3.1 Rappresentazione dello stato tensionale nel piano di Mohr: circoli di Mohr.

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1 DIDATTICA DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA MODULO TRE I CONCETTI FONDAMENTALI NELL ANALISI DELLA TENSIONE PARTE B) MODULO PER LO SPECIALIZZANDO Modulo. Rappresetazioe dello stato tesioale el piao di Mohr: circoli di Mohr.. Rappresetazioe dello stato tesioale el piao di Mohr: circoli di Mohr.

2 Si può dare al problema delle tesioi, ache u iterpretazioe grafica su u piao cartesiao fittizio, detto piao di Mohr. Si vedrà come co questo metodo è possibile rappresetare el piao, quidi i due dimesioi dove è più facile ragioare, la tesioe applicata i u puto geerico Q apparteete allo spazio. Si cosideri allora, el sistema di riferimeto pricipale P,,,) il tesore degli sforzi, che sarà di tipo diagoale essedo ulle le compoeti tageziali ij, della tesioe. Τ figura 4 Il vettore tesioe che i geerale è: t t t x y z x xy xz yx y yz zx zy z x y z a) diveta:

3 t t t b) t 4a) 4b) t 4c) t dove,, soo i cosei direttori della direzioe r el sistema di riferimeto pricipale,,. figura 5 Ma la tesioe che agisce el puto P, origie della tera è sempre rappresetabile co, allora la compoete ormale del vettore tesioe riferita alla tera pricipale sarà: r r t 5) cioè ) t t t e sostituedo la ) si ottiee

4 ) 6) sviluppado il prodotto matriciale. 7) Si può osservare che per il teorema di Pitagora relativo alla figura 6, si ottiee: t t t t t 8) figura 6 Le formule 7) e 8) co la codizioe 9) a cui devoo soddisfare i cosei direttori, foriscoo u sistema di tre equazioi lieari

5 4) elle variabili,, ; dove,,, soo le compoeti pricipali della tesioe, e vao itese come coefficieti oti, metre, soo parametri. Risolvedo il sistema si hao le segueti soluzioi: ) ), 4a) ) ), 4b) ) ). 4c) Per lo studio di tali soluzioi si cosideri il puto P origie del sistema di riferimeto,, e cetro di ua sfera Γ di raggio uitario; essedo il raggio uguale all uità, si può riteere che le tesioi su di u elemetio di superficie da, itoro di P, soo le stesse di quelle che agiscoo su di u elemetio di superficie tagete alla sfera itoro a Q, avete lo stesso versore della ormale r.

6 Sia allora da l elemetio d itoro di P di ormale r, trasportado r el puto Q idividuato dall itersezioe di r co la superficie della sfera, supposto oto il tesore degli sforzi ell itoro da del puto P, si vuole studiare la corrispodeza tra il puto geerico Q,, ) della superficie sferica di raggio uo, costruita itoro a P e u puto Q, ) che ha per coordiate le compoeti ormali e tageziali della tesioe sulla stessa giacitura i u piao, detto piao di Mohr, come acceato agli iizi del presete paragrafo. figura 7 a figura 7b Si dimostra ora come el piao,, le compoeti,, di r siao dei cerchi che costituiscoo il legame tra la rappresetazioe ello spazio e la rappresetazioe el piao, sempre fattibili. Se cosideriamo i puti Q co,,, si idividuao ello spazio, di riferimeto P,,,), le circofereze a,b,c della sfera Γ giacete ei piai coordiati di sostegi,, rispettivamete.

7 figura 8a figura 8b Si ottiee allora per per per ; ; ;

8 figura 9 La sfera si riduce el piao, di Mohr all isieme dei puti Q delle tre circofereze ' ' ' a, b, c dette circoli di Mohr. Essi costituiscoo l isieme dei puti che rappresetao i vettori tesioe sulle giaciture del fascio di piai passati per P co sostego rispettivamete le rette,,. I cetri e i raggi soo rispettivamete: C,) R ; 4a) C,) R ; 4b) C,) R. 4c) Della sfera che rappreseta lo spazio dei puti Q, el riferimeto P,,,) i particolare si cosiderio i puti Q,,), Q,,), Q,,), figura8a), dati dall itersezioe della sfera stessa co gli assi coordiati, rispettivamete,,; si trova immediatamete che a questi puti corrispodoo rispettivamete i puti Q ', ), Q ', ), Q ', ) el piao di Mohr, e soo di itersezioe co l asse.

9 Ipotizzado e questo o è restrittivo), che tra le tesioi pricipali esista la relazioe: > >,i puti sarao posizioati come riportato i figuta 8b; essi soo gli uici ad ordiata ulla ed ascissa i grado di estremo, essedo l ua massima puto Q ' ), l altra miima puto Q ' ). Si ota ioltre che i puti Q, Q, Q della sfera itoro a P, corrispodoo elle circofereze ' ' ' a, b, c, ai puti ' Q, Q ', Q ' delle circofereze, tageti due a due figura 9). I determiati del sistema 4) soo di sego certo e precisamete uguale a: ) ) 44a) ) ) 44b) ) ) 44c) per l ipotesi fatta > >, idividuao ua zoa compresa tra la circofereza maggiore e le due miori come riportato i figura 9 puti del piao di Mohr che rappresetao il domiio delle soluzioi delle disequazioi 44a, 44b, 44c). figura Si tratta di u domiio chiuso poiché cotiee tutti i puti di frotiera, cioè le ' ' ' circofereze a, b, c.

10 Allora ote le tesioi pricipali,, e assumedo > >, le compoeti, ), di u vettore tesioe, relative alle ifiite giaciture di u puto Q apparteete all itoro di u geerico puto P, soo tali per cui i puti di rappresetazioe Q ' rispettao il luogo geometrico secodo la figura detto Arbelo di Mohr. Si cosideri il caso i cui la tesioe t r abbia compoeti solo el piao idividuato dagli assi coordiati,; si cerca la corrispodeza dei puti Q apparteeti al sistema P,,,) ello spazio, e i puti I questo caso si ha: ' Q rappresetati el piao, ) di Mohr. cosα siα m siα m cosα 45) allora cos α si α cos α ) 46) m m si α) 47) cosiderado la circofereza i questioe per, a stati di tesioe t r di agolo α adrao a corrispodere, ella circofereza relativa, stati di tesioe agolo al cetro α., relativi ad u figura a figura b

11 figura c Si cosideri ora il caso più geerale di u puto Q su di ua sfera di raggio ifiitesimo i u sistema di riferimeto pricipale,, di cetro P. Il puto Q sia la proiezioe di P e della sua areola sulla sfera lugo la ormale, su cui agisce ua certa tesioe t r. Note le tesioi pricipali,,, si cosiderio su u quarto di sfera, i tre piai paralleli ai piai pricipali e gli agoli α,β,γ che la ormale r forma co gli assi,,. Si è visto che impoedo le codizioi,,, vale la corrispodeza co il piao, ). Ragioado come ell esempio fatto i precedeza dove la tesioe t r era idividuata da sole compoeti apparteeti al piao,), aalogamete cosiderado i piai:,),,),,) come idicato i figura, si trova la corrispodeza tra i puti: ' QA Q A ' QB Q B ' QD Q D ' QE Q E.

12 figura

13 figura a figura b figura c figura d

14 figura e figura f figura g figura h

15 ' ' I questo modo l itersezioe delle cogiugete i puti Q Q e A, B Q si idividua il ' ' D, QE puto cercato ' Q, i corrispodeza del puto Q idividuato a sua volta dall itersezioe degli archi di circofereza tra Q, Q e Q A B D E Q,. figura Altri puti particolari dei circoli di Mohr soo quelli di ordiata massima i valore assoluto: puti D ed E i figura 4. figura 4

16 Essi corrispodoo ai piai di tracce parallele a P*D e P*E su cui agiscoo le tesioi tageziali massime i valore assoluto, max ± ) 4 48) Va osservato ifie, che la costruzioe di Mohr può essere riferita ad u fascio di piai attoro ad u qualsiasi asse di sostego, cioè o ecessariamete pricipale; i questo caso però le iformazioi si riferiscoo solo alla proiezioe dello stato di tesioe sul piao ormale alla direzioe prescelta.