Analisi Matematica I Soluzioni del tutorato 2

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1 Corso di laurea i Fisica - Ao Accademico 07/08 Aalisi Matematica I Soluzioi del tutorato A cura di Davide Macera Esercizio Abbiamo che x 3 + si(log(x)) + cosh(x) x3 + si(log(x)) + e x ( + x 6 ) / + log(e x + ) x 3 + x dove abbiamo usato x 6 + x 3, log(e x + ) log(e x ) = x e cosh(x) := e x + e x e x. Quidi, x 3 + si(log(x)) + cosh(x) x 3 + si(log(x)) + = e x = x ( + x 6 ) / + log(e x + ) x x 3 + x perchè il termie domiate al deomiaore è x 3 metre quello al umeratore è u espoeziale (0 < si(log(x)) < x è itata, quidi o dà cotributo) Esercizio Comiciamo co il caso α > 0. Calcoliamo il raggio di covergeza della serie co la formula di Cauchy-Hadamard: dato che log( + α ) α log() se α > 0 ma log( + α ) / α log() / = α log() > 0, e = α log() > 0 co 0 = if : log() > α che è fiito dato che log() = o(). Ioltre α log() := e /α e = α log() > α log() N = max{ 0, } quidi, per il teorema dei carabiieri e la mootoia di x α log() / α log() / = a = = Quidi il raggio di covergeza è r = =, cioè la serie coverge se x < e diverge se x >, a idipedetemete da α Adesso dobbiamo vedere che cosa succede al bordo: la serie di poteze diveta log( + α ) se x = e ( ) log( + α ) se x =

2 Per quato osservato prima, il termie geerale della prima serie è defiitivamete più grade di, perciò per x = la serie diverge. Nel secodo caso, ivece abbiamo ua serie a segi alteri il cui termie geerale tede a 0 perchè α log() = o( ) α > 0 Verifichiamo adesso il termie geerico è defiitivamete decrescete: log( + α ) log( + ( + )α ) = log( + α ) + log( + ( + ) α ) + Ma se α > 0 per > N + α molto grade (e dipedete da α), log( + α ) α log() e quidi log(+ α ) + log(+(+) α ) >N α + === α log() + α log(+) + = α log( + ) = α log() = log( + ) log( ) log(log( + )) log(log()) = = log( + ) log(log( + )) log( ) log(log()) >N 0 == log( + ) log( ) dato che log(log()) = o(log( + )). Ma l ultima disuguagliaza è vera perchè () è mootoa crescete. Quidi, per > max{n α +,N 0 }, il termie geerale della serie decresce e quidi per Leibitz la serie coverge. Adesso vediamo che succede se α = 0. La serie diveta log() x log() / Il suo raggio di covergeza è acora perchè =. Al bordo abbiamo che per x = la serie diverge perchè è log() volte ua serie armoica, metre se x = la serie coverge perchè è è log() volte ua serie armoica a sego altero. Ifie vediamo α < 0. Visto che α < 0, poiamo α = β per β > 0, log( + α ) α = β. Abbiamo quidi che log( + α ) / = β+/ / = β > 0 e quidi il raggio di covergeza è di uovo. Sul bordo abbiamo che per x =, il termie geerico log( + α ) β+/ e quidi la serie coverge se β > /(α < /), metre diverge se 0 > α /. L asitotica ci dice ache che il termie geerico tede a 0 per ogi β > 0(α < 0) Bisoga quidi verificare la decresceza per poter applicare, acora ua volta, Leibitz. Di uovo, se α < 0 per > N 0 molto grade log( + α ) α e quidi log( + α ) log( + ( + )α ) >Nα === α ( + )α = + + /+β ( + ) /+β Sì, lo so, la dimostrazioe della decresceza è u delirio, ma è così soltato perchè al mometo del tutorato o avevate acora fatto gli studi di fuzioe. Adesso che li avete fatti potete sostituire il termie geerico log( + α ) co la fuzioe log( + xα ) x.d.t. e verificare la decresceza per x grade più semplicemete studiado il sego della sua derivata,

3 che è vera per ogi e per ogi β > 0(α < 0) perchè sappiamo che è decrescete e la fuzioe x x /+β è mootoa crescete, e quidi preserva le disuguagliaze. I coclusioe, abbiamo che per α < 0 il termie geerico è decrescete > Nα e quidi che per x =, la serie coverge per ogi α < 0. Ricapitolado: se α /, la serie coverge x [,) e diverge altrimeti se α < /, la serie coverge x [,] e diverge altrimeti Esercizio 3 Facciamo vedere l euciato per h(x), dato che per l (x) la dimostrazioe è del tutto aaloga. Se x [a, b] è tale che f (x) > g(x), allora U x itoro di x tale che f (x) > g(x) x U x, quidi h(x) = f (x) su U x e dato che f è cotiua i x per ipotesi, allora lo è ache h. Stesso discorso lo si può fare per gli x tali che g(x) > f (x), i questo caso h(x) = g(x) su U x, e h è cotiua ix poichè g lo è. Quidi, abbiamo verificato l ipotesi per tutti gli x tali che f (x) g(x). Dobbiamo quidi solo verificare la cotiuità ei puti x 0 [a, b] tali che f (x 0 ) = g(x 0 ). Possoo verificarsi due casi: f e g soo tageti i x 0, cioè f (x 0 ) g(x 0 ) = 0 e f (x) g(x) > o < 0 i u itoro U x0 di x 0. I questo caso vale l argometazioe fatta sopra per dimostrare che h è cotiua i x 0 altrimeti, f e g soo secati i x 0, cioè f (x 0 ) g(x 0 ) = 0, f (x) g(x) > 0 i u itervallio I (x 0 ) := [x 0 δ, x 0 ) e f (x) g(x) < 0 i u altro itervallio I + (x 0 ) := (x 0, x 0 + δ ] (o viceversa). I questo caso dobbiamo essere u pò più atteti. Per dimostrare che h è cotiua i u puto x i cui f e g soo secati, usiamo la defiizioe di cotiuità i u puto: ε > 0, U x0 itoro di x 0 tale che y, z U x0, h(y) h(z) < ε Suppoiamo quidi che f,g siao secati e tali che f (x) g(x) > 0 i I (x 0 ) e f (x) g(x) < 0 i I + (x 0 ) ( o il viceversa). Allora h f su I (x 0 ) e h g su I + (x 0 ). Notiamo che se y, z U xo soo di fatto etrambi i U xo I (x 0 ) (o i U xo I + (x 0 ), h(y) h(z) = f (y) f (z) < ε per la cotiuità di f. Quidi dobbiamo cotrollare che cosa succede se y, z U xo, y U xo I (x 0 ) e z U xo I + (x 0 ). Se quest ultima codizioe si verifica, Dis. Tria. h(y) h(z) h(y) h(x 0 ) + h(z) h(x 0 ) = f (y) f (x 0 ) + g(z) g(x 0 ) < ε + ε Perciò h è cotiua i x 0. Esercizio 4 Ua fuzioe è uiformemete cotiua su se ε > 0 δ tale che x, y tali che x y < δ, f (x) f (y) < ε per far vedere che si (x) è uiformemete cotiua, bisoga trovare u δ idipedete da x e da y tale che, se x y < δ, si (x) si (y) < ε. Osserviamo che si (x) si (y) = si(x) + si(y) si(x) si(y) si(x) si(y) x, y D altro cato sappiamo che si(x) è uiformemete cotiua, quidi esiste δ tale che se x y < δ, si(x) si(y) < ε/. Ma allora, si (x) si (y) si(x) si(y) < ε Quidi si (x) è uiformemete cotiua. 3 = ε se x y < δ

4 Facciamo adesso vedere che ivece si(x ) o è uiformemete cotiua: per questo ci basterà trovare ua successioe {a } tale che a + a = 0 ma si a + si a 0. Cosideriamo la successioe π {a } := Notiamo subito che si a+ si a ( + )π π = si si Tuttavia a + a = ( + )π π = Quidi si(x ) o è ufiormemete cotiua. ( +)π π (+)π + π = π (+)π + π = 0 Esercizio 5 Facciamo vedere l euciato per x = /, : da f (x + y) = f (x) + f (y) otteiamo per iduzioe che f (x + x x ) = f (x ) + f (x ) f (x ), e quidi f () = f = f = f f = f = f = }{{ }} {{ } f () volte volte Prima di passare a quidi estediamo il risultato a x = / : se z = x + y, allora f (z) = f (x) + f (y) = f (y) = f (z x) = f (z) f (x) e f (0) = f (0 + 0) = f (0) = f (0) = 0. Quidi, se x = /,, f = f 0 = f (0) f e quidi il risultato vale ache se x = /,. Adesso, se x, x = k/, co k {0} e Quidi, k f (x) = f = f = f () = f () = f f = k f }{{ }} {{ } kvolte kvolte = k f () Adesso, per estedere il risultato a tutto, otiamo che, poichè è deso i, f ammette u uica estesioe cotiua a tutto. Dato che la fuzioe g : g(x) = f ()x è ua retta (e quidi è cotiua), e per ipotesi f è cotiua, allora deve essere ecessariamete f g, ossia f (x) = f ()x x Ricorda che se A e B soo due isiemi, A si dice deso i B se per ogi successioe {a } di elemeti i A, a B, e b B, esiste ua successioe {a } tale a = b. Ad esempio, è deso i perchè ogi successioe di umeri razioali ammette ite i, e per ogi umero reale r esiste ua successioe di umeri razioali che ha come ite esattamete, ad esempio la successioe che q = espasioe decimale di r fio all -esima cifra dopo la virgola. I particolare, se A è deso i B e f e g soo fuzioi su B che coicidoo su A, allora, b B, f (b) = f (a ) e g(b) = f (a ) per cotiuità, se {a } è ua successioe i A che approssima b. Ma f (a ) = g(a ) perchè per ipotesi f e g coicidoo su A. Perciò, per l uicità del ite, f (b) = g(b). Data l arbitrarietà di b, f e g coicidoo su tutto B. 4

5 Esercizio 6 Per la secoda disuguagliaza triagolare, abbiamo che: f (x) f (0) f (x) f (0) = f (x) f (0) + f (x) f (0) Dividiamo ora i ifiiti itervallii di lughezza δ e suppoiamo che x = δ per qualche Dato che f è uiformemete cotiua per ipotesi, f (x) f (y) < ε se x, y I k,δ := [kδ,(k + )δ], k e quidi, per la (prima) disuguagliaza triagolare f (x) f (0) f (δ) f (0) + f (δ) f (δ) f (δ) f (( )δ) = ε = δ ε δ = ε δ x e dato che ε e δ soo quatità fiite e positive, ε/δ sarà ach esso fiito e positivo. Tuttavia questa maggiorazioe vale soltato per gli x della forma x = δ,. Possiamo però modificarla leggermete per adattarla a tutti gli x. Sia e sia h(x) := f (x) ε δ x ȳ k := max x I k,δ h(x) (ȳ k esiste k perchè I k,δ := [kδ,(k + )δ] è u itervallo chiuso e h è ua fuzioe cotiua i quato defiita come differeza di due fuzioi cotiue, e quidi ammette massimo su I k,δ per Weierstrass. Ioltre, ȳ k 0 k perchè h(kδ) = 0 k. Ifie, ȳ k := max f (x) ε x I k,δ δ x max f (x) ε x I k,δ δ kδ = max ( f (x) f (kδ)) = ȳ k max (f (y) f (x)) x I k,δ x,y I δ,k Adesso affermo che ȳ := sup ȳ k N k per qualche 0 N < Ifatti, se per assurdo ȳ fosse ifiito, ȳ k = e, a maggior ragioe, per quato detto sopra, k k max ( f (y) f (x)) = x,y I δ,k ma ciò cotraddirebbe l uiforme cotiuità di f, dato che per è possibile trovare k abbastaza grade tale che ell itervallo I δ,k (che ha lughezza δ) ci siao due puti x e y tali che f (x) f (y) sia arbitrariamete grade. Ifie, dalla costruzioe sopra, vediamo che e da quato detto all iizio, f (x) f (0) ε δ x + ȳ f (x) f (0) + f (x) f (0) = f (0) + ȳ + ε x = δ = f (x) a + b x, co a = f (0) + ȳ e b = ε δ 5