze ad espoete razioale,,1,,14,... per defiire per approssimazioe π. Si dimostra che le proprieta delle poteze cotiuao a valere per le poteze ad espoete reale. Sotto l assuzioe fatta a > 0 si ha a r > 0 per ogi r R; ioltre 1 r = 1 per ogi r R.. Espoeziali Per ogi b > 0 fissato, cosideriamo la fuzioe che associa ad ogi x R la poteza b x di base b ed espoete x; questa fuzioe si chiama fuzioe espoeziale di base b e si deota co exp b ; cosi si ha exp b (x) = b x. Dalle proprieta delle poteze segue che la fuzioe espoeziale trasforma somme i prodotti e trasforma prodotti i poteze exp b (x + y) = exp b (x)exp b (y), exp b (xy) = (exp b (x)) y. Le basi piu usate soo 10 e soprattutto il umero di Nepero e; questo umero e irrazioale, le sua approssimazioe alle prime cifre decimali e e =, 718; la fuzioe espoeziale di base e viee idicata semplicemete co exp, cioe si poe exp (x) = e x. 7. Logaritmi Fissato u umero reale b, co b > 0 e b 1, cosideriamo le equazioi b x = a 4

5 ell icogita x; per ogi a > 0 si prova che l equazioe ha ua ed ua sola soluzioe reale; questa soluzioe viee detta logaritmo i base b di a, e viee idicata co log b a; per ogi a < 0 l equazioe o ha soluzioi reali, e i questo caso log b a o e defiito. I altri termii, l uguagliaza log b a = c sigifica che b c = a (b > 0, b 1, a > 0). Ad esempio, si ha 1 log 4 =, log 1 1 = 1, log = 1, log 1 = 0, 1 log =, log = 1, log 4 =. Per ciascu b fissato, la fuzioe espoeziale di base b e la fuzioe logaritmo i base b soo ua l iversa dell altra, el seso che b log b a = a, per ogi a > 0; log b (b a ) = a, per ogi a. Ciascua fuzioe logaritmo trasforma prodotti i somme e poteze i prodotti log b (a 1 a ) = log b a 1 + log b a, log b (a r ) = r log b a, per ogi a 1, a, a > 0, ed ogi r R. Verifichiamo la prima proprieta. Si ha che b log b a 1 = a 1, b log b a = a ; moltiplicado membro a membro, otteiamo b log b a 1 b log b a = a 1 a ; per le proprieta delle poteze, si ha b log b a 1+log b a = a 1 a ; 5

6 da cio segue che log b (a 1 a ) = log b a 1 + log b a. Esempio. log = log 10 ( 10, 40 ) = log 10 ( 10 ) + log 10 (, 40) = + m, dove m e u umero reale, co 0 < m < 1. I geerale, se u umero a ha ordie di gradezza 10 k, co k itero relativo, allora il logaritmo i base 10 di a ha parte itera k. I logaritmi erao lo strumeto pricipale del calcolo umerico mauale. Veivao stilate tavole di valori della fuzioe espoeziale e della fuzioe logaritmo (solitamete i base 10, co ua approssimazioe a u certo decimale). Il calcolo dei prodotti veiva ricodotto al piu semplice calcolo delle somme el modo seguete. Per calcolare il prodotto a = a 1 a di due umeri a 1 e a, si predevao sulla tavola della fuzioe logaritmo i valori l 1 = log 10 a 1 e l = log 10 a, poi si calcolava la somma l = l 1 + l, e ifie si predeva sulle tavola della fuzioe espoeziale il valore 10 l = a. La fuzioe logaritmo di base e viee detta logaritmo aturale e viee idicata semplicemete co l, cioe si poe la = log e a. Fuzioi trigoometriche 1. Fissato el piao u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale moometrico, cosideriamo la circofereza co cetro ell origie e raggio 1, avete duque lughezza π ed equazioe x + y = 1. Sia P u puto materiale che si muove el tempo, e sia P(t) il puto del piao i cui si trova P all istate t; suppoiamo che P si muova sulla circofereza i seso atiorario co velocita agolare costate,

7 percorredo u arco di lughezza 1 i ogi uita di tempo, e che P si trovi i (1, 0) all istate t = 0. A partire da ogi istate, il puto P ritora ella stessa posizioe dopo π uita di tempo; i simboli, si ha da cui segue che P(t + π) = P(t), per ogi t R, P(t + kπ) = P(t), per ogi t R, k Z. Ioltre, π e il piu piccolo umero reale positivo per il quale vale questa proprieta. Questo fatto si esprime dicedo che il moto di P e periodico ed ha periodo π. Si ha ioltre che P( t) e simmetrico a P(t) rispetto al primo asse del sistema di riferimeto, per ogi t R.. Le fuzioi Coseo e Seo Per ogi umero reale t, la prima coordiata del puto P(t) si dice coseo di t, e viee idicata co cost; la secoda coordiata del puto P(t) si dice seo di t, e viee idicata co si t. I altri termii, si poe P(t) = (cost, si t), t R. Dal fatto che ciascu puto P(t) appartega alla circofereza segue che (cost) + (si t) = 1, t R. Le fuzioi coseo e seo soo periodiche di periodo π; i particolare si ha cos (t + kπ) = cost, per ogi t R, k Z; si (t + kπ) = si t, per ogi t R, k Z. 7

8 Si ha ioltre cos ( t) = cost, per ogi t R; si ( t) = si t, per ogi t R. Dalla defiizioe si ricava immediatamete la seguete tabella di valori t cost si t π 0 1 π Altri valori si possoo ricavare da cosiderazioi di geometria elemetare. Ad esempio per t = π si ha che il triagolo di vertici l origie O, P(π) e P( π) ha tutti gli agoli uguali a π, e tutti i lati di lughezza 1. Da cio segue che ( π ( π ) cos = ), si = 1.. Cosideriamo l equazioe cos x =. Le soluzioi x co 0 x < π soo x = π e x = π. Poiche la fuzioe coseo e periodica di periodo π, le soluzioi x R soo x = ± π + kπ, k Z. Cosideriamo l equazioe si x = 1. Le soluzioi x co 0 x < π soo x = π e x = 5 π. Poiche la fuzioe seo e periodica di periodo π, le soluzioi x R si possoo descrivere come x = π ± π + kπ, k Z. 8

9 4. La fuzioe Tagete. Per ogi t R, cosideriamo la retta passate per l origie O e per il puto P(t); la pedeza di questa retta viee detta tagete di t, e viee idicata co ta t. Duque la tagete di t e defiita per t π + kπ, k Z, e si ha tat = si t cost. La fuzioe tagete e periodica di periodo π, i particolare si ha Si ha ioltre ta(t + kπ) = tat, per ogi t R, k Z. ta( t) = ta t, per ogi t R. Esempio. 5. Cosideriamo l equazioe ta( π ) = si (π) 1 cos ( π) = = 1 =. ta x =. Nell itervallo π x < π c e solo la soluzioe x = π. Poiche la fuzioe tagete e periodica di periodo π, le soluzioi x R soo x = π + kπ, k Z. 9