5. Le serie numeriche

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1 5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a ) N e a si chiama termie della successioe. Per comodità, solitamete i quato segue le successioi sarao defiite su N \ {0}. Data ua successioe (a ), possiamo formare u altra successioe, che idicheremo solitamete co (s ), delle somme parziali o delle ridotte, dove s = a s = a k = a + + a. k= Il termie s, i cui sommiamo i primi termii della successioe (a ), si chiama ridotta di ordie. Defiizioe 6. Sia data ua successioe reale (a ). Ua serie è ua somma formale Si dice che questa serie è covergete e ha per somma s R se la successioe delle ridotte (s ) coverge a s. Se la successioe delle ridotte diverge, ache la serie si dice divergete. Se la successioe delle ridotte o ha limite, la serie si dice idetermiata. a. No tutte le successioi i geerale partoo dall idice. Se abbiamo ua successioe che parte dall idice p, co p N della forma (a ) p, la serie a ha lo stesso sigificato di b, dove b = a p+. Esempio. La serie geometrica di ragioe : si cosideri la successioe defiita da 2 La serie geometrica di ragioe 2 è a = 2 N. () s = a 0 = s 2 = + 2 =p =. La successioe delle ridotte è data da s = k= 2 = 2. Più i geerale, dato x R, possiamo cosiderare la serie geometrica di ragioe x, data da x = x, dove, se x = 0, poiamo 0 0 =. È facile otare che, el caso x =, la successioe delle ridotte è s =, pertato divergete. Quidi la serie geometrica di ragioe diverge a. 7 k=0

2 8 Se ivece x, allora s = k=0 x = x x. Quidi, ricordado che se x < si ha lim x = 0, otteiamo che la serie geometrica di ragioe x, co x <, è covergete e ha per somma. Ioltre, se x >, allora si x ha lim x =, quidi la serie geometrica di ragioe x, co x >, è positivamete divergete. Se ivece x, la successioe (x ) o ha limite, quidi la serie geometrica di ragioe x, co x, è idetermiata. Riassumedo: se < x < x x = se x idetermiata se x. Esempio 2. La serie armoica: si cosideri la successioe defiita da a = =, 2,.... La serie armoica è. La successioe delle ridotte è data da s = a = s 2 = s = k= k. La serie armoica diverge positivamete, perché s = k= k rappreseta la somma superiore di Riema sull itervallo [, + ] della fuzioe /x, relativa alla partizioe i itervalli di lughezza. Si ha quidi s + Esempio 3. Le serie telescopiche. Studiare la covergeza di +. Quidi la ridotta di ordie diveta ( s = k(k + ) = k ) k + k= k= ( = ) ( ) ( ) =. + dx = log( + ). x. Si oti che = (+) (+) ( ) +

3 Quidi la serie data è covergete e ha somma. Questo esempio è il prototipo di ua classe di serie che si chiamao serie telescopiche. Ua serie che si possa scrivere come (b b + ), dove (b ) è ua successioe reale si dice telescopica. Per ua tale serie la ridotta di ordie risulta (b k b k+ ) = b b +, k= perché tutti gli altri addedi si elidoo. Quidi, se esiste fiito lim b = l, la serie telescopica è covergete e ha somma b l. Teorema 2. Sia a ua serie covergete. Allora lim a = 0. 9 Dimostrazioe. Sia l R la somma della serie, ovvero, detta (s ) la successioe delle ridotte, si ha lim s = l. Ma allora per Esempio 4. Dire se è covergete la serie data o coverge. a = s s l l = 0. si ( ). Siccome lim si ( ) = Il carattere di ua serie (covergeza, divergeza, idetermiazioe) rimae lo stesso se si alterao i termii corrispodeti a u umero fiito di idici, perché le ridotte, da u certo ordie i poi, differirao per ua costate. Ad esempio, cosideriamo la successioe b = 0 se = 0,,..., 0; b = /2 altrimeti. Essa differisce dalla successioe geometrica di ragioe /2 per i primi termii. Chiamiamo (σ ) la successioe delle ridotte di (b ) e (s ) la successioe delle ridotte della geometrica di ragioe /2 come ella formula (). Ovviamete, per σ = s s 2 e quidi b ha lo stesso carattere di s = = 2 0. Dalla liearità dell operazioe di limite si ricava facilmete la liearità delle serie:

4 0 () se a e b soo serie covergeti e hao somma s a e s b rispettivamete, allora ache (a + b ) è covergete e la sua somma è s a + s b ; (2) se c R e a è ua serie covergete di somma s a, allora c a è covergete e la sua somma è c s a ; (3) se e soo serie positivamete divergeti, allora ache (a + b ) è a b positivamete divergete; (4) se c > 0 e a è ua serie positivamete divergete, allora c a è positivamete divergete; (5) se c < 0 e divergete. a è ua serie positivamete divergete, allora c a è egativamete 6. Serie a termii o egativi Ua serie a si dice a termii o egativi se a 0 per ogi. Per ua tale serie, la successioe delle ridotte è sempre crescete, perché per ogi + s + = a k = a k + a + s. k= k= Quidi, siccome ua successioe crescete ammette sempre limite (o diverge a oppure, se è superiormete limitata, coverge a sup s ), le serie a termii o egativi o possoo essere idetermiate. Per questo tipo di serie si hao alcui facili criteri. Teorema 3 (Criterio del cofroto). Siao (a ) e (b ) due successioi tali che Allora: 0 a b. i) se la serie b è covergete, allora ache la serie a è covergete; ii) se la serie a è divergete, allora ache la serie b è divergete. Dimostrazioe. Nel caso i) basta cotrollare che la successioe delle ridotte di (a ) è superiormete limitata, il che segue facilmete da a k b k b k <. k= k= k=

5 Nel caso ii) basta otare che quidi lim k= b k =. Esempio 5. La serie k= a k } {{ } k= b k è (positivamete) divergete, perché è a termii o egativi e ioltre ciascu termie si miora co il rispettivo termie della serie armoica, che è divergete: e =. Questo criterio fuzioa ache se la maggiorazioe è vera da u certo puto i poi, i particolare se le successioi (a ) e (b ) hao lo stesso comportameto all ifiito. Corollario 4. Siao (a ) e (b ) due successioi a termii positivi e tali che esista a fiito lim b. Allora: la serie a è covergete (rispett. divergete) se e solo se la serie b è covergete (rispett. divergete). Esempio 6. La serie (+) 2 è telescopica e covergete e vale è covergete. Ifatti è a termii o egativi. Ioltre la serie lim / 2 /( + ) =. U fatto che rede importati queste serie è il seguete. Defiizioe 7. Ua serie a si dice assolutamete covergete se è covergete la serie a. Teorema 5. Se ua serie è assolutamete covergete, allora essa è covergete. Dimostrazioe. Si ha a a a, quidi 0 a + a 2 a. Poiché 2 a è termie geerale di ua serie covergete, allora per il criterio del cofroto ache (a + a ) è

6 2 covergete, diciamo a l. Chiamiamo l la somma di a. Per a k = k= (a k + a k ) k= ovvero la serie a è covergete. Esempio 7. La serie si 2 2 e la serie si 2 2 a k l l, k= è covergete. Ifatti essa è assolutamete covergete, perché è covergete. Teorema 6 (Criterio itegrale). Sia f : [, ) R ua fuzioe positiva e decrescete. Allora: i) la serie f() è covergete se e solo se l itegrale improprio f(x) dx è covergete; ii) la serie f() è divergete se e solo se l itegrale improprio f(x) dx è divergete. Dimostrazioe. Usare il criterio del cofroto per i limiti, ricordado che f(x) dx a k k= a k k=2 f(x) dx Esempio 8. La serie armoica geeralizzata: se e solo se è covergete dx. D altra parte x α x α dx =, dove α > 0. Questa serie è covergete α se 0 < α se α >, α

7 3 quidi α è se 0 < α covergete se α >. Combiado il Corollario 4 e l esempio appea visto otteiamo l usatissimo Teorema 7 (Criterio dell ordie di ifiitesimo). Sia (a ) N ua successioe ifiitesima di ordie α. Se α >, allora la serie a è assolutamete covergete. Se α e la serie è a termii positivi, allora la serie a è positivamete divergete. Esempio 9. La serie 2 per. ( ) cos è covergete, perché cos è ifiitesimo di ordie Teorema 8 (Criterio del rapporto). Sia (a ) N ua successioe a termii positivi tale che esista a + lim = l. a i) Se l <, allora la serie a è covergete; ii) se l >, allora la serie a è divergete. Dimostrazioe. Aalizziamo il caso i). Sia l < m <. Da u certo N i poi si ha a N+ < m a N a N+2 < m a N+ < m 2 a N a N+3 < m a N+2 < m 3 a N. a N+k < m k a N co k = 0,,... Ma allora da u certo puto i poi i termii soo domiati dai termii di ua serie geometrica di ragioe m <, quidi covergete. Allora per il criterio del cofroto la serie di parteza è covergete. Co aaloghi ragioameti si prova ii). Esempio 0. Nel caso i cui l =, il criterio del rapporto o permette di cocludere ulla. Si cosiderio ad esempi le serie armoiche geeralizzate co α = e α = 2. Ua è divergete, l altra è covergete, ma per etrambe il limite del rapporto è.

8 4 Esempio. La serie espoeziale. Per quali x R è covergete la serie i seguito che la somma di questa serie è e x. x!? Vedremo La serie è baalmete covergete se x = 0. Sia x 0 e sia a = x! ; allora a > 0 e possiamo applicare il criterio del rapporto: a + a = x + (+)! x! = x + 0 La serie espoeziale è assolutamete covergete per ogi x i R. Il criterio del rapporto o si usa quado a è ua fuzioe razioale di, perché si otterrebbe l =. Può essere utile soprattutto quado ci soo i fattoriali. Aalogo e meo usato del criterio del rapporto è il Teorema 9 (Criterio della radice). Sia (a ) N ua successioe a termii o egativi tale che esista a = l. lim i) Se l <, allora la serie a è covergete; ii) se l >, allora la serie a è divergete. Ache qui el caso l = o si può dire ulla (usare le serie armoiche geeralizzate come el criterio del rapporto). Esempio 2. Dire se è covergete (. log ) È ua serie a termii o egativi; ioltre =2 ( ) ( ) = 0. log log Allora la serie di parteza è covergete per il criterio della radice. x. 7. Approssimazioi I geerale, calcolare la somma di ua serie è u problema abbastaza difficile, trae i alcui casi particolari (serie geometriche, telescopiche). È quidi utile saper approssimare la somma di ua serie. Vedremo due classi di esempi fodametali. Suppoiamo di voler approssimare a, dove a è della forma a = f() co f : [, ) R ua fuzioe positiva, decrescete di itegrale improprio f(x) dx covergete (come

9 el criterio itegrale). Allora la serie f() è covergete. Desideriamo stimare la sua somma s a meo di u errore E (ad esempio E = 0 2 ). Iizialmete possiamo pesare di trocare la somma a u certo idice N, da determiare, e trattare la coda come errore. I formule: f() = N f() } {{ } ridotta, s N che dà l approssimazioe Ricordado che, come el criterio itegrale, N+ f(x) dx s s N = + =N+ =N+ f() } {{ } coda, che per N opportuo deve essere<e f() N f(x) dx,. 5 abbiamo che s N + f(x) dx s s N + N+ N f(x) dx. Abbiamo così determiato u itervallo di ampiezza N+ f(x) dx i cui si trova la somma N s della serie. Se prediamo il puto medio di questo itervallo, avremo ua approssimazioe s N della somma della serie (migliore di quella che potrebbe darci s N). Riassumedo, se poiamo s N = s N + (I 2 N+ + I N ) allora l errore commesso è s s N (I 2 N I N+ ). I N = N f(x) dx s N + I N+ s N s N + I N Occorre determiare N i modo che questo sia miore di E (ad es. 0 2 ). Esempio 3. Approssimare a meo di 0 4 la somma di di questa serie è π2 6 ). 2. (Per la croaca, la somma Usiamo il trucchetto precedete. Si ha I N = e la stima forita da N s N dà u errore dell ordie di (I 2 N I N+ ) =. Abbiamo < 2N(N+) 2N(N+) 0 4 ad esempio per N = 7. Ora occupiamoci del calcolo.

10 6 I u foglio di Excel, i prima coloa scriviamo i primi 7 umeri aturali a partire da, i secoda coloa valutiamo i termii della serie (ovvero la cella B2 cotiee =/A2ˆ2, si copia il coteuto di questa cella e lo si icolla elle sottostati). Nella cella C2 abbiamo sommato i valori così otteuti. Ifie il valore dell approssimazioe si trova ella cella C4, che cotiee il valore approssimato =C2+0.5*((/7)+(/72)) Co MATLAB: creiamo u file co estesioe.m dal meu File ew M-file. Le istruzioi soo separate da u ; se si trovao sulla stessa riga. No è ecessario questo simbolo di separazioe se adiamo a capo. Immagiiamo due variabili: ua è il valore approssimato della serie, ad esempio s. L altra, tra e 7, è u umero aturale, ad esempio. Iizializziamo s a 0 e usiamo u ciclo for per icremetare. Il ciclo for si chiude co il comado ed. s=0; for :7 s=s+/^2 ed; s=s+0.5*((/7)+(/72)); format log; s La riga format log mostra il risultato a 4 cifre (il formato di default e farebbe vedere solo 4, ache se tutti i coti vegoo svolti i precisioe doppia). L ultima riga dice a MatLab di mostrare il valore di s. Salvato il file, possiamo eseguirlo schiacciado il tasto F5, oppure scrivedo il ome del file (seza estesioe) ella commad widow. I ogi modo, otteiamo il valore approssimato della somma della serie dato da Cofrotatelo co π 2 /6. Notiamo che il metodo igeuo di usare solo la stima dall alto forita dal criterio itegrale ci avrebbe obbligati a molte iterazioi i più: siccome si tratta di ua serie a termii positivi e covergete, possiamo approssimare (per difetto) la somma della serie co ua opportua ridotta di ordie N. Il problema è determiare N i modo che l errore commesso sia più piccolo di 0 4. I formule: 2 = N 2 } {{ } ridotta, che dà l approssimazioe +. 2 =N+ } {{ } resto, che per N opportuo deve essere<0 4

11 7 Cerchiamo allora di determiare N, i modo che il resto sia miore di 0 4. dall alto del criterio itegrale ci dice che La stima 0 =N+ dx 2 N x. 2 Il calcolo degli itegrali della formula precedete forisce la stima 0 =N+ 2 N. Pertato N dovrà essere abbastaza grade, i modo che N < 0 4, quidi almeo N = 000. U altro metodo risulta appropriato per serie positive la cui covergeza si può determiare co il criterio del rapporto o, più i geerale, serie il cui termie geerale a soddisfa, almeo defiitivamete, ua stima del tipo 0 a K r, co K > 0, 0 < r <. I questo caso la coda della serie può essere stimata tramite ua serie geometrica. Più precisamete: 0 s s N = =N+ = K a =N+ = K rn+ r. =N+ K r r = K r N+ r Bisogerà quidi determiare N i modo che K rn+ r Esempio 4. Approssimare a meo di 0 4 la somma di somma di questa serie è e. Si ha per 2! = 2 = 2 Dobbiamo quidi determiare N i modo che sia miore dell errore richiesto = 2. Come già aticipato, la! ( ). 2 ) N+ 2 ( 2 2 < 0 4 e possiamo predere N = 5. Da cui la somma è circa.782.

12 8 8. Serie di Leibiz Ua serie di Leibiz o serie a segi alteri è ua serie che si può scrivere ella forma ( ) a co a > 0 (oppure ache ( ) a ). Teorema 0. Sia (a ) ua successioe positiva, decrescete, ifiitesima. Allora la serie si ha ( ) a coverge. Ioltre, se s è la somma della serie e (s ) la successioe delle ridotte, 0 s s a + se è dispari a + s s 0 se è pari Tralasciamo la dimostrazioe di questo teorema. Esempio 5. ( ) è ua serie covergete per il criterio appea visto. Si oti che o è assolutamete covergete. Determiare la somma a meo di 0 3 : basta ricordare che la ridotta di ordie approssima la somma della serie a meo di. Pertato occorre + predere = 00 e, a meo di 0 3, la somma della serie è 0, 693 e tale approssimazioe è per difetto. (La somma di questa serie si potrebbe calcolare co u po di fatica e è log 2.) 9. Serie di Taylor L ao scorso abbiamo visto che se f(x) è ua fuzioe reale, defiita i u itervallo (a, b), x 0 è u puto di (a, b) e f(x) è derivabile volte i x 0, allora alla fuzioe f possiamo associare il poliomio di Taylor cetrato i x 0 e di ordie, dato da f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f () (x 0 ) (x x 0 ).! Abbiamo visto che questo è il poliomio che approssima la fuzioe f(x) i u itoro del puto x 0 a meo di u ifiitesimo di ordie superiore a (x x 0 ), ovvero [ ] f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f () (x 0 ) (x x! 0 ) lim = 0. x x 0 (x x 0 ) Numericamete ua stima dell errore è data dalla formula di Taylor co resto di Lagrage: se f(x) è derivabile co cotiuità i (a, b) e la derivata di ordie + esiste i (a, b) \ {x 0 }, allora per ogi x i (a, b) esiste u puto ξ ell itervallo di estremi x 0 e x tale che (2) f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f () (x 0 ) (x x 0 ) + f (+) (ξ)! ( + )! (x x 0) +.

13 I forma più compatta, possiamo scrivere il poliomio di Taylor di f(x) cetrato i x 0 e di ordie come f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, k! k=0 dove itediamo che f (0) (x 0 ) = f(x 0 ). Nel caso i cui f(x) sia derivabile ifiite volte i u itervallo (a, b), appare aturale associare alla fuzioe f(x) la serie (3) k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, k! di cui il poliomio di Taylor di ordie costituisce la ridotta (di ordie + ). Questa serie prede il ome di serie di Taylor di f(x) cetrata i x 0. Quado x 0 = 0, talvolta si parla di serie di Mac Lauri di f(x). Due soo le domade che ci poiamo a questo puto: la serie defiita dalla formula (3) è covergete per ogi x (a, b)? Se la serie (3) è covergete i x (a, b), la somma della serie è f(x)? Se la risposta a etrambe le domade precedeti è sì, allora f(x) si dice sviluppabile i serie di Taylor cetrata i x 0 ell itervallo (a, b). Esempio 6. La fuzioe defiita da f(x) = x è derivabile ifiite volte i (, ) e ioltre f (k) (0) = k! per ogi k. La serie di Mac Lauri di f(x) è la serie geometrica di ragioe x x k, k=0 quidi covergete per x < e lì f(x) coicide co la somma della sua serie di Mac Lauri. Questo forisce u esempio i cui l itervallo di covergeza è più piccolo di quello dove la fuzioe risulta derivabile ifiite volte. Esempio 7. La fuzioe defiita da f(x) = { e /x2 per x 0 0 per x = 0 è derivabile ifiite volte i R e ioltre f (k) (0) = 0 per ogi k. La serie di Mac Lauri di f(x) è ulla, quidi covergete. Tuttavia f(x) o coicide co la somma della sua serie di Mac Lauri a meo che x = 0. Teorema. Se la fuzioe f(x) è derivabile ifiite volte i u itervallo (a, b) e se esistoo due umeri reali L, M tali che f () (x) M L x (a, b), N, allora per ogi x 0 (a, b) la fuzioe f(x) è sviluppabile i serie di Taylor cetrata i x 0 ell itervallo (a, b). 9

14 20 Dimostrazioe. Basta ricordare la formula di Taylor co resto di Lagrage (2) e far vedere che il resto di Lagrage tede a 0 per. Da questo Teorema ricaviamo che soo sviluppabili i serie di Mac Lauri le fuzioi e x, si x, cos x i ogi itervallo che cotiee l origie. Si ha per ogi x i R e x = + x + x2 2! + + x! + = si x = x x3 3! + + x 2+ ( ) (2 + )! + = ( ) k x 2k+ (2k + )! cos x = x2 2! k=0 x k k! k=0 x2 + + ( ) (2)! + = ( ) k x2k (2k)!. Le serie di Taylor soo particolari serie di poteze, ovvero serie della forma a (x x 0 ), co a R. A meo della traslazioe t = x x 0, ci possiamo ricodurre a avere ua serie della forma a (x x 0 ) = ovvero ua serie cetrata i 0. Per semplicità quidi ci limitiamo a cosiderare il caso x 0 = 0. Illustriamo brevemete, seza dimostrare, alcui fatti relativi alle serie di poteze. Teorema 2 (Teorema di Abel). Se la serie di poteze a x coverge i x 0, allora essa coverge assolutamete i ogi x tale che x < x. k=0 a t Quidi ogi serie di poteze (e quidi ache ogi serie di Taylor) si può iquadrare i uo di questi tre casi: ) la serie di poteze a x coverge solo per x = 0; 2) la serie di poteze a x coverge per ogi x i u itervallo della forma ( ρ, ρ), co ρ > 0, e o coverge se x > ρ; 3) la serie di poteze a x coverge per ogi x reale. Defiizioe 8. Data ua serie di poteze a x, si dice raggio di covergeza il umero reale ρ el caso 2), 0 el caso ), e el caso 3).

15 Esempio 8. La serie espoeziale x! ha raggio di covergeza. La serie geometrica x ha raggio di covergeza. La serie! x ha raggio di covergeza 0. All itero dell itervallo di covergeza di ua serie di poteze, si possoo scambiare le operazioi di passaggio al limite, derivazioe e itegrazioe. È quello che dice il seguete Teorema 3. Sia a x ua serie di poteze co raggio di covergeza ρ > 0 (ache ) e somma f(x) i ( ρ, ρ). Allora f(x) è cotiua e derivabile i ( ρ, ρ) e si ha x 0 f (x) = f(t) dt = a x, a + x, x ( ρ, ρ). Esempio 9. Approssimare dt a meo di 0 6. Nella serie espoeziale, che ha raggio 0 e t2 di covergeza ifiito, poiamo x = t 2. Abbiamo 0 e t2 dt = = 0 ( t 2 ) dt =! Esempio 20. Calcolare la somma della serie 0 ( t 2 ) dt! ( ) 8 (2 + )! ( ) (2 + )! = Si tratta di ua serie a termii positivi, 2 covergete per il criterio del rapporto. Possiamo pesare a tale serie come alla serie di poteze x, che ha raggio di covergeza, valutata i x =. Si ha 2 x = x ( ) x = x x = x ( ) = x x ( x) 2. Calcolado primo e ultimo membro della formula precedete per x = 2 otteiamo A partire dalla serie geometrica 2 = 2 ( = 2. )2 2 t =, che ha raggio di covergeza, possiamo t costruire altri sviluppi i serie di Mac Lauri, che avrao sempre raggio di covergeza. Iazi tutto poiamo t = x e otteiamo + x = ( ) x x <.

16 22 Itegrado ell itervallo (0, x) otteiamo log( + x) = ( ) x+ + = x ( ) Se ella serie geometrica t poiamo t = x 2, otteiamo + x = ( ) x 2 x <. 2 Itegrado ell itervallo (0, x) otteiamo arcta x = ( ) x x <. x <. 0. Esercizi Dire se soo covergeti le segueti serie: ; e ; 4! ; 2 ; ( ) 2 ; 2 + ; si ; 2 +! ( + )! ; + ( ) ; =2 =2 log 3 ; π + 5. (log(log )), Dire se le segueti serie soo covergeti e evetualmete approssimare la somma a meo di ; Calcolare la somma di 3 ; ; ; 2! ; ( ) 3. (2 )(2 + ) ; =2 log. Per quali x i R soo assolutamete covergeti o covergeti o divergeti le segueti serie (x 5) ( ) x ; ( + ) 2 x (4x + ) ; ;. 3 x Calcolare la somma di! 2 ; ( ) 3 ; =2 =2 ( ) 2 ; =3 ( ) 2 2.