52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%

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1 RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base a del umero b (detto ache argometo) l espoete da attribuire alla base a per otteere il umero b: log a b = y se e solo se b = a y. Tra le proprietà del logaritmo, ricordiamo quelle legate alle proprietà delle poteze : il logaritmo della poteza di u umero positivo è uguale al prodotto dell espoete per il logaritmo della base della poteza [1] log a b m = mlog a b. Applicado la [1] al problema proposto, si ottiee immediatamete che la corretta soluzioe deve ricercarsi tra la A) e la C). D altra parte, il logaritmo esiste se e solo se soo verificate le 3 codizioi: a >0, a 1, b>0. Metre il log( 2 ) esiste per ogi i quato 2 è sempre positivo, il log esiste solo per >0. Pertato, poiché la A) o garatisce che l argometo del logaritmo sia positivo per ogi, la soluzioe corretta è la C). Le soluzioi B), C) e D) o possoo essere accettate perché tali relazioi o soddisfao la [1]. 52. Se i ua città ci fosse u medico ogi 500 abitati, quale sarebbe la percetuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02% La percetuale di medici presete è espressa dal rapporto del umero dei medici ed il umero degli abitati. Più i geerale, date due gradezze e y, il rapporto /y esprime il rapporto percetuale di rispetto ad y. Per il problema proposto : umero di medici 1 0,2 % medici = = = 0, 002 = = 0,2 % umero di abitati Pertato, la risposta corretta è la C). D altra parte, la risposta A) sigifica che soo preseti 5 medici per ogi 100 abitati; la B) che soo preseti 2 medici per ogi 100 abitati; la D) che soo preseti 0,5 medici per ogi ceto abitati, cioè 1 medico ogi 200 abitati. La E) è errata perché idica che soo preseti 0,02 medici per ogi 100 abitati, cioè 1 medico per ogi 5000 abitati.

2 è uguale a : A) 50 B) 2 20 C) 10 D) 98 E) 20 2 La somma tra radicali aritmetici è possibile solo se i radicali soo simili tra di loro, cioè se i radicali hao lo stesso idice e la stessa base. Nel caso i cui ciò o accadesse, è possibile tetare di maipolare i radicali per rederli simili. Co riferimeto al problema proposto, la somma dei due radicali idicati vale : = = (portado fuori il 9 e il 4) = = 7 2 = (portado sotto al sego di radice il 7) = 49 2 = 98. La risposta corretta è evidetemete la D). Le altre risposte soo sbagliate poiché cotegoo errori di calcolo. 54. L equazioe 1 = 3 A) è impossibile B) è idetermiata C) è razioale D) è equivalete all equazioe E) ammette come soluzioe = = 3 U equazioe si dice impossibile (el campo reale) quado o ammette soluzioi reali, ovvero quado o esiste alcu reale che la soddisfi. L equazioe proposta è irrazioale (i quato l icogita è argometo di ua fuzioe irrazioale) e fratta (i quato l icogita compare al deomiatore). Ciò esclude come possibile soluzioe la C). D altra parte, il umeratore del membro destro dell equazioe esiste se e solo se : i) è defiita la fuzioe irrazioale; ii) il deomiatore è diverso da zero: i) 2 1 > 0 ii) 0 la codizioe i) o è mai verificata per reale, i quato la somma di 2 quatità egative o può mai essere positiva. Duque l equazioe è impossibile, poiché o può esistere essu reale che sia soluzioe dell equazioe e soddisfi la i). La soluzioe corretta del problema è pertato la A). La B) è da escludere perché u equazioe o può cotemporaeamete essere impossibile (cioè o ammettere essua soluzioe) e idetermiata (cioè ammettere ifiite soluzioi). La risposta E) è sbagliata poiché se provassimo a sostituire ell equazioe il valore della radice proposta = 1, il termie irrazioale o potrebbe essere calcolato perché o reale. La risposta D) è sbagliata poiché è sufficiete osservare che: Cosideriamo i tre umeri geerici A, B, C. Suppoiamo: - che il umero A sia miore di B - che il umero C sia maggiore o uguale al umero B. Quale delle segueti affermazioi è SEMPRE VERA?

3 A) A è miore o uguale a C B) A è uguale a B C) A è miore di C D) B è maggiore di C E) A è maggiore di C Dati tre umeri geerici A,B, C, ua qualsiasi relazioe d ordie che li legasse, godrebbe della proprietà trasitiva. Così, ad esempio: se A B C, allora : A C. Nel problema proposto la relazioe d ordie è: A < B C. Pertato A < C. La soluzioe corretta è duque la C). La risposta A) o tiee coto del fatto che A < B, duque A < C e o A C. La risposta B) è egata dall ipotesi A < B. La risposta D) è egata dall ipotesi B C. La risposta E) è egata dalla relazioe d ordie. 56. Quali di questi umeri : 10; e = 2,7183 ; 0,1; 100; possoo essere presi come base di logaritmi? A) solo il umero e = (base dei logaritmi aturali o eperiai) B) solo i umeri miori di 100 C) solo i umeri maggiori di 1 D) solo il umero 10 ed il umero e = 2,7183 (base dei logaritmi aturali o eperiai) E) tutti quelli idicati ella domada (ed altri) Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base a del umero b (detto ache argometo) l espoete da attribuire alla base a per otteere il umero b. Tra le proprietà del logaritmo, ricordiamo quelle legate alle proprietà delle poteze : il logaritmo della poteza di u umero positivo è uguale al prodotto dell espoete per il logaritmo della base della poteza [1] log a b = y se e solo se b = a y. Il logaritmo esiste se e solo se soo verificate le 3 codizioi: a >0, a 1, b>0. Pertato tutti i umeri preseti ella domada possoo essere utilizzati come base del logaritmo, poiché soo tutti positivi. La risposta esatta è duque la E). Tutte le altre risposte soo sbagliate, poiché affichè u umero sia base di u logaritmo è sufficiete che sia positivo. 57. Se A è u umero egativo, allora ( A) 0,5 è sicuramete u umero: A) uguale a uo B) reale C) sempre uguale a 0,5 D) i tutti i casi: itero E) i tutti i casi : ullo Si cosideri la seguete trasformazioe (A <0)

4 ( A) 0,5 = ( A) 1/2 = A che sicuramete esiste perché è la radice di ordie pari di u umero o egativo (si ricordi sempre che il problema ha posto A<0). Duque ( A) 0,5 è sicuramete u umero reale, quidi la risposta corretta è la B). Discutiamo le altre risposte. La A) è sbagliata perché ua qualsiasi poteza (algebrica e o) è uguale a uo solo el caso i cui la base è uo o l espoete è zero, e o è questo il caso. La risposta C) è assurda; la risposta D) è cotraddetta cosiderado, ad esempio, il caso i cui A è u umero periodico egativo, metre la risposta E) è impossibile perché richiederebbe A=0 cotro l ipotesi (A<0). 58. Il parallelepipedo è ua figura solida co: A) 8 vertici, 12 spigoli, 4 diagoali B) 8 vertici, 8 spigoli, 2 diagoali C) 4 vertici, 8 spigoli, 2 diagoali D) 8 vertici, 14 spigoli, 4 diagoali E) 12 vertici, 8 spigoli, 4 diagoali U prisma è u poliedro delimitato da due poligoi uguali (basi) giaceti su piai paralleli, e da tati parallelogrammi (facce laterali) quati solo i lati di ua base. Il parallelepipedo è u prisma che ha per basi due parallelogrammi. E composto quidi da due basi e quattro facce laterali, cioè sei facce e otto vertici (risposte C ed E errate). Le diagoali, i segmeti cioè che cogiugoo due vertici opposti, soo 4 (risposta B errata). Dalla relazioe di Eulero: (umero delle facce) + (umero dei vertici) 2 = (umero degli spigoli) si ricava per il parallelepipedo che il umero degli spigoli è = 12 (risposta D errata). La risposta esatta duque è la A. Se il parallelepipedo ha per basi due rettagoli, si dice rettagolo. Parallelepipedo rettagolo 59. I valori del massimo comu divisore e del miimo comue multiplo dei umeri: 15; 45; 105; soo: A) 15 e 105 B) 5 e 210 C) 15 e 210 D) 5 e 420. E) 15 e 315 La scomposizioe i fattori primi di u umero aturale cosiste ella rappresetazioe del umero stesso come prodotto dei suoi fattori primi, cioè come prodotto di suoi divisori che siao ache umeri primi. Per ogi umero itero esiste ua uica scomposizioe i fattori primi e si ottiee operado divisioi successive: si cerca il umero primo più piccolo che sia ache divisore del umero da scomporre, si esegue la divisioe e si applica lo stesso procedimeto al quoziete otteuto e così via fio a che si ottiee il quoziete 1. La scomposizioe i fattori primi dei umeri dati è: 15 = 3 * 5 45 = 3 * 3 * 5 = 3 2 * = 3 * 5 * 7

5 Il Massimo Comu Divisore (M.C.D.) fra due o più umeri iteri è il maggiore fra gli iteri che dividoo, seza resto, tutti i umeri dati. Si ottiee dalla scomposizioe i fattori primi dei umeri dati, moltiplicado i fattori primi comui a tutti i umeri dati, ciascuo preso ua sola volta, co il miimo espoete co cui figura. Nel ostro caso i fattori primi comui a 15, 45 e 105 soo 3 e 5 e quidi: M.C.D. = 3 * 5 = 15 Il miimo comue multiplo (m.c.m.) fra due o più umeri iteri è il miore dei multipli comui a tutti i umeri dati. Si ottiee dalla scomposizioe i fattori primi dei umeri dati, moltiplicado i fattori primi comui e o comui, ciascuo preso ua sola volta, co il massimo espoete co cui figura. Nel ostro caso i fattori primi comui e o comui soo 3 (co espoete massimo pari a 2), 5 e 7 e quidi: m.c.m. = 3 2 * 5 * 7 = 315 La risposta esatta è A. 60. Idicare la risposta giusta tra le segueti affermazioi, che riguardao il calcolo del valore medio (media aritmetica) di u certo umero N di umeri reali (tra cui alcui soo positivi, altri egativi): A) il valore medio è otteuto moltiplicado la somma (algebrica) degli N umeri per il loro umero N B) il valore medio è otteuto dividedo la somma dei valori assoluti degli N umeri per il loro umero N C) il valore medio è otteuto dividedo la somma (algebrica, cioè ogi umero co il suo sego) degli N umeri per il loro umero N D) o è possibile calcolare il valore medio di N umeri, se alcui soo positivi e altri egativi E) il valore medio è otteuto dividedo la somma (algebrica, cioè ogi umero co il suo sego) degli N umeri per la radice quadrata di N Il valore medio di u umero N di umeri reali ci forisce u valore sigolo che rappreseta l isieme dei umeri reali dati e per questa ragioe è chiamato ache misura di tedeza cetrale. E defiito come la somma algebrica dei umeri reali dati divisa per il umero itero N (risposta C esatta), cioè: M ( X ) = = i= 1 i