0.1 Esercitazioni V, del 18/11/2008

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1 1 0.1 Esercitazioi V, del 18/11/2008 Esercizio Risolvere usado Cramer il seguete sistema lieare x + y + z = 1 kx + y z = 0 x kz = 1 Soluzioe: Il determiate della matrice dei coefficieti è (k 2)(k + 1), che è diverso da zero per k 1, 2. Per tali valori di k, il teorema di Cramer garatisce esisteza e uicità della soluzioe, che risulta essere k + 2 (x, y, z) = ( (k 2)(k + 1), k k 2, k (k 2)(k + 1) ) Restao da cosiderare i casi k = 1 e k = (k = 1) Sostituedo k = 1 el sistema, esso diveta x + y + z = 1 x + y z = 0 x + z = 1 Si vede allora subito che la prima e la terza equazioe implicao y = 0. Sostituedo tale valore di y ella secoda si trova allora x + z = 0, i evidete cotraddizioe co la terza equazioe. Quidi i questo caso il sistema è icompatibile. 2. (k = 2) Sostituedo k = 2 el sistema, esso diveta x + y + z = 1 2x + y z = 0 x 2z = 1 Esplicitado x ella terza equazioe si ha x = 1 + 2z. Sostituedo tale valore di x ella prima e ella secoda equazioe si trova 3z + y = 0 e 3z + y = 2, acora ua volta i evidete cotraddizioe. icompatibile. Duque ache i questo caso il sistema è

2 2 Esercizio Si cosiderio i segueti vettori di R 3 : v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (0, 1, 2), v 3 = (1, 1, 1). 1. Mostrare che formao ua base di R Trovare le coordiate di v = (3, 4, 7) ella uova base {v 1, v 2, v 3 }. Soluzioe: 1. Ricordiamo che tre vettori i R 3 formao ua base se e soltato se soo liearmete idipedeti, ovvero se e soltato se la matrice delle loro compoeti ha determiate diverso da zero. Effettivamete det = Quidi {v 1, v 2, v 3 } è ua base di R Dobbiamo trovare tre umeri reali a, b, c tali che v = av 1 + bv 2 + cv 3 ovvero tali che e quidi tali che a(1, 2, 0) + b(0, 1, 2) + c(1, 1, 1) = (3, 4, 7) (a + c, 2a + b + c, 2b + c) = (3, 4, 7) Dobbiamo duque risolvere il sistema lieare a + c = 3 2a + b + c = 4 2b + c = 7 Si trovao le soluzioi (a, b, c) = ( 2 3, 5 3, 11 3 ). Queste soo le coordiate di v rispetto alla base {v 1, v 2, v 3 }.

3 3 Esercizio Determiare ua base per lo spazio delle soluzioi del sistema omogeeo x + y + t + z = 0 x y + t z = 0 x + t = 0 y + z = 0 Soluzioe: Dobbiamo prima di tutto risolvere il sistema lieare omogeeo i questioe. A tal fie osserviamo che la prima equazioe è la somma della terza e della quarta. Duque possiamo elimiarla. Alla stessa maiera possiamo elimiare la secoda equazioe, essedo la differeza fra la terza e la quarta. Il sistema si riduce allora a { x + t = 0 y + z = 0 Poiamo allora t = h e z = k. Le soluzioi del sistema soo allora S = {( h, k, h, k), h, k R} Si tratta quidi di uo spazio vettoriale di dimesioe due (essedoci due parametri). A questo puto per trovare ua base di tale spazio è sufficiete porre ua volta h = 1, k = 0 e l altra h = 0, k = 1. Per cui ua base per S è {( 1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}. Esercizio Calcolare i segueti limiti di successioi 1. lim 2 2. lim lim cos() 4. lim (per chi o sapesse cosa è il coseo, per questo esercizio basta sapere che 1 cos() 1 per ogi ). 5. sia M u umero reale e {a } ua successioe tale che 0 a M per ogi. Calcolare lim a Soluzioe: Spero che per i primi tre essuo abbia problemi. 1.

4 4 2., i quato il poliomio a umeratore ha grado maggiore di quello a deomiatore. Voledo fare i coti si ha 2 lim + 1 = lim 2 (1 + 1 ) = lim Ora 1/ tede a 0 e quidi il precedete limite si riduce al limite di che è evidetemete ifiito. 3. 0, i quato il poliomio a umeratore ha grado miore di quello a deomiatore. Voledo fare i coti si ha (1 1 ) 1 1 lim 3 = lim 2 3 = lim 2 Ora 1/ 2 0, quidi il precedete limite si riduce a quello di 1/ che è evidetemete Dal teorema del cofroto abbiamo 1 lim lim cos() 1 lim Ora, il primo e il terzo limite soo etrambi ulli, quidi, dal teorema dei carabiieri, è ullo ache il limite cetrale. 5. Dal teorema del cofroto si ha a 0 lim Mlim 1 Ora, l ultimo limite è ullo, quidi, dal teorema dei carabiieri, è ullo ache il limite cetrale. Esercizio Verificare i segueti limiti di successioi 1. lim 3 = 2. lim 1 2 = 0 3. lim 1 = 1 4. lim 2 2 = 2

5 5 Soluzioe: 1. Dobbiamo mostrare che per ogi M > 0 esiste M tale che 3 > M per ogi > M. La codizioe 3 > M equivale a > 3 M Poiamo allora M = 3 M. Resta allora solo da osservare che co questa scelta di M la codizioe 3 > M per ogi > M è certamete verificata. 2. Dobbiamo mostrare che per ogi ε > 0 esiste ε tale che 1 < ε per ogi > 2 ε. La codizioe 1 < ε equivale a 1 2 ε < 2, cioè alla codizioe 1 ε <. Poiamo allora ε = 1 ε. Co questa scelta di ε la codizioe 1 < ε per > 2 ε è certamete soddisfatta. 3. Dobbiamo mostrare che per ogi ε > 0 esiste ε tale che 1 1 < ε per ogi +1 > ε. La codizioe 1 1 < ε equivale a 1 < ε che equivale a sua volta alla codizioe ε <. Poiamo allora ε = 1 + 1/ε. 4. La codizioe < ε equivale alla codizioe ε <. scegliere ε = ε. Basta allora Esercizio Siao {a } {a } due successioi co limiti rispettivamete l ed l. Suppoiamo che 1. l < 0 2. a a < 0 per ogi Mostrare che l 0. Soluzioe: Siccome l < 0, dal teorema di permaeza del sego si ha a < 0 per ogi maggiore di u certo 1. Quidi, la codizioe a a < 0 implica che a > 0 per ogi > 1. Applicado uovamete il teorema di permaeza del sego segue allora che l 0. Nota: o si può cocludere che l > 0 i quato le disuguagliaze si atteuao al limite. Ad esempio 1/ > 0 per ogi, eppure 1/ 0.

6 6 Esercizio Siao 0 u umero aturale fissato e {a } ua successioe. Perchè o si defiisce il lim 0 a? Soluzioe: Per rispodere a questa domada bisoga capire a fodo il cocetto di limite. Sostazialmete, se f è ua fuzioe di domiio D possiamo pesare di calcolare il limite di f per x che tede ad u puto x 0, cercado di adare a vedere cosa fa la fuzioe vicio a x 0 e cercado allora di scoprire u comportameto regolare. Però, per adare a vedere come si comporta f vicio a x 0 è ecessario poter calcolare f vicio a x 0 è quidi ecessario che x 0 sia u puto di accumulazioe per D. Adiamo adesso al ostro caso i cui la fuzioe f è ua successioe, ovvero ua fuzioe di domiio N. Ma N o ha puti di accumulazioe, i quato ogi umero aturale è separato da ciascu altro e quidi o abbiamo speraza di defiire u cocetto di limite per 0. È iteressate osservare che ache il cocetto di limite per è legato ai puti di accumulazioe. Diamo ifatti la seguete (ovvia!) Defiizioe Gli itori dell ifiito soo gli isiemi della forma (a, ). Da questa defiizioe segue che è u puto di accumulazioe per N. Quidi il motivo fiale per cui si defiisce soltato il lim è che è l uico puto di accumulazioe per N.