ORDINAMENTO 2010 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1

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1 ORDINAMENTO 1 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 Due osservatori si trovao ai lati opposti di u grattacielo, a livello del suolo. La cima dell edificio dista 16 metri dal primo osservatore, che la vede co u agolo di elevazioe di 15. Se il secodo idividuo si trova a 65 metri dalla cima del grattacielo, quale è la distaza tra i due osservatori (o teedo coto dell ostacolo grattacielo)? Sia A l osservatore da cui la cima del grattacielo dista 16 m e B quello da cui la cima del grattacielo dista 65 m. Idichiamo co H la base del grattacielo (che assimiliamo ad u segmeto) e C la cima del grattacielo. Avremo: AH = 16 cos m ; CH = 16 se(15 ) m Risulta quidi: BH = BC CH = = 51.1 m AB = m m = m La distaza tra i due osservatori è di circa 46 metri. QUESITO Si calcoli il limite della fuzioe (1 + tg(x)) cotg(x) quado x tede a. lim (1 + x tg(x))cotg(x) = lim (1 + tg(x)) tg(x) = e x 1 Ricordiamo che dal limite otevole lim x (1 + 1 x )x = e segue che lim x (1 + x) 1 x = e 1/ 7

2 e da quest ultimo si deduce che, se f(x) allora [1 + f(x)] 1 f(x) tede ad e. Nel ostro caso f(x)=tg(x). QUESITO 3 I quati modi 1 persoe possoo disporsi su dieci sedili allieati? E attoro ad u tavolo circolare? Le dieci persoe si possoo sedere su dieci sedie allieate i u umero di modi pari alle permutazioi di 1 oggetti, cioè 1! = Se le dieci persoe siedoo itoro ad u tavolo circolare, siccome ua cofigurazioe o cambia se ruotiamo le sedie, immagiiamo di occupare u posto co ua persoa qualsiasi. Gli altri ove posti possoo essere occupati dalle ove persoe rimaeti i 9! = 3688 modi. QUESITO 4 Si dimostri che ogi fuzioe f(x) = ax 3 + bx + cx + d dove a, b, c, d soo valori reali co a, ha u massimo e u miimo relativi oppure o ha estremati. Osserviamo che la cubica al più ifiito e al meo ifiito ammette limiti ifiiti di sego discorde: lim x ± (ax 3 + bx + cx + d) = lim x ± (ax 3 ) = ± se a> e se a<. Aalizziamo la derivata prima: f (x) = 3ax + bx + c Se Δ 4 = b 3ac < o abbiamo puti a tagete orizzotale e la fuzioe è sempre crescete o decrescete (a secoda del sego di a); i tal caso la fuzioe o ammette estremati. Esempio: b=1, a=1, c=1, d=: f(x) = x 3 + x + x / 7

3 Se Δ 4 = b 3ac > : la fuzioe è crescete per valori esteri o iteri all itervallo co estremi le radici di f (x) = e quidi ammette u massimo ed u miimo relativi. Esempio 1 (a>): b=, a=1, c=1, d=: f(x) = x 3 + x + x Esempio (a<): b=, a=-1, c=-1, d=: f(x) = x 3 + x x Se Δ 4 = b 3ac = si ha che f (x) = i u solo puto ed f (x) è sempre positiva o egativa, quidi la fuzioe è sempre crescete: o ci soo estremati. Esempio: b=3, a=1, c=3, d=: f(x) = x 3 + 3x + 3x 3/ 7

4 QUESITO 5 Si calcoli il volume del solido geerato da ua rotazioe completa attoro all asse x del triagolo di vertici A(, ), B(6, 4), C(6, 6). Il volume del solido richiesto si ottiee sottraedo al volume V 1 del troco di coo di raggi AH= e CK=6 il volume V del troco di coo di raggi AH= e BK=6. Etrambi i coi hao altezza HK=4. Quidi, ricordado che la formula per calcolare il volume del troco di coo è: V = 1 3 (R + r + Rr) h abbiamo: V 1 V = 1 3 ( ) ( ) 4 = 8 3 QUESITO 6 Si dica se esistoo umeri reali per i quali vale la seguete uguagliaza: + x = se 4 x + cos 4 x + 6 se x cos x. 11 = 3 11 u3 3 Osserviamo che il secodo membro dell uguagliaza equivale a: (se x + cos x) + 4se x cos x = 1 + se (x) Il primo membro dell uguagliaza risulta ivece: + x > Quidi l uguagliaza o è mai verificata. 4/ 7

5 QUESITO 7 Sia P u puto del piao di coordiate (t + 1, t 1 ). Al variare di t (t ), P descrive u t t luogo geometrico del quale si chiede l equazioe cartesiaa e il grafico. Il luogo i forma parametrica è: { x = t + 1 t y = t 1 t ; per elimiare il parametro osserviamo che x + y = t, t = x+y Sostituedo, per esempio, ella secoda equazioe si ha: y = t 1 t x + y = y = x + y = (x + y) 4, da cui: (x + y) y(x + y) = x + xy + y 4, x y = 4 Il luogo è u iperbole equilatera riferita agli assi cartesiai co asse trasverso l asse x e vertici reali (-;) e (;). Il grafico è il seguete: QUESITO 8 Si dimostri che il perimetro di u poligoo regolare di lati, iscritto i ua circofereza di raggio r, quado si fa tedere all ifiito, tede alla lughezza della circofereza. Idicado co O il cetro della circofereza e co AB il lato del poligoo regolare iscritto di lati, il perimetro del poligoo si ottiee moltiplicado per la misura di AB. 5/ 7

6 Osserviamo che l agolo AOB vale, i radiati,, quidi il corrispodete agolo alla circofereza, uguale alla metà, vale ; pertato, per il teorema della corda, si ha: AB = r se ( ), ed allora il perimetro del poligoo è: p = r se ( ) ; calcoliamo il limite per che tede all ifiito di questo perimetro: lim r se ( ) = lim ( r [se ) ] = r 1 = r = lughezza circofereza. QUESITO 9 Si calcoli il valore medio della fuzioe f(x) = cos 3 x ell itervallo x. Ricordiamo che il valor medio di ua fuzioe f(x) cotiua i u itervallo [a; b] è dato da: b 1 b a f(x)dx = 1 a cos3 x dx = cos3 x dx Calcoliamo l itegrale idefiito: cos 3 x dx = cos x cos x dx = cos x (1 se x) dx = (cos x cosx se x)dx = = cosx dx cos x se x dx = sex 1 3 se3 x + C Quidi: cos3 x dx = [sex 1 3 se3 x] = [1 1 3 ] = 4 = valor medio 3 6/ 7

7 QUESITO 1 Si dimostri che se le diagoali di u quadrilatero soo perpedicolari, la somma dei quadrati di due lati opposti è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Applicado il teorema di Pitagora si ha: a + c = (AO + BO ) + (CO + DO ) b + d = (BO + CO ) + (AO + DO ) Si vede quidi facilmete che a + c = b + d. Co la collaborazioe di Agela Satamaria 7/ 7