SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioni cap3b.pdf 1

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1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioi cap3b.pdf 1

2 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N: a : N R : y = a() = a. Il domiio di ua successioe è del tipo { N, 0 } co 0 u opportuo umero aturale. Es. a = 1, i questo caso 0 = 1. Es. a = +1 2, i questo caso 0 = 3. Es. a = ( 1), i questo caso 0 = 0. Es. Il fattoriale di : a =!, N. 0! := 1,! := ( 1)! = ( 1) ( 2) c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioi cap3b.pdf 2

3 Cofroto tra f(x) = 1/x e a = 1/ f(x)=1/x a()=1/ dom(f) = {x R, x 0}, dom(a) = { N, 1} c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioi cap3b.pdf 3

4 Richiami Ricordiamo la defiizioe di Puto di accumulazioe. Def. Sia A R. Diciamo che x 0 R è u puto di accumulazioe per A se i ogi itoro di x 0 cade almeo u puto di A diverso da x 0. Se A R, allora u qualsiasi puto x 0 R (fiito o ifiito) è di accumulazioe per R. ma se A = N, L uico puto di accumulazioe per N è + Ricordiamo che ua successioe è ua fuzioe il cui domiio è coteuto ell isieme dei umeri aturali: a : N R : a : y = a I coclusioe, l uico limite che possiamo calcolare sulle successioi è per c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 4

5 Successioi covergeti Def. La successioe a : a, defiita per 0, tede al limite l R (o coverge al limite l R) e si scrive lim a = l se I ε (l), I ε (+ ) : 0, I ε (+ ) a I ε (l) (o se ε > 0 (ε reale), ε N : 0, > ε a l < ε) c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 5

6 Def. Ua successioe covergete a l = 0 si dice ifiitesima. Es. a = 1. Questa è ua succ. ifiitesima Es. a =. Si ha +1 1 lim = 0 lim Questa è ua succ. covergete Es. a = lim Questa è ua succ. covergete +1 = = 3 5 c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 6

7 Successioi divergeti positivamete Def. La successioe a : a tede a + (o diverge a + ) e si scrive lim a = +, se I A (+ ), I A (+ ) : 0, I A (+ ) a I A (+ ) (o se A R +, A N : 0, > A a > A) c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 7

8 Successioi divergeti egativamete Def. La successioe a : a tede a (o diverge a ) e si scrive lim a =, se I A ( ), I A (+ ) : 0, I A (+ ) a I A ( ) (o se A R +, A N : 0, > A a < A) c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 8

9 Classificazioe di successioi Ua successioe può essere: CONVERGENTE se lim a = l co l R fiito DIVERGENTE POSITIVAMENTE se lim a = + DIVERGENTE NEGATIVAMENTE se lim a = INDETERMINATA se lim a. Es. La successioe è idetermiata. a = ( 1) = { 1 dispari 1 pari c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 9

10 TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE Valgoo tutti i teoremi visti per i limiti di fuzioe, ovviamete adattati alle successioi. Teorema di uicità del limite. Ua successioe o può avere più di u limite. Teorema di permaeza del sego. Esista lim a = l R. Se l > 0 allora esiste N tale che a > 0 per ogi. Corollario al teorema di permaeza del sego. Sia lim a = l R. Se esiste N tale che a 0 per ogi, allora l 0. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 10

11 TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE Primo teorema del cofroto. Siao a e b due successioi ed esistao lim a = l 1 R e lim b = l 2 R. Se esiste N tale che a b per ogi, allora l 1 l 2. Secodo teorema del cofroto. (co dim.) Siao a, b e c tre successioi ed esistao lim a = lim c = l R. Se esiste N tale che a b c per ogi, allora esiste lim b e lim b = l. Teorema dell algebra dei limiti. Quado tutti i limiti coivolti esistoo e le espressioi a destra o soo forme idetermiate si ha: lim (a +b ) = lim a + lim lim (a b ) = lim a lim lim (a b ) = lim a lim b a lim a lim = b lim b b b c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 11

12 Lemma di commutazioe (È il teorema di sostituzioe applicato alle successioi) Sia [a,b] u itervallo i R, sia x : N [a,b] ua successioe di valori i [a,b] covergete a x [a,b] (cioè esiste lim x = x [a,b]), sia f : [a,b] R ua fuzioe. Se f è cotiua i x allora lim f(x ) = f( lim x ) = f(x ) Osservazioe Quado f è cotiua, f ed il limite commutao Esempio lim si(1/2 ) = si( lim 1/2 ) = si(0) = 0 c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 12

13 Alcue successioi fodametali a = c co c umero reale costate. Coverge a l = c a = diverge positivamete a = 2 diverge positivamete a = α, α R + diverge positivamete a = α, α R coverge a l = 0 a =! diverge positivamete a = diverge positivamete a = ( ) = ( 1) è idetermiata successioi costruite a partire dalle fuzioi elemetari: cos(), si(), ta() soo idetermiate, log(), e, divergoo positivamete. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 13

14 Successioe superiormete limitata Es. Def. Ua successioe a si dice superiormete limitata se l isieme immagie im(a ) = {a, 0 } è u sottoisieme di R superiormete limitato, cioè se C > 0 : a C 0 (C è u maggiorate per l isieme im(a )) a a = 2, A = im(a ) = {0, 2, 6, 12,...} sup(a) = max(a) = c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 14

15 Successioe iferiormete limitata Es. Def. Ua successioe a si dice iferiormete limitata se l isieme immagie im(a ) = {a, 0 } è u sottoisieme di R iferiormete limitato, cioè se C > 0 : a C 0 (C è u miorate per l isieme im(a )) a a = log() A = im(a ) = {0, , ,...} if(a) = mi(a) = c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 15

16 Successioe limitata Def. Ua successioe si dice limitata se è sia superiormete che iferiormete limitata, cioè se C > 0 : a C 0 La successioe è superiormete ed iferiormete limitata, quidi è limitata. Esempio. a = a = +2, a A = im(a ) if(a) = mi(a) = 1, supa = 7 C = 7. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 16

17 Limitatezza e covergeza Teorema. Sia a ua successioe covergete. Allora a è limitata. Dim. Sia {a } 0 e sia l = lim a. Per la defiizioe di limite: ε > 0 ε : 0, > ε a l < ε se predo ε = 1, esiste ε tale che > ε si ha a l < 1. Per la disuguagliaza triagolare si ha: a = a l+l a l + l < 1+ l, > ε. Si poe M = max{ a 0, a 0 +1,..., a ε,1+ l }. Per come ho defiito M si ha a M per ogi valore di, sia ε, sia > ε. Quidi la successioe è limitata. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 17

18 N.B. Il viceversa del precedete teorema o è vero, ovvero ua successioe limitata o è detto che sia ache covergete. Esempio. a = ( 1) è limitata ma o è covergete. Esempio. a = si(), b = cos() soo limitate ma o covergeti. Esempio. a = arcta() è limitata e covergete. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 18

19 Corollario al secodo teorema del cofroto Sia a ua successioe limitata e b ua successioe ifiitesima. Allora la successioe prodotto c = a b è ifiitesima. si() Es. lim ifiitesima. = 0 perché a = si() è limitata, b = 1 è c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 19

20 Successioi mootòe Def. Ua successioe si dice mootoa crescete se a +1 a 0, si dice mootoa decrescete se a +1 a 0, Es. a = +1, a =! soo mootoe cresceti per 0 = a a c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 20

21 Es. a = 1, a = +1 soo mootoe decresceti per 0 = 1. a a a = 1 a = +1 Es. a = ( 1), a = cos() o soo mootoe cresceti, é mootoe decresceti. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 21

22 Limite di successioi mootoe Teorema Sia {a } ua successioe mootoa, allora essa è covergete o divergete (o può essere idetermiata). I particolare: se {a } è mootoa crescete, lim a = sup 0 a metre: se {a } è mootoa decrescete, lim a = if 0 a c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 22

23 Osservazioe: if a = mi a = a 0 se {a } è mootoa crescete 0 0 sup a = lim a 0 Es. a = 2 +3 = {3,4,7,12,...}. if a = mi a = a 0 = supa = lim a = +. 0 c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 23

24 if a = lim a Se {a } è mootoa decrescete 0 sup a = maxa = a Es. a = 2 = { 2,1, 2 3, 1 2,... }. if a = lim a = 0 1 supa = max a = a 1 = c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 24

25 Il umero e di Nepero. Sia a = ( 1+ 1 ). a a 2.8 e E possibile dimostrare che a è strettamete crescete e che è superiormete limitata. Co queste ipotesi, il teorema precedete assicura che la successioe a ha limite (ovvero a è covergete) e si ha lim ( 1+ 1 ) = sup 1 ( 1+ 1 ) = e c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 25

26 Pricipio di iduzioe Sia 0 N e sia P() u predicato defiito per ogi umero aturale 0. Suppoiamo che siao verificate le segueti due codizioi: 1.- P( 0 ) è vera 2.- N co 0, se P() è vera allora P(+1) è vera (P() P( +1)). Allora P() è vera N co Se ci si trova su u gradio di ua scala (quello di idice 0 ), e si è capaci di salire u gradio alla volta (da a +1, co 0 ), allora si è i grado di salire ua scala di ifiiti gradii. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 26

27 La disuguagliaza di Beroulli (1+r) 1+r N e r R +. Dimostrazioe. Applichiamo il pricipio di iduzioe co P() = (1+r) 1+r. Verifichiamo le ipotesi del Pricipio di iduzioe co 0 = P(0) = (1+r) 0 = 1 1+r 0 = 1 (vera) 2.- Suppoiamo P() = (1+r) 1+r vera, vediamo se è vera ache P( +1) = (1+r) +1 1+r(+1). Abbiamo: (1+r) +1 = (1+r) (1+r) (poiché P() è vera) (1+r)(1+r) = 1+r(+1)+r 2 1+r(+1) ovvero, P( +1) = (1+r) +1 1+r(+1). Siccome etrambe le ipotesi del Pricipio di iduzioe soo vere, allora segue immediatamete la tesi, cioè: (1+r) 1+r, N. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 27

28 La successioe geometrica Sia q R. La successioe geometrica è a = q. Teorema Esempio lim q = 0 se q < 1 ( 1 < q < 1) 1 se q = 1 + se q > 1 o esiste se q 1 2 (0.5) ( 2) ( 0.5) c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 28

29 Dimostrazioe di limq Caso 1 q > 1. Posso scrivere q = 1+r co r > 0. Per la disuguagliaza di Beroulli si ha: q = (1+r) 1+r. Pogo: b = q e a = 1+r. Grazie all algebra dei limiti ho che lim a = +. b è ua succ. crescete, allora ammette limite per il teorema delle succ. mootoe. Per il primo teorema del cofroto si ha lim b lim a = + e quidi ache lim b = +. Caso 2 0 < q < 1. Posso scrivere q = 1/p co p > 1. Abbiamo: ( ) 1 lim q = lim = (per le propr. delle poteze) p = lim = 1 p = (per l algebra dei limiti) 1 = (per il Caso 1 di questo teorema) lim p = 1 + = 0 c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 29

30 Caso 3 1 < q < 0. Posso scrivere q = q, ora 0 < q < 1. Quidi, dal Caso 2 di questo teorema lim q = 0, ovvero q è ifiitesima. Si ha: lim q = lim ( q ) = (per le propr. delle poteze) = lim ( 1) q = (succ. limitata per ua ifiitesima) = 0 Caso 4 q < 1. Posso scrivere q = q, ora q > 1. Quidi, dal Caso 1 di questo teorema lim q = +. Si ha: lim q = lim ( q ) = (per le propr. delle poteze) = lim ( 1) q = (succ. limitata co sego altero per ua divergete) = Caso 5 q = 1, q = 0 e q = 1. lim 1 = lim 1 = 1, lim 0 = lim 0 = 0, lim ( 1) =. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 30

31 Ordii di ifiito Siao a e b due successioi divergeti. Si ha a lim = b a ha ordie di ifiito > di quello di b l R, l 0 a e b hao lo stesso ordie di ifiito 0 a ha ordie di ifiito < di quello di b Esempi otevoli. - ha ordie di ifiito maggiore di!, ifatti si dimostra che lim! = +, - α ha ordie di ifiito maggiore di β per ogi α > β > 0, si ha α che lim β = lim α β = + - ha ordie di ifiito maggiore di log(), si dimostra che che log() lim = +, o equivaletemete lim = 0 log() (log()) β - più i geerale: lim α = 0, α,β R + c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 31

32 Cofroto riassutivo sugli ordii di ifiito Le segueti successioi soo ordiate, i ordie crescete, da siistra a destra riguardo al loro ordie di ifiito. (log) β α q! (β > 0) (α > 0) q > log() 2! a c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 32

33 Dal teorema di sostituzioe Vale la seguete idetità: (a ) b = e log(a ) b = e b loga Notazioe: exp() = e ( 1/2 = exp log 1/2) ( ) ( ) 1 log = exp 2 log = exp 2 Quidi ( ) log lim 1/2 = lim exp 2 ( = exp lim ) log 2 = e 0 = 1 c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 33

34 Esercizi = lim lim lim 2 +3 = 1/ log(+7) = c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 34

35 Ordii di ifiitesimo Siao a e b due successioi ifiitesime. Si ha a lim = b 0 a ha ordie di ifiitesimo > di quello di b l R, l 0 a e b hao lo stesso ordie di ifiitesimo a ha ordie di ifiitesimo < di quello di b Esempi otevoli. - a = (1/2) ha ordie di ifiitesimo maggiore di b = 1/, (1/2) ifatti si ha che lim 1/ = lim 2 = 0 - a = 1/ ha ordie di ifiitesimo miore di b = 1/ 2, ifatti si a 1/ ha che lim = lim b 1/ 2 = lim 2 = lim = +, - a = si(1/) ha ordie di ifiitesimo uguale a b = 1/, ifatti si ha che lim a b = lim si(1/) 1/ = lim si(1/) = 1 c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di successioi cap3b.pdf 35

36 Sottosuccessioi Def. Data ua successioe {a }, chiamiamo sottosuccessioe di {a } ogi successioe estratta da questa, ossia ogi successioe del tipo {a k } co k = 0,...,, dove { k } è ua successioe mootoa strettamete crescete di valori i N ( k : N N, tale che k : k k ). Esempio 1. a = 1 +3, co 0. k = 2k, co k 0 ( k è la successioe dei soli umeri pari). Ottego la sottosuccessioe: a k = k 1 k +3 co k = 2k e k 0. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Sottosuccessioi cap3b.pdf 36

37 Esempio 1. a = 1 +3 e a k = k 1 k +3 co k = 2k a a a a k co k = 2k {a } = {a 0,a 1,a 2,a 3,...} {a k } = {a 0,a 2,a 4,a 6,...} c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Sottosuccessioi cap3b.pdf 37

38 Sottosuccessioi Esempio 2. a = ( 1) 7 2, co a k = 7 k 2 k +2, per k = 2k +1 a k = 7 k 2 k +2, per k = 2k a a a a k, k = 2k + 1 a k, k = 2k Ho estratto da a due sottosuccessioi. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Sottosuccessioi cap3b.pdf 38

39 Osservazioe. Da ua successioe a posso estrarre ifiite sottosuccessioi. Teorema. Se ua successioe {a } è covergete e lim a = l, allora ogi sottosuccessioe estratta da a coverge ad l, ovvero Es. Si veda l Esempio 1. lim a k = l, per ogi k. k Teorema. Se da ua successioe a estraggo due sottosuccessioi che covergoo a due limiti diversi, allora a è idetermiata, ovvero lim a. Es. Si veda l Esempio 2. Per k = 2k, lim k a k = +7. Per k = 2k +1, lim k a k = 7, quidi lim a. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Sottosuccessioi cap3b.pdf 39

40 Teorema (di Bolzao - Weierstrass) Da ogi successioe limitata si può estrarre ua sottosuccessioe covergete. Es. Si veda l Esempio 2. a è limitata, si ha ifa = 7 e supa = 7. Abbiamo già trovato due sottosuccessioi di a che soo covergeti a a k, k = 2k + 1 a k, k = 2k c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Sottosuccessioi cap3b.pdf 40

41 Successioi di Cauchy Def. Ua successioe {a } 0 è di Cauchy se: ε > 0 ε N :,m 0,,m > ε a a m < ε Sto dicedo che la distaza tra gli elemeti della successioe si riduce sempre più quado. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Sottosuccessioi cap3b.pdf 41

42 Il criterio di Cauchy Teorema Sia a : N R. a è covergete a è di Cauchy. I R: succ. covergete succ. di Cauchy succ. limitata Esiste sottosucc. covergete (per il Thm di Bolzao Weierstrass) c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Sottosuccessioi cap3b.pdf 42

43 N.B. Il criterio di Cauchy o vale se sostituiamo R co Q. Prediamo ad esempio la successioe a = ( 1+ 1 ). N, i valori a Q. Si riesce a dimostrare che a è ua successioe di Cauchy (questa proprietà è idipedete dall isieme Q o R i cui cerchiamo il limite). Sappiamo che lim a = e R, ma e Q, Quidi a è ua successioe di valori i Q, è di Cauchy, ma o è covergete i Q, cioè l = lim a = e, ma questo limite o appartiee a Q. Uo spazio i cui ogi successioe di Cauchy è ache covergete si dice COMPLETO. R è completo, Q o è completo. c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Sottosuccessioi cap3b.pdf 43

44 Riferimeti Bibliografici: Cauto-Tabacco, Sez. 3.2, Sez Esercizi: Studiare il comportameto delle segueti successioi (mootoa crescete, decrescete, oscillate), calcolare if, sup, max e mi e lim a : a = , a = , 2 a =, 3 +2 a = arcta() a = log(), a = si a = Calcolare i segueti limiti lim +si(!) lim a = ( 1)! (+2) (+1)! = +1 +7! (+2) (7+si()) = c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Sottosuccessioi cap3b.pdf 44