Statistica descrittiva

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1 Statistica descrittiva idici idici (o misure) di posizioe media campioaria di osservazioi x, x,..., x x i x= per campioi x ì ripetuti ciascuo co frequeza f i x= x i f i Posto y i =a x i b : y=a x mediaa m di osservazioi x x... x se è dispari: m=x / se è pari: m= x /x / moda puto di massimo della distribuzioe di frequeza ua distribuzioe co u solo puto di massimo è detta uimodale ua distribuzioe co più puti di massimo è detta plurimodale idici di dispersioe variaza di osservazioi x, x,..., x = x i x per campioi x ì ripetuti ciascuo co frequeza f i = x i x f i = x i f i x posto y i =a x i b : y =a x deviazioe stadard o scarto quadratico medio = rage di osservazioi x x... x differeza tra massima e miima osservazioe rage=x x p-esimo quatile (o 00p-esimo percetile) di di osservazioi x x... x p 0,, si cosidera il umero p se p o è itero: è l'itero successivo, Q p =x se p è itero: = p, Q p = x x quartili Q primo quartile: quatile per p = 0.5 Q secodo quartile: quatile per p = 0.5 (= mediaa) Q 3 terzo quartile: quatile per p = 0.75 differeza iterquartile (IQ IterQuartile age) IQ=Q 3 Q idici di forma coefficiete di asimmetria (sewess) s= x 3 i x se vale zero idica che la distribuzioe è simmetrica rispetto alla media se positivo deota ua coda verso destra se egativo deota ua coda verso siistra coefficiete di curtosi curt= x 4 i x misura quato la distribuzioe è apputita correlazioi covariaza di osservazioi cogiute di variabili {(x,y ), (x,y ),..., (x,y )}: xy = x i x y i y= x i y i x y se xy 0 x e y soo direttamete correlate: a valori gradi (piccoli) di x corrispodo valori gradi (piccoli) di y; se xy 0 x e y soo iversamete correlate: a valori gradi (piccoli) di x corrispodo valori piccoli (gradi) di y; se xy =0 x e y soo icorrelate; coefficiete di correlazioe xy = xy ; x xy y idice ormalizzato, adimesioale ed ivariate per trasformazioi lieari delle variabili regressioe lieare retta y= a xb che meglio approssima la uvola di puti x i, y i a= xy x ; b=y x xy x valori stimati y i =a x i b rappresetao i valori stimati di y a partire dalla retta di regressioe lieare residui r i = y i y i differeza tra i valori reali e stimati valore previsto y 0 = a x 0 b x 0 è u valore diverso dai valori x i già osservati cambiameto di scala log y=a log xb y=e b x a deviaza totale DEV TOT =DEV EG DEV ES = y i y DEV EG = y i y ; DEV ES = y i y i coefficiete di determiazioe = DEV EG = DEV ES = y DEV TOT DEV TOT ; 0 y tato più esso si avvicia ad uo tato più la fuzioe di regressioe trovata è buoa. Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. ***

2 Probabilità defiizioi eveti elemetari tutti i possibili esiti di u esperimeto aleatorio eveto ogi sottoisieme di uo spazio campioario discreto spazio campioario isieme di tutti gli eveti elemetari; può essere: discreto se gli elemeti soo u umero fiito o u'ifiità umerabile P { }= p cotiuo se è più umeroso (ad esempio: tutti i umeri reali i u certo itervallo) liguaggio isiemi, itero spazio campioario, isieme vuoto isieme A isieme A complemetare di A A B, (uioe) A B, (itersezioe) A B, ( sottrazioe = A B ) A B=, eveti disgiuti B A ( B icluso i A ) eveto certo eveto impossibile l'eveto si verifica eveti l'eveto o si verifica si verifica almeo uo dei due eveti gli eveti si verificao simultaeamete si verifica A e o si verifica B gli eveti soo icompatibili B implica A eveti A, B, C sottoisiemi di Ω A A= A A A= A A B=B A A B=B A A B C= A C C A B C = A C C A B C= A B A C A B C= A B A C A =A A = A = A = A A A= A A= A B= A B A B= A B A=A probabilità su Ω P : P [0,] P = P =0 P A= P A P A B=P AP B P A B P = A = = probabilità classica P A, co A i A j = se i j la probabilità di u eveto è il rapporto dei casi favorevoli ed il umero dei casi possibili posto Ω di N elemeti ( =,,.., N) e P { }= p, eveti elemetari equiprobabili, A eveto qualuque P A= P { }= p A = A A N = A A èil umerodi elemeti di A permutazioe di oggetti è ogi allieameto di oggetti distiti i caselle P =!= 3 di! ( fattoriale) 0!=! =!! = m, co m m! disposizioe di oggetti i posti è ogi allieameto di oggetti scelti tra oggetti distiti i posti D, =, co D, =P =! disposizioe co ripetizioe di oggetti i posti è ogi allieameto di oggetti scelti tra oggetti e ripetibili, i posti =, co D, combiazioe di oggetti di classe è ogi sottoisieme di elemeti dell'isieme di oggetti (modi per scegliere oggetti tra ) C, = D, = P =,! co ; 0 coefficiete Biomiale = =C, ; = ; 0 = = combiazioe co ripetizioe di oggetti scelti fra ogi gruppo formato di oggetti scelti fra, che possoo essere ripetuti (modi per disporre oggetti uguali i posti) = C, = permutazioe co ripetizioe di oggetti uguali fra loro a gruppi (allieameto i posti di oggetti) P,,... r! =!! r! Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. ***

3 probabilità codizioata probabilità dell'eveto A, codizioata a B P A B= P A B P B P A B=P B A=P A B PB=P B A P A P B A P A P A B= P B P A B= P A B probabilità totali P A= P A B j P B j, j= co j= B j =, B i B j = per i j, P B j 0 per ogi j caso otevole: P A=P A B P BP A B P B, co {B, B} partizioe di formula di Bayes P B A= P A B P B, per ogi P A B j P B j j= idipedeza di eveti eveti A, B idipedeti lo soo se soddisfao ua delle segueti codizioi P A B=P A P B P A B=P A P B A=P B famiglia di eveti idipedeti eveti A, A,..., A costituiscoo ua famiglia di eveti idipedeti se per ogi sottofamiglia di r eveti ( r ), la probabilità di itersezioe di questi r eveti è uguale al prodotto delle probabilità di ciascuo di essi: P A i A j =P A i P A j, per ogi coppia diidicii j P A i A j A =P A i P A j P A data ua famiglia di eveti idipedeti, ache sostituedo alcui A i co i complemetari A i, rimae ua famiglia di eveti idipedeti. Affidabilità di u sistema compoeti i serie il sistema fuzioa se e solo se fuzioao tutti i compoeti affidabilità (probabilità che il sistema fuzioi) a=a a a compoeti i parallelo il sistema fuzioa se e solo se fuzioa almeo u compoete affidabilità (probabilità che il sistema fuzioi) a= a a a variabili aleatorie e modelli probabilistici variabili aleatorie variabile aleatoria (v.a.) discreta è ua qualuque fuzioe: X : X I, co I è u'abbreviazioe di { : X I } legge (o distribuzioe) di ua v.a. applicazioe che associa ad ogi itervallo I il umero: P X I =P { : X I} desità discreta di X fuzioe che ad ogi valore assuto da X associa la probabilità che X assuma quel valore p X x =P X =x probabilità dell'eveto X I : P X I = x I p X x, purché la serie coverga v.a. idipedeti se scelti itervalli I, I,,I si ha P X I, X I,, X I =P X I P X I P X I valore atteso, o media, o speraza matematica X =EX = x p X x, per X discreta X =EX = t f X t dt, per X cotiua E ax b=a EX b, co a, b E X X X =EX EX EX E X X X =EX EX EX, co X, X,, X v.a.idipedeti Ef X = f x p X x, purché la serie coverga E ax b=aex b, per ogi a, b per v.a.cotiue E g X = g t f X tdt, per g : per v.a. cotiue variaza X v.a. discreta: X =VarX =E X EX =E X EX X v.a. cotiua: X =VarX =E X EX = VarX 0 VarX =E X EX Var c=0, per ogi costate c Var ax b=a VarX, per ogi a,b t f X t dt t f X t dt VarX = x EX p X x = x p X x EX Var X X X =VarX VarX VarX, co X i idipedeti deviazioe stadard o scarto quadratico medio X = X =VarX covariaza Cov X,Y =E X EX Y EY =E XY EX EY, co X, Y v.a. covariaza fiita Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. *** 3

4 Cov X, X =VarX Cov X,c=0, per ogi costatec Cov X,Y =CovY, X Cov X Y, Z=Cov X, ZCovY,Z Cov Y,Y Z =Cov X,Y Cov X,Z Cov ax, Y =acov X,Y Cov X,aY =acov X,Y Var X Y =VarX VarY Cov X,Y Cov X,Y VarX VarY dis.cauchy Swartz correlazioe due v.a. co variaza fiita si dicoo icorrelate se: Cov X,Y =0 i tal caso: Var X Y =Var X Var Y coefficiete di correlazioe di X, Y XY XY Cov X,Y X Y VarX VarY, dove XY se XY è vicio a zero: X e Y soo quasi idipedeti se XY è positivo: ad X grade corrispoderà i geere ua Y grade se XY è egativo: ad X grade corrispoderà i geere ua Y piccola se XY =± le v.a. soo ua fuzioe lieare dell'altra: Y =ax b stadardizzata di X è ua v.a. otteuta da ua v.a. X co media e variaza fiite: X = X X X EX =0 ; Var X = disuguagliaza di Cebicev sia X ua v.a. di valore atteso X e variaza X ogi 0 : P X X X, ovvero fiite, allora per P X X X =P X X X X X processo di Beroulli sequeza di esperimeti di Beroulli idipedeti di uguale parametro p esperimeto berulliao o prova di Beroulli è u esperimeto aleatorio che può avere solo due esiti possibili: successo : co probabilità p isuccesso : co probabilità (-p) p è il parametro della prova di Beroulli processo di Beroulli limitato il umero di prove è fiito berulliaa di parametro p X ~B p descrive l'esito di ogi prova di Beroulli p X = p ; p X 0= p EX = p ; VarX = p p la probabilità di otteere, i prove, ua particolare sequeza di successi e (-) isuccessi è: p p la probabilità di otteere, i prove, almeo u successo è: p Biomiale di parametri e p X ~B, p cota il umero complessivo di successi otteuti i prove (estrazioe co reimissioe) p X = p, =0,,,..., p EX =p ; VarX =p p s X = p p ; curt X =3 6p p p p p il umero di oggetti di tipo K che si trovao i u campioe di oggetti estratti co reimmissioe da u isieme di N oggetti che cotiee K oggetti di u tipo e (N-K) oggetti di u'altro è: X ~B, K N processo di Beroulli illimitato sequeza ifiita di prove Biomiale egativa di parametri - e p X ~B, p cota il umero di isuccessi che si ottegoo prima di otteere successi p X = p p, =0,,,... EX = p p ; VarX = p p il umero Y di prove ecessarie per otteere successi: P Y= =P X ==P X = = p p, per =,,,... Geometrica di parametro p X ~G p cota il umero di prove ecessarie per otteere il primo successo p X = p p, per =,,3,... EX = p ; VarX = p p Geometrica traslata di parametro p X ~G ' p cota il umero di isuccessi prima del primo successo p X = p p, per =0,,,... EX = p p ; VarX = p p Ipergeometrica di parametri (N, K, ) X ~G N, K,, co N ; N cota il umero di oggetti di tipo K che si trovao i u campioe di oggetti estratti seza reimmissioe da u isieme di N oggetti che cotiee K oggetti di u tipo e (N-K) oggetti di u altro. K p X N K =, co 0 ; K ; N K N EX = K N ; VarX = K N K N N N approssimazioe Biomiale per N (e quidi K) molto gradi (N > 0) è come se estraessimo co reimissioe: X ~G N, K, X ~B, K N, per N Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. *** 4

5 p X p p, per N, p= K N EX =p ; VarX =p p N N N (fattore di correzioe per la popolazioe fiita (< )) N Poisso di parametro λ > 0 Y ~P 0, co0 permette di descrivere quatitativamete situazioi i cui o abbiamo accesso ai valori di N e p, ma possediamo u uica iformazioe umerica: il parametro λ (umero medio di arrivi) p Y =e, per =0,,,! EY = ; VarY = s X = ; curt X =3 se X i ~P 0 i allora: X X X ~P 0 approssimazioe della Biomiale per N molto grade e p molto piccolo: X ~BN, p Y ~P 0 Np, P X = PY= processo Poisso di itesità ν permette di calcolare probabilità di eveti che accadoo i u certo itervallo di tempo diverso da quello su cui abbiamo iformazioi di parteza; posto =t co umero medio di arrivi ell'uità di tempo, il umero X t di arrivi ell'itervallo di tempo [0, t ] è dato da X t ~P 0 t t p X t =e t, per =0,,,! EX t =t ; VarX t = t variabili aleatorie cotiue desità cotiua f x determia la legge della v.a. cotiua X; è ua desità di probabilità P X I I f x : ; f x t dt, co I f x t 0, per ogi t ; f x t dt= P X =t=0, per ogi t (la probabilità che assuma u valore fissato è ulla (itegrale di u puto)) P X a=p X a P a X b=p ax b esempi di desità cotiue desità uiforme f X t= b a I t, a,b,ab a,b co I a,b t=, per t a, b I a,b t=0, per t a,b P X J = J (fuzioe idicatrice) b a I a, b t dt= a,b J b a desità di Cauchy f X t= t b P a X b= a =/arcta b arcta a t desità Normale Stadard curva a campaa di Gauss, o curva degli errori f X t= e t P a X b= a b / e t / dt fuzioe di ripartizioe di X (f.d.r.) equivale alla desità discreta el caso cotiuo F X t:[0,] F X t=p X t, per ogi t t F X t= f X y dy, per X cotiua F X t= p X x, per X discreta x t se t t, X t X t, P X t P X t, F X t è mootoacrescete F X t per t F X t0 per t F X b F X a=p X b P X a=p ax b, coa,b, ab la f.d.r. di ua v.a. cotiua è sempre ua fuzioe cotiua ei puti i cui la desità è cotiua; i questi puti è derivabile: ' t= f X t F X quatile α-esimo (q α ) P X q =, co q a,b, 0, variabili aleatorie legate al processo di Poisso legge Espoeziale di parametro ν Y ~Esp, co0 misura l'istate del primo arrivo i u processo di Poisso X t di itesità ν, o il tempo di attesa tra due arrivi successivi; è l'uico modello adeguato a rappresetare il tempo di vita di u apparecchio o soggetto ad usura F Y t= e t, per t0 F Y t=0, per t 0 f Y t =e t, per t0 f Y t =0, per t0 E Y = ; Var Y = s X = ; curt X =9 stimatore o distorto per legge Espoeziale U =T = X i Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. *** 5

6 = = X i X, stima di legge Gamma di parametri (itero positivo) e ν (itero positivo) Y ~, misura l'istate dell'eesimo arrivo i u processo di Poisso X t di itesità ν F Y t= e t t, per t0 =0! F Y t=0, per t 0 f Y t =e t t! =C,t e t, per t0, f Y t =0, per t0 C, =! E Y = ; Var Y = legge Gamma di parametri r e ν (reali positivi) Y ~ r, descrive il tempo di vita di u apparecchio la cui propesioe al guasto cresce col tempo, fio al limite ν f Y t =C r, t r e t, per t0 f Y t =0, per t0 E Y = r ; Var Y = r asseza di memoria P Y T t Y T =P Y t P Y T t=p Y t P Y T se ua v.a. cotiua soddisfa questa, allora ha legge Espoeziale se è cotiua e legge Geometrica traslata se discreta istataeous failure rate (propesioe istataea al guasto) Zt = f Y t F Y t per la legge Espoeziale: Zt =, per t0 per la legge Gamma: Zt =C t t =0! =! =0 t t desità di Weibull utile a rappresetare il tempo di vita di u apparecchio posto Zt =c t si trova: c t F Y t= e, co c t f Y t =c t e se 0 l'apparecchio ivecchia se 0 l'apparecchio migliora col tempo se =0 si ritrova la legge Espoeziale! modello Normale legge Normale stadard Z~N 0, F Z t= t y e dy t f Z t = t e t E Z =0 ; Var Z = t= t, simmetria calcoli co i quatili posto z quatile α-esimo della legge Normale stadard: z = z P Zz = P Zz = P Z z / = P Z z / = legge Normale (o gaussiaa) di media µ e variaza σ X ~N, rappreseta bee gli errori di approssimazioe F X t= t t f X t= t = e EX = ; Var X = sx =0 ; curt X =3 la v.a. Z= X ha legge Normale stadard posto X ~N,, X ~N, idipedeti: X X ~N, posto a,b : ax b~n a b, a relazioe tra legge Normale e legge Normale stadard Z~N 0, Z~N, X ~N, X ~N 0, errori Y =misura di ua gradezza fisica =valore vero X =errore di misura =errore sistematico E c =errore casuale =iacuratezza della misura X ~N,, X =E c E c ~N 0, E E c =0 EY = media campioaria se X i ~N, soo v.a. idipedeti ed ideticamete Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. *** 6

7 distribuite (i.i.d.): X ~N, E X = ; Var X = media campioaria stadardizzata S = X /, =,,3, teorema del limite cetrale P S t t per, t approssimazioe Normale Date X i v.a.i.i.d., EX i =, VarXi= co abbastaza grade: X N, ossia P X t t X i N, ossia P X i t t approssimazioe Normale di Gamma per grade: Y ~, Y N, F Y t=p Y t t approssimazioe Normale della Biomiale: approssimazioe utile i problemi di campioameto NOTA: vale se: p5 ; p5 Y ~B, p Y N p,p p t p F Y t=p Y, per v.a.cotiua t p p F Y =P Y 0.5 p p p, =0,,,,, per v.a.discreta mometi ed idici di forma per v.a. mometo r-esimo di X r ' =E X r r ' = x r p X x, per X discreta ' r = x r f X x dx, per X cotiua mometo r-esimo cetrato di X r =E X EX r r = x r p X x, co =EX, per X discreta r = x r f X xdx, per X cotiua coefficiete di asimmetria (sewess) di ua v.a. X co µ' 3 fiito misura l'assimetria di X rispetto al valore atteso s X = 3 =E 3/ [ X 3 ] coefficiete di curtosi di ua v.a. X co µ' 4 fiito misura quato la desità di X sia apputita curt X = 4 =E [ X 4 ], =EX, =Var X statistica ifereziale campioameto e stime defiizioi modello statistico famiglia di leggi di v.a., dipedeti da uo o più parametri icogiti: { p X x ;: I} è u vettore di parametri campioe casuale di ampiezza estratto da ua popolazioe di desità p X x ; è ua eupla di v.a. idipedeti e ideticamete distribuite (i.i.d) X, X,, X, ciascua avete legge p X x ;. stima di parametri e stimatori stima putuale dei parametri stimare il valore vero del parametro (o dei parametri) a partire dal campioe casuale stima del parametro p della popolazioe berulliaa p= x, co x i valorieffettivamete osservati statistica T è ua qualsiasi v.a. T fuzioe del campioe casuale X, X,, X di ampiezza estratto da ua popolazioe di legge p X x, : T = f X, X,, X, co f : stimatore del parametro ϑ statistica che viee usata per stimare il valore del parametro è corretto (o distorto) se ET = altrimeti è detto distorto stima del parametro ϑ = f x, x,, x, calcolato acampioameto eseguito stimatore cosistete var T 0 per, cot stimatore corretto di valore atteso della media campioaria E X = variaza della media campioaria Var X = legge dei gradi umeri P { X } 0, per stime stima di =h S X i X a campioameto effettuato:, variaza campioaria Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. *** 7

8 s x i x = stima popolazioe Normale = x =s se µ è ota: = X i stima popolazioe Gamma = x s leggi ; r = x s x i x legge Chi quadro co gradi di libertà Y ~X Y ~, X i soo v.a. idipedeti, ciascua di legge N(0,) f Y t =c t e t, per t0 f Y t =0, per t0 EY = ; Var Y = posto Y ~X, Y ~X idipedeti: Y Y ~X itervallo a cui ua v.a. di legge Chi quadro appartiee co probabilità α: PX Y X = approssimazioe Normale di Chi quadro per grade X N,, per grade PYt t X z approssimazioi Sia X i, X,, X u campioe casuale estratto da ua popolazioe di legge N,, allora: X i ~ X X i X ~ X S ~X S e X soo traloro idipedeti legge t di studet a gradi di libertà T~t ; co T = Z Y /, Z~N 0,, Y ~X f T t =c t, per t ET=0, trae per = per cui oesiste fiito per t la t di studet tede alla Normale stadard approssimazioi Sia X i, X,, X u campioe casuale estratto da ua popolazioe di legge N,, allora: X ~t S / calcoli co i quatili posto t quatile α-esimo della legge t(): P Tt = P Tt = P T t / = P T t / = t z, approssimazioe per 0 approssimazioe di quatili tramite iterpolazioe lieare y=mxq, equazioe della rettache passa per i puti {q, t q }, {q, t q } t x=t q t q t q q q x q, co q xq legge di fisher co m e gradi di libertà X ~F m, ; co X = U / m, U ~X m, V ~X V / ~F,m X PX F m,= P X F m, = F m, =F,m S S =F m, itervallo di cofideza al livello del 00α% per h(ϑ) Sia X, X,, X u campioe casuale estratto da ua popolazioe di desità f x ; ; siao T =t X, X,, X, T =t X, X,, X due statistiche, e sia h ua fuzioe del parametro che si vuole stimare; fissato u umero 0,, l'itervallo aleatorio (T, T ) si dice itervallo di cofideza al 00α% per h(ϑ) se: P T ht = a campioameto eseguito l'itervallo (t,t ) si dice calcolato al campioe ; h(ϑ) appartiee all'itervallo (t, t ) co ua cofideza del 00α%; t e t soo detti limiti di cofideza itervallo di cofideza per la media (di ua popolazioe Normale o popolazioe qualsiasi co grade 30 ) = X ±z = / X ±E S = X ±t, co variaza ota, co variazaicogita Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. *** 8

9 stima dell'ampiezza per limitare l'errore E 0 =t / E 0, co variaza ota itervallo di cofideza per la frequeza p valido per ua popolazioe beroulliaa e per gradi campioi 30 p= X ±z / X X ; se: x 5, x 5 stima dell'ampiezza per limitare l'errore E 0 = z / E 0 E 0 corrispode a metà dell'itervallo di cofideza. test di ipotesi ipotesi statistica è u'asserzioe sul valore vero di u parametro icogito; si dice semplice se specifica completamete il valore del parametro, altrimeti si dice composta ipotesi ulla H 0 H 0 : 0 ipotesi che si ritiee vera fio a prova cotraria ; rifiuteremo H 0 solo se i dati campioari forirao ua forte evideza statistica cotro di essa ipotesi alterativa H H : 0 ipotesi vera solo se H 0 è falsa errore di tipo I rifiutiamo H0 quado è vera; questo è cosiderato l'errore più grave errore di tipo II accettiamo H0 quado è falsa regioe critica o regioe di rifiuto è l'isieme dei possibili risultati campioari che portao a rifiutare H 0 data la regola di decisioe: si rifiuti H 0 set X, X,, X I : ={ x, x,,x :T x, x,, x I } la probabilità di rifiutare H 0 prima del campioameto: P T X, X,, X I ampiezza del test (o livello di sigificatività) =sup 0 P T X, X,, X I rappreseta la massima probabilità di rifiutare l'ipotesi ulla quado questa è vera; va stabilito piccolo a priori prima di eseguire il campioameto p-value umero pari al miimo livello di sigificatività a cui i dati campioari cosetoo di rifiutare l'ipotesi ulla; se p-value = 0 siamo praticamete certi di o sbagliare variaza campioaria pesata media pesata delle variaze campioarie di due campioi, m S = S X m S Y = m X i X Y i Y m test sulla media di ua popolazioe Normale di variaza ota z= x 0 / = 0 0 z z / 0 0 zz 0 0 z z test sulla media di ua popolazioe Normale di variaza icogita t= x 0 s / = 0 0 t t / 0 0 tt 0 0 t t test sulla frequeza p di ua popolazioe beroulliaa x p 0 z= p 0 p 0 / p= p 0 p p 0 z z / p p 0 p p 0 zz p p 0 p p 0 z z test sulla differeza di due medie co variaze ote estraiamo due campioi,m da due popolazioi ormali idipedeti co variaze ote; questo test o va usato quado ua variaza è almeo 4 volte l'altra z= X Y m X Y X = Y X Y z z / X Y X Y zz X Y X Y z z test sulla differeza di due medie co variaze icogite estraiamo due campioi, m da due popolazioi ormali idipedeti co variaze icogite; questo test o va usato quado ua variaza è almeo 4 volte l'altra X Y t= m S X m S Y m X = Y X Y t t / m X Y X Y tt m X Y X Y t t m el caso di campioi osservazioi accoppiate si cosiderao le differeze delle medie Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. *** 9

10 test su due frequeze di due popolazioi beroulliae idipedeti estraiamo due campioi, m da due popolazioi beroulliae idipedeti X ~B p, Y ~B p ; questa procedura è valida se x y m z= m x i 5 ; p p m p = p p p z z / p p p p zz p p p p z z ifereze su ua variaza X = s 0 co p= x m y m m y i 5 = X X / X X X X itervallo di cofideza s s, X X o X X / ifereze su due variaze estraiamo due campioi, m da due popolazioi ormali idipedeti co medie icogite; F = s X s Y X = Y X Y X Y X Y X Y X Y itervallo di cofideza s X,, m s Y F F F /, m F F /, m F F, m F F, m F, m s X s Y test Chi quadro di adattameto ha lo scopo di verificare se certi dati empirici si adattio bee ad ua distribuzioe teorica assegata; si costruisce la seguete tabella: classi A A... A freq. rel. attese p p... p freq. ass. attese p p... p freq. ass. osservate N N... N scarti quad. p N p N p... N pesati p p p Q le classi adrao accorpate i maiera tale che le frequeze assolute attese siao tutte maggiori o uguali a 5; Chi quadro calcolato dal campioe: Q= p i N i p i Q X per, co p i assegate a priori Q X r per, co p i calcolate dopo aver stimato r parametri icogiti fissato α, si stabilisce la regola di decisioe: si rifiuti H 0 se Q X r (si calcola tramite tabelle) il p-value corrispodete al valore Q è: =P X Q, co X ~X r test Chi quadro di idipedeza verifica l'idipedeza o meo di due variabili; si costruisce ua tabella di cotigeza di rs classi: A A... A r Tot. B... r B... r B s s s... rs s Tot.... r si costruisce ua tabella di rs classi: A A... A r B r... B... r B s s r s s... ciascua delle frequeze attese deve essere: si calcola il chi-quadro: r s ij i j Q= j= i j fissato α, si stabilisce la regola di decisioe: si rifiuti H 0 se QX r s (si calcola tramite tabelle) il p-value corrispodete al valore Q è: =P X Q, co X ~X r s i j 5 Formulario di Probabilità e Statistica [ ] - Copyright 005 Nicola Asui ([email protected] *** ATTENZIONE: No posso garatire che le segueti iformazioi siao corrette. Usatele a vostro rischio. *** 0