IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras

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1 IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazioe di Gras Date due variabili biarie a e b, i quale misura posso assicurare che i ua popolazioe da ogi osservazioe di a segue ecessariamete quella di b? E vero che se a allor? Siao A e B due sotto-popolazioi di aveti rispettivamete le variabili a e b. Se A B la proposizioe è verificata, ma geeralmete la itersezioe A B è o vuota. 1

2 ϕ ( a, b ) = 1 Prob[ card( X Y ) card( A B )] e si dirà: [ accettabile alla soglia ϕ( a,b) 1 α ] Prob[ card( X Y ) card( A B )] α = Dove: = carda, = cardb, = card A B a b a b qab (, ) = q si chiama idice di implicazioe. ( ) L itesità di implicazioe é data da: Nel caso i cui, l'itesità d'implicazioe di a su b é b t 1 ϕ (a,b) = 1- Prob[ Q(a,b) q(a,b) ] = e dt π q( a, b ) Se q(a,b) = -1,816 t 1 ϕ (a,b) = 1- e dt = 0, 9653 π q( a, b ) si dirà che a b al livello di sigificatività del 96,5% A e B soo gli isiemi co i dati sperimetali. X e Y due parti qualuque di E (Isieme compredete A e B) scelti aleatoriamete e idipedetemete e della stessa cardialità di A e B. La variabile Aleatoria Card( X Y ) segue

3 la legge di Poisso di parametro p(a)p(b ) (di media e variaza π. Ituitivamete l implicazioe a b sarà ammissibile al termie di ua esperieza se il umero di idividui di E che la cotraddice ell esperieza é molto piccolo i rapporto al umero di idividui attesi sotto l ipotesi di asseza di legami. A( a ) B( b ) Y( b ) X( a ) Esempio: Suppoiamo di avere le due variabili co i rispettivi valori ricavati da u questioario di tipo vero/falso: Esempio di calcolo dell idice di itesità di implicazioe a b: a = 7 b = 4 a b = qab = 10 5 = 8, (, ) = 1, , 10 3

4 /10 6/10 Se l itesità d implicazioe è abbastaza piccola le due variabili o sarao legate. Se ϕ(a,b)=0,965 è u livello di cofideza del 96.5% per l implicazioe i quato la probabilità che card(x Y) sia più piccola di 1 è 0,035 (I geerale se il livello di cofideza é superiore al 95% si ritiee accettabile). Il livello di cofideza va calcolato co l itegrale relativo alla distribuzioe di Poisso. Presetazioe di CHIC E stato messo a puto dal gruppo I.R.MA.R. 1 u programma su PC che cosete di fare l aalisi implicativa abbastaza celermete. Il programma si chiama CHIC (Compilato i Pascal VI) ed il suo meu (sio alla edizioe del 1994 curata da Ratsimba-Rajoh) è: 1.Edizioe;.Classificazioe gerarchica delle variabili; 3.Implicazioi tra variabili; 1 Istituto di ricerca Matematica di Rees, Uiversità di Rees I, prof. Regis Gras. Il programma CHIC è dispoibile al seguete idirizzo: Prof.R.Gras IRMAR Istitut Mathématique Campus de Beaulieu, 3504 Rees Cedex, Fracia. 4

5 4.Calcolo dei parametri; 5.Costruzioe del grafo implicativo; 6.Gerarchia implicativa di classi; 7.Livelli sigificativi; 8.Idividui e/o categorie determiati; 9.Coversioi di vecchi file.dta. 10.Abbadoare. 1. La prima operazioe riguarda l Edizioe che cotiee u sotto meu riguardate l immissioe di dati, la cosultazioe dei file che soo il estesioe.dta, cocateazioe di file o trasposizioe, correzioe. Si ricorda che le variaili possoo essere di tre tipi: biarie, frequeziali, modali.. La secoda operazioe riguarda la classificazioe gerarchica delle variabili. Questa operazioe segue l idice di similarità di Lerma e classifica le variabili secodo livelli gerarchici. L idice di similarità di Lerma segue la legge di Poisso e viee così defiito: a b sab (, ) = ed é legato all'idice di implicazioe dalla relazioe: q(a,b) s(a,b) = b b L idice di similarità di Lerma e l implicazioe di Gras pur foredoci iformazioi sulle variabili ella stessa direzioe a volte differiscoo el seso che si può avere similarità seza implicazioe e viceversa. La rappresetazioe grafica di CHIC 5

6 della classificazioe gerarchica tra variabili ci cosete di avere delle iformazioi sul raggruppameto di classi di variabili. 3. Il calcolo dell implicazioe tra variabili viee eseguito previa chiarificazioe del tipo di variabile che si utilizza. Se o vi é coereza tra il tipo di variabile ed il valore massimo che questa può assumere il programma si arresta (variabile biaria, max=1, ad esempio). Dopo aver calcolato l implicazioe tra le variabili viee chiesto di salvare il file co estesioi diverse per poter fare le ulteriori aalisi statistiche. I particolare se al file di origie era stato dato il ome piro co estesioe.dta per la Gerarchia implicativa di classi l estesioe sarà piro.val. Metre per la Costruzioe del grafo implicativo sarà piro.gri. Se ivece si vuole coservare il file riguardate le somme delle risposte giuste per variabile (occorreze) l estesioe sarà piro.occ. 4. Il calcolo dei parametri cosete di avere le medie per variabile ed idividuo, variaza e correlazioi tra variabili. 5. Il grafo implicativo dopo aver digitato il file co l estesioe.gri viee rappresetato ello schermo chiededo prima a quale soglia di cofideza si vuole l implicazioe. 6. La gerarchia implicativa delle classi dopo aver digitato il file co l estesioe.val viee rappresetato ello schermo. Questo grafo ci forisce delle iformazioi sulla implicazioe tra classi di variabili. Per poter costruire u grafo per la gerarchia L operazioe di salvare il file co estesioi diverse é importate per il programma, el seso che le scelte 6 o 5 o possoo essere fatte seza la scelta 3, le scelte 7 o 8 o possoo essere fatte seza le scelte 3 e poi 6, la scelta 8 si può fare attualmete co i dati biari. 6

7 implicativa delle calssi è ecessario itrodurre il cocetto di coesioe implicativa: ϕ ( ab, ) = Pr obqab ( (, ) > qab (, ) L' etropia dell' eveto ( Qab (, ) > qab (, ) sara E: E=-pLog ( p) ( 1 p) Log( 1 p) p = ϕ ( a, b) E é massima quado p = 0.5 E é miimaquado p = 1 o p = 0 (0Log ( 0) = 0) Coesioe tra a e b, c(a, b) = 1- E se p 0.5 i caso cotrario c(a, b) = 0. L implicazioe si fa per aggregazioi successive di classi d implicazioe. Il pricipio é quello di riuire ad ogi passo di aggregazioe la coppia di variabili o la coppia di classi di variabili che presetao la massima coesioe ella tappa cosiderata. L iformazioe che se e ricava forisce u utile strumeto per stabilire quali classi di variabili implicao altre classi di varibili ed a quale livello. 7