SUCCESSIONI NUMERICHE

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1 SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si deota la variabile che descrive l isieme N, allora l immagie di tramite la f, cioè f(), si deota co a e si usa la otazioe (a ) o a 1, a 2,..., a,... per deotare la successioe f. I umeri a 1, a 2,..., a,... rappresetao i termii della successioe, rispettivamete, primo, secodo,..., -mo termie della succesioe. Il termie a è oto, ache, come termie geerale della successioe (da tale termie si ottegoo tutti i termii della successioe attribuedo ad successivamete i valori 1, 2,... ). Il codomiio della successioe (a ) si deota co {a : N} o semplicemete co {a }. Ua successioe (a ) è itata, itata superiormete, itata iferiormete se tale è il suo codomiio. E facile verificare che ua successioe (a ) è itata se e solo se esiste ua costate M 0 tale che a M per ogi N. Ua successioe (a ) è o decrescete se a a +1 per ogi N e o crescete se a a +1 per ogi N. Le successioi o decresceti o o cresceti soo dette mootoe. I particolare soo mootoe le successioi costati, cioè tali che a = a per ogi N. Ua successioe (a ) è crescete ( rispettivamete decrescete) se a < a +1 ( rispettivamete a > a +1 ) per ogi N. Le successioi cresceti o decresceti soo dette strettamete mootoe. Ovviamete ogi successioe strettamete mootoa è mootoa. Esempio 1. La successioe ( 1 Ifatti per ogi N 1 ) è crescete. < + 1 essedo 2 1 < 2. Esempio 2. La successioe ( ) 1 è decrescete. Ifatti 1 > 1 +1 per ogi N. 1

2 Esempio 3. La successioe di termie geerale ( 1) è itata, dato che il suo codomiio { 1, 1} è u isieme itato. Siao ( k ) ua successioe crescete e (a ) ua successioe. La successioe (a k ) è detta sottosuccessioe della (a ). I pratica la successioe (a k ) si ottiee dalla successioe (a ) prededo solo i termii di posto 1, 2,..., k,.... (Si oti che i termii della sottosuccessioe coservao lo stesso ordie che hao ella successioe data). Esempio 4. Se a = 1/ e k = 2 k allora a k = 1/2 k. Se ua successioe è itata tale risulta ogi sua sottosuccessioe, il viceversa i geerale o sussiste. Defiizioe 1. Ua successioe (a ) coverge al umero reale a, se per ogi ε > 0, esiste (ε) N tale che per ogi N co (ε) risulta a a < ε. Per idicare che la successioe (a ) coverge ad a useremo ua delle otazioi a = a, a a. Osservazioe 1. Per stabilire se ua successioe coverge ad a occorre, fissato ε > 0, risolvere la disequazioe a a < ε. Se l isieme delle soluzioi di tale disequazioe, per ogi ε > 0, cotiee tutti i umeri aturali maggiori di u opportuo umero reale ν(ε), allora la successioe a a, i caso cotrario o corvege ad a. Esempio 5. La successioe ( +1 Fissato ε > 0, risulta + 1 ) coverge a 1. 1 < ε 1 < ε > 1 ε. Basta scegliere (ε) maggiore di 1/ε perché la defiizioe sia verificata. Esempio 6. La successioe (1/) o coverge a 1. I virtù dell os. 1 dobbiamo risolvere la disequazioe 1/ 1 < ε. Si oti che N è soluzioe se e solo se 1 1/ < ε, cioè se e solo se 1 ε < 1/. Suppoedo ε < 1, è soluzioe se e solo se < 1/(1 ε) e ciò permette di cocludere che la successioe cosiderata o coverge a 1.

3 Teorema 1. Ogi successioe covergete è itata. Dimostrazioe. Suppoiamo che la successioe (a ) coverga ad a. Fissato ε > 0 esiste (ε) N tale che per ogi (ε) risulta a ε < a < a + ε. Prima di a ε cadoo al più i primi (ε) 1 termii della successioe e tra questi cosideriamo il più piccolo (se o abbiamo termii della successioe prima di a ε, scegliamo a ε) sia esso h. Tra quelli maggiori di a + ε scegliamo quello più grade (i asseza di termii maggiori di a + ε, scegliamo a + ε) sia esso k. Otteiamo così due umeri h, k che soo rispettivamete u miorate e u maggiorate per la successioe che risulta quidi itata. Defiizioe 2. Ua successioe (a ) diverge positivamete se, per ogi k > 0, esiste (k) N tale che per ogi N co (k) risulta a > k. Defiizioe 3. Ua successioe (a ) diverge egativamete se, per ogi k > 0, esiste (k) N tale che per ogi N co (k) risulta a < k. Osservazioe 2. Per stabilire se la successioe (a ) diverge positivamete (egativamete) occorre risolvere la disequazioe a > k (a < k) se l isieme delle soluzioi di tale disequazioe cotiee, per ogi k, tutti i umeri aturali maggiori di u opportuo ν(k) allora la successioe cosiderata diverge positivamete (egativamete). I caso cotrario la successioe o diverge. Esempio 7. La successioe ( ) diverge positivamete. Risolviamo la disequazioe > k, co k R +. Elevado al quadrato otteiamo che è soluzioe se e solo se > k 2 = ν(k). Se scegliamo (k) > ν(k), risulta > k per ogi (k) e per defiizioe la successioe (a ) diverge positivamete. Esempio 8. Se a +, allora a. Fissato k > 0 esiste (k) N tale che a > k, moltiplicado per -1, otteiamo a < k per ogi (k) e per defiizioe la successioe a diverge egativamete. Teorema 2. Ogi successioe divergete positivamete (egativamete) o è itata superiormete (iferiormete) ma è dotata di miimo (massimo).

4 La dimostrazioe si lascia come esercizio. Defiizioe 4. Ua successioe a è regolare se ammette ite fiito o ifiito. Teorema 3. Se ua successioe ammette ite questo è uico. Dimostrazioe. Si oti che ua successioe o può essere cotemporaeamete covergete e divergete perché risulterebbe itata e o itata ello stesso tempo. No può essere divergete positivamete e egativamete perché risulterebbe itata iferiormete e ello stesso tempo o itata iferiormete. Per cocludere occorre mostrare che ua successioe o può covergere a due iti diversi. Suppoiamo per assurdo che a a e a b, co a b. Posto 2ε = b a, scegliamo N tale che a a < ε, a b < ε (u tale esiste i virtù dell ipotesi). Risulta e ciò è assurdo. 2ε = b a = (b a ) + (a a) = a b + a a < ε + ε = 2ε Teorema 4. (Teorema del cofroto ite fiito). Siao a, b, c tre successioi tali che a b c per ogi N. Se allora esiste a = c = a, b = a. Dimostrazioe. Fissato ε > 0 esiste (ε) tale che per ogi (ε) risulta a ε < a < a + ε, a ε < c < a + ε. Di cosegueza, per ogi (ε), risulta a ε < a b c < a + ε e quidi a ε < b < a + ε. Quato otteuto permette di affermare che b = a. Teorema 5. (Teorema del cofroto ite ifiito). Siao a e b due successioi tali che a b per ogi N. i) Se a +, allora b +. ii) Se b, ache a.

5 La dimostrazioe si lascia come esercizio. Defiizioe 5. Date due successioi (a ) e (b ) co (a ) + (b ) si deota la successioe di termie geerale a + b, co (a )(b ) la successioe di termie geerale a b, co (a )/(b ) la successioe di termie geerale a /b e co la (a ) (b) la successioe di termie geerale a b. Per il calcolo del ite di ua successioe che si preseta sotto forma idetermiata del tipo 0/0 oppure / è utile il seguete criterio dovuto a Stolz- Cesaro. Teorema 6. (Criterio di Stolz- Cesaro). Siao (a ) e (b ) due successioi co (b ) strettamete mootoa. Suppoiamo che: i) a = b = 0 oppure ii) allora se esiste esiste ache b = a a 1 b b 1 a = l. b Esempio 9. Se a a verificare che = l a 1 + a a = a. Utilizzado il criterio di Stolz-Cesaro tale ite esiste sicuramete se esiste (a 1 + a a ) (a 1 + a a 1 ) = ( 1) a = a. I modo aalogo si verifica che se la successioe (a ) R + è regolare lo è ache la successioe a 1 a 2 a e risulta a1 a 2 a = a = a. Teorema 7. Siao A u sottoisieme di R e x 0 u puto di accumulazioe di A. Esiste ua successioe (a ) (A \ {x 0 }) che coverge a x 0.

6 Dimostrazioe. Per ogi N scegliamo a ]x 0 1, x [ \{x 0}. Otteiamo ua successioe (a ) (A \ {x 0 }) che coverge a x 0, dato che per ogi N x 0 1 < a < x Teorema 8. Siao A u sottoisieme di R, x 0 u puto di accumulazioe di A e f : A R. Se per ogi successioe (x ) (A \ {x 0 }) che coverge a x 0, si ha allora esiste e viceversa. f(x ) = l, f(x) = l x x 0 Dimostrazioe. Daremo la dimostrazioe ell ipotesi che x 0 e l siao umeri reali. Suppoiamo che per ogi successioe (x ) (A \ {x 0 }) che coverge a x 0, si abbia f(x ) = l e che f o ammetta l come ite per x che tede a x 0, allora esiste ε > 0 tale che ad ogi itoro I(x 0 ) appartiee u elemeto x di I(x 0 ) A \ {x 0 } co f(x) l ε. Se per ogi N si sceglie I (x 0 ) =]x 0 1, x [ e si deota co x u elemeto di I(x 0 ) A \ {x 0 } tale che f(x ) l ε, si ottiee ua successioe (x ) (A \ {x 0 }) che coverge a x 0. La scelta di x assicura che (f(x )) o tede a l i cotrasto co quato supposto, pertato esiste f(x) = l. x x 0 Viceversa, proviamo che se x x0 f(x) = l, allora f(x ) = l per ogi successioe (x ) (A \ {x 0 }) che coverge a x 0. Fissato ε > 0 sia I(x 0 ) u itoro di cetro x 0 e raggio r tale che f(x) l < ε, per ogi x I(x 0 ) A \ {x 0 }

7 e sia (ε) N tale che x x 0 < r, per ogi (ε). f(x ) l < ε, per ogi (ε) e quidi f(x ) = l. Allora