Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA

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1 Capitolo uo STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA La statistica bidimesioale o bivariata si occupa dello studio del grado di dipedeza di due caratteri distiti della stessa uità statistica. E possibile, ad esempio, studiare il legame che esiste tra il peso e l altezza di u gruppo di persoe oppure, cosiderado 100 famiglie, si può studiare il legame che esiste tra il umero di membri di ua famiglia e il umero di automobili di proprietà di ciascua famiglia ecc.. Il tipo di dipedeza che si studia è solo la dipedeza statistica, e o è detto che ogi volta che si ota ua dipedeza statistica c è ache ua dipedeza causa-effetto tra le due variabili i esame. Ecco u esempio sigificativo: statisticamete si può dimostrare che gli studeti co i piedi piccoli fao più errori di ortografica di quelli co i piedi gradi. Questo o sigifica che l avere i piedi piccoli sia la causa del fare errori di ortografia, piuttosto i ragazzi co i piedi piccoli soo i più giovai e per questo fao più di frequete errori di ortografia. I questo caso c è ua terza variabile, l età degli studeti, che geera la relazioe di causa-effetto. Dette X e Y le due variabili statistiche, la distribuzioe delle frequeze delle loro modalità x 1, x,.x q e y 1, y, y p può essere rappresetata attraverso ua tabella a doppia etrata i cui si associa ad ogi coppia (x i ;y i ) la sua frequeza assoluta detta frequeza cogiuta. Osservare la seguete tabella a doppia etrata: x 1 x x 3 Totale 1 y 1 f 1,1 f 1, f 1,3 f 1,0 y f,1 f, f,3 f,0 y 3 f 3,1 f 3, f 3,3 f 3,0 yi.. f i,0 Totale f 0,1 f 0, f 0,3 f 0,j f La prima riga è quella delle modalità del carattere x, la prima coloa è quella delle modalità del carattere y. La coloa dei totali e la riga dei totali soo le frequeze margiali della variabile x e della variabile y, soo dette distribuzioi margiali e rappresetao le distribuzioi di oguo dei due caratteri cosiderati sigolarmete (distribuzioi uivariate). f i,j soo le frequeze cogiute Le coloe e le righe itere della tabella soo le distribuzioi codizioate. Esempio 1 Soo stati classificati 05 appartameti secodo il umero dei locali e il umero delle persoe che li abitao. I risultati soo riassuti ella seguete tabella a doppia etrata

2 Dalla tabella si possoo ricavare le due distribuzioi margiali ( UNIVARIATE) della X e della Y : distribuzioe delle xi ( umero locali): x i f i, Distribuzioe delle yj ( umero di abitati): y j f 0,j Di ciascua di tali distribuzioi margiali, uivariate, si possoo calcolare, ad esempio, la media, la variaza, lo scarto quadratico medio: Mx= 3,755 σ X =,13 σ X =1,457 ; My= 3,541 σ y =,14 σ y =1,10 Quado i ua tabella a doppia etrata, le frequeze cogiute valgoo tutte Y X Si può utilizzare ua tabella più semplice ivece di quella a doppia etrata: X Y E la rappresetazioe grafica, i questo caso, è la dispersioe x,y, cioè ua uvola di puti el piao cartesiao

3 3 Come si rappreseta graficamete ua tabella a doppia etrata 4 6 X Y Rappresetiamo graficamete la tabella procedete a doppia etrata co u diagramma a bolle, il raggio di ogi bolla è proporzioale alla frequeza x y frequeza 4 0,03 8 0,0 1 0, , , , , , ,3 ESERCIZI 1) La seguete tabella riporta la distribuzioe di u gruppo di auto secodo la lughezza e la dimesioe del bagagliaio Lughezza auto ( m) Capacità bagagliaio 3-3,50 3, ,5 Totale (dm 3 ) Totale Calcolare la variaza della distribuzioe margiale delle yi ( capacità bagagliaio) [σ =4486,] 3)La seguete tabella riporta l esito di fie ao degli alui di u istituto scolastico divisi per classi X= esito Y=classe 1=promossi =Respiti 3=co debito 1=prima =secoda =terza =quarta a.rappresetare la distribuzioe dei dati b. Scrivere le frequeze margiali delle righe e delle coloe ) la seguete tabella riporta le età degli sposi per 100 coppie Età sposa Età Totale sposo Totale Determia la media aritmetica e la variaza della distribuzioe margiale dell età della sposa [M=6,15] [σ =,57] 4) Data la seguete tabella X Y 1 3 Tot Tot a. Rappresetarla graficamete b. Scrivere la distribuzioe margiale di yi c. Calcolare la media aritmetica della distribuzioe margiale delle xi [c.,37]

4 4 c. Calcolare la media e la variaza della distribuzioe margiale degli esiti. [M=1,40 σ =0,54] d. Calcolare la media e la variaza della distribuzioe margiale delle classi [M=,39 σ =1,34] 5) Sia X la variabile voto dello scrutiio ed Y la variabile studete pedolare, studete residete, determiare Mx, My, σ x, σ y Y X: tot Pedol.= Reside.= tot [Mx=5,18 My=1,68 σ x =1,01 σ y=0,1] INDIPENDENZA E DIPENDENZA STATISTICA DI DUE VARIABILI Due variabili statistiche soo idipedeti se le modalità di ua o ifluezao le modalità dell altra. Per determiare se due variabili statistiche soo dipedeti o idipedeti bisoga utilizzare le distribuzioi margiali delle frequeze della tabella a doppia etrata. La variabile X e la variabile Y soo idipedeti se la frequeza cogiuta f i,j ( quella itera alla tabella), è il prodotto delle corrispodeti frequeze margiali, divise per il umero di dati : f i,j =[f i,0 *f 0,j ]/ Se tale codizioe o è rispettata, le due variabili NON soo idipedeti ma si dicoo DIPENDENTI.

5 5 Per verificare se le variabili soo idipedeti si può costruire la tabella delle frequeze teoriche di idipedeza. Partedo dalle frequeze margiali e utilizzado la formula [f i,0 *f 0,j ]/ si costruisce la tabella teorica delle frequeze che le due variabili dovrebbe avere se fossero idipedeti, se tale tabella coicide co quella data, le due variabili soo perfettamete idipedeti. 4 6 X 4 60*0/00= 6 60*60/00= 18 60*10/00= le variabili X ed Y soo 8 40*0/00= 4 40*60/00= 1 40*10/00= 4 40 idipedeti 1 100*0/00= *60/00=30 100*10/00= Y La tabella così costruita si chiama tabella teorica di idipedeza Esercizi: determiare se le variabili X ed Y di ciascua tabella soo idipedeti. ESERCIZIO SVOLTO: Data la tabella seguete, dire se le due variabili soo idipedeti X 1 3 tot Y tot Soluzioe Si costruisce la tabella teorica di idipedeza e si verifica se coicide co quella dei dati reali X 1 3 tot 4 7*8/56=1 4 7 Y 5 1*8/56= tot Poiché coicidoo le due tabelle, le variabili soo idipedeti

6 6 Esercizi La situazioe di perfetta idipedeza statistica si verifica raramete, la tabella teorica di idipedeza rappreseta u situazioe ideale, quello che serve è valutare quato la tabella dei dati reali si discosta da quella di perfetta idipedeza per capire i che misura le due variabili soo dipedeti. LA CONNESSIONE TRA DUE VARIABILI QUALITATIVE: le mutabili e la cotigeza La cotigeza permette di misurare il grado di dipedeza di due variabili qualitative: il GRADO DI CONNESSIONE delle due MUTABILI. Per queste variabili che o soo umeriche e vegoo chiamate mutabili, o ha seso parlare di valore medio o di variaza. Per stabilire il grado di coessioe tra due mutabili dobbiamo usare solo le frequeze margiali e le frequeze cogiute della tabella bivariata. 1)Data la tabella dei dati reali osservati: y 1 y y x x x x ) si costruisce la tabella teorica di idipedeza: y 1 y y x 1 30*5/50=15 0*5/50=10 5 x 30*15/50=9 =6 15 x 3 =6 =4 10 x Le variabili X ed Y o soo idipedeti poiché le due tabelle soo diverse, quidi si cerca di misurare il grado di coessioe delle due variabili. Si dice cotigeza la differeza tra le frequeze osservate e quelle teoriche. C(xi;yj) = f(xi,yj) - f (xi,yj) cotigeza freq. osserv. freq. teorica Nel caso di idipedeza, le cotigeze soo tutte ulle, metre crescerao i valore assoluto, al crescere del grado di dipedeza tra i caratteri.

7 7 Tabella teorica di idipedeza y 1 y Y x x x X Tabella delle cotigeze (ota bee: la somma delle cotigeze deve sempre essere ulla) y 1 y x x - x 3 - L idice che misura il grado di coessioe di due mutabili è l idice di coessioe di Pearso ( chi quadro) χ = Se X =0 le variabili soo idipedeti, più è grade X, maggiore è il grado di coessioe. Riprededo la tabella iiziale e le due costruite partedo da essa, si ha χ = =,8 Altro idicatore usato per descrivere la coessioe tra due mutabili è il coefficiete di cotigeza che è u umero puro compreso tra 0 icluso ed 1. C= è il umero dei dati el ostro caso C=, 8 =0,30, 8 50 C=0 se le mutabili soo idipedeti, C è sempre compreso tra 0 icluso ed 1. ESERCIZI Calcola χ (chi-quadro) e il coefficiete di cotigeza C delle segueti tabelle 1)La seguete tabella riporta i giudizi su di u programma televisivo di u gruppo di persoe tra i 0 e i 50 ai [X =8,11 C=0,515] y x oioso Iteress. stupedo tot tot ) La seguete tabella riporta i risultati di ua idagie sul tipo di vacaza preferita da u gruppo di persoe divise per se sesso [x =7,613 C=0,87] y x mare lago motaga tot M F tot )Nella sezioe A vegoo promossi 1 studeti su 4. Nel resto dell Istituto solo 50 su 1000 risultao o promossi. Rappresetare la situazioe co ua tabella di coessioe e calcolare il coefficiete di coess. X promossi No Tot. righe Risultati: Y Sezioe A 1 promossi 1 4 X =83,65 C=0,75 Sezioi o A Tot coloe

8 8 CORRELAZIONE TRA DUE VARIABILI NUMERICHE E REGRESSIONE LINEARE Correlazioe: aalizza se esiste ua relazioe tra due variabili quatitative (come e quato due variabili variao isieme), esprimedo tale legame co u idice umerico. Regressioe: aalizza la forma della relazioe tra le due variabili quatitative. Noostate il legame possa essere dato da ua fuzioe qualuque ( retta, parabola, curva espoeziale ecc.) oi studieremo solo la regressioe lieare ( retta). La correlazioe Per aalizzare la correlazioe lieare tra due variabili statistiche, si calcola il coefficiete di BRAVAIS-PEARSON: = Dove è il umero di dati, μ x la media delle xi, μ y la media delle yi. Se r=1 tutti i dati soo allieati su di ua retta co coefficiete agolare positivo PERFETTA CORRELAZIONE POSITIVA Se r=-1 tutti i dati soo allieati su di ua retta co coefficiete agolare egativo PERFETTA CORRELAZIONE NEGATIVA Se r=0 o c è correlazioe lieare tra le due variabili, i puti ( x i,y i ) soo disposti casualmete el piao Attezioe : -1<r<+1 Quato più r è vicio ad 1 o a -1 tato più è forte la correlazioe tra le variabili, quato più r è vicio a zero tato più è debole la correlazioe tra le variabili. ESEMPIO A ua visita di leva vegoo rilevati i segueti dati Statura (cm) Circ. toracica (cm) Calcola il coefficiete di correlazioe di Bravais-Pearso r.

9 SVOLGIMENTO La seguete tabella è stata costruita co EXCEL. Per calcolare il coefficiete di correlazioe r basta utilizzare i risultati coteuti elle ultime tre celle i eretto X Y x-mx y-my (x-mx)^ (y-my)^ (x-mx)(y-my) ,5 4 0, , , , , ,5 16 0, ,5 11 1,5 38, ,5 1,5-1, , ,5 161, ,5 49 1,5 4,5 totale media ,5 475 r = 0,97645 = 100* 3 Tra le due variabili c è ua buoa correlazioe lieare positiva perché r è vicio ad 1. 9 Rappresetado graficamete i puti (xi,yi) el piao cartesiao ( diagramma di dispersioe), relativi alla tabella precedete (statura-cassa toracica) si vede che essi possoo essere approssimati co ua retta ESERCIZI 1)Data la tabella seguete xi yi a)traccia il diagramma di dispersioe b)calcola il coefficiete di correlazioe lieare di Bravais-Pearso [r=0,99] )La seguete tabella rappreseta il reddito auo e le spese aue per l abbigliameto di 5 persoe. Reddito (migliaia di euro) Spese (migliaia di euro) 1,5,5, 1,8 Determia il coefficiete di correlazioe r [r=0,4] 3)Dallo studio della caduta di u grave si ottegoo i segueti dati Tempo ( s ) Spazio ( m) 3,8 8, 14,6, 34,4 Calcola il coefficiete di correlazioe r [r=0,98]

10 LA REGRESSIONE LINEARE Se due variabili umeriche o soo idipedeti, si deve misurare i modo quatitativo la loro dipedeza statistica. Quado il diagramma di dispersioe evidezia ua possibile relazioe lieare tra due variabili statistiche x ed y, la fuzioe iterpolatrice che approssima meglio la distribuzioe dei dati può essere ua retta di equazioe y=ax+b Si può scrivere la retta di regressioe lieare che approssima i dati, ricorredo al metodo dei miimi quadrati. Tale metodo cosiste el redere miima la somma dei quadrati delle distaze d i come si vede el grafico seguete. La distaza d i tra i puti di coordiate (4;6) (5;6) (6;5) (8;1) e i puti della retta aveti le stesse ascisse, è misurata ella direzioe dell asse y La retta di regressioe di y i fuzioe di x passa per (μ x; μ y ) detto baricetro della distribuzioe ed ha equazioe: y=ax+b coeff.di regressioe a= Equazioe della retta: y-μ y =a(x-μ x ) 10 RETTA DI REGRESSIONE LINEARE: y=ax+b Data la seguete distribuzioe statistica statura-circofereza toracica, determiare la retta di regressioe X cm Y cm statura circof. toracica X Y x-mx y-my (x-mx)^ (y-my)^ (x-m ,5 4 0, , , , , ,5 16 0, ,5 11 1, ,5 1, , , ,5 49 1,5 totale media ,5 RETTA di regressioe y-μ y=a(x-μ x ) y-85,5=0,466(x-173) a=0,466 Si ottiee da =475/100 La retta passa per (μ x, μ y )=(173; 85,5) detto bari della distribuzioe

11 ATTENZIONE: per scrivere l equazioe della retta di regressioe si può utilizzare la stessa tabella vista per il coefficiete di correlazioe di Bravais-Pearso 11 La retta di regressioe è y=0,466x+4,88 L approssimazioe è buoa ifatti il coefficiete di Bravais-Pearso r=0,97645 è molto prossimo ad 1 ESERCIZI. 1)Nella seguete tabella soo riportati i dati relativi all impiego di u fertilizzate i u terreo e alle quatità di cereali raccolti i quitali. fertilizzati Cereali soluzioe a) determia l equazioe della retta di regressioe e rappresetala y=-31,43+11,49x b) determia il coefficiete di correlazioe ) La seguete tabella riporta la quatità di merce veduta i relazioe al prezzo: prezzo ( euro) Quatità ( t.) a. rappreseta graficamete i dati rilevati b. determia co il metodo dei miimi quadrati la retta iterpolatrice c. calcola l errore stadard d. rappreseta la fuzioe calcolata [y=69, 0,039x] Determia la retta di regressioe co il metodo dei miimi quadrati e l errore stadard: 3) 4) 5) X [ y= 11,85 1,14x ] y X [y=80,43-0,85x] y X [y=1, ,805x] y 1, 3,7 5,9 11,6 15,3 6) Nella seguete tabella soo riportati i pesi i relazioe alla statura di u gruppo di persoe. Peso ( Kg) Altezza (cm) a. calcolare l equazioe della retta di regressioe b. calcolare il coefficiete di correlazioe c. Per u peso di 65 kg quale altezza si può prevedere? [y=97,64+1,06x]

12 7) Nei primi 5 mesi dell ao u azieda ha prodotto le segueti quatità di u prodotto i relazioe ai costi di elettricità Produzioe Mesile (t.) 8, 6,3 9,1 10,4 11,7 Costi mesili elettricità,7, 3,1 3, 3,9 (migliaia di euro) a. Calcola l equazioe della retta di regressioe dei costi sulla produzioe b. Calcola la retta di regressioe della produzioe sui costi c. Calcola il coefficiete di correlazioe [y=0,89+0,99x y=3,1x 0,554] 8) La tabella ISTAT idica il Prodotto Itero Lordo del Piemote dal1996 al003: ai PIL( i miliardi di euro) 85,4 89,3 9,8 96, 100,5 103,9 106, 109,1 Associa u umero ad ogi ao calcola la retta di regressioe e utilizzala per prevedere il PIL del Piemote el 008. [y=3,49x+8,496 13,6] 9) Fote ISTAT del umero di dipedeti della regioe Emilia Romaga: ai Dipedeti ( i milioi) 1,67 1,86 1,99 1,316 1,350 1,370 1,411 1,416 Associa ad ogi ao u umero progressivo 1,,., ricava l equazioe della retta di regressioe, rappresetala graficamete assieme ai dati e ricava il umero di lavoratori dipedeti dell Emilia Romaga el 008. [y=0,08x+1,368; 1,533] Regressioe e correlazioe i ua tabella a doppia etrata ESEMPIO Calcolare la retta di regressioe y=ax+b e i coefficieti di regressioe e correlazioe lieare: Y Tot.righe X Tot. coloe Calcolo: Mx=(3*1+5*0+7*30)/6=5,581 My=(1*11+*+3*13+4*16)/6=,548 Tabella degli scarti yi-my 1,548 0,548 0,45 1,45 Tot.righe xi-mx, , , Tot. coloe Covariaza σ XY =((-1,548)(-,581)*+(-,581)( -0,548)*4+(1,45)(-,581)*5+ )/6= 0,05 Variaza σ X=(1*(-,581) +0*(-0,581) +30*(,581) )/6=4,6 Variaza σ Y=(11*(-1,548) + *(-0,548) +13*(0,45) +16*(1,45) )/6=1,1 SI OTTENGONO COSI I RISULTATI: Coeff. di regressioe a= σ XY / σ X = 0,011 coeff. di correlazioe r = σ XY / (σ X * σ y ) = 0,0 Retta di regressioe y 1,1= 0,011( x 4,6) che diveta y= - 0,011x

13 13 Esercizio 1 Y Tot.righe X Tot. coloe y=0,5x+1,069 coeff. di regressioe: a=0,5 r=0,483 Esercizio Y 1,3 1,6 1,9, Tot.righe X Tot. coloe y=-0,07x+,008 coeff. di regressioe: a=-0,07 r=-0,134 Esercizio 3 I ua scuola si vuole idagare il grado di correlazioe tra i voti di Latio e quelli di Matematica, la popolazioe è data dagli studeti che hao avuto voti positivi : Matem. Latio [y=0,666x+,188 coeff. di regressioe a=0,666 r=0,654] 4) Viee rilevata l altezza e il umero di scarpe di 100 ragazze. Le altezze soo suddivise i classi di 5cm (1,60 m rappreseta la classe 1,575 e 1,65). ecc. Calcola la retta di regressioe (y= altezza) e il coeff. di correlazioe. [y=0,037x+0,77 r=0,734] altezza.scarpe Tot.righe Tot. coloe ,60 1,65 1,70 1,75 1,80 Tot. righe Tot. Colo

14 14 LE FORMULE DELLA STATISTICA BIVARIATA MEDIA DI X μ x = MEDIA DI Y μ Y = Idice chi-quadro = CONNESSIONE TRA LE MUTABILI Ilcoefficiete di cotigeza tra due mutabili: C= CORRELAZIONE tra le variabili ( xi x ) 1 Covariaza σ x,y = variaza: σ x = Nelle tabelle a doppia etrata : covariaza σ x,y = Variaza σ 1 x = fi, j ( xi x ) σ 1 y = fi, j ( xi x )( yi y ) 1 fi, j ( yi y Coefficiete di correlazioe lieare di Bravais-Pearso : ) r = = σ 1 y = ( yi y ) REGRESSIONE LINEARE Errore stadard di stima è E s = f(x) è l equazioe della retta di regressioe y=ax+b Baricetro della distribuzioe di dati G(μ x, μ y ) = ( ; ) Miglior retta di regressioe di y i x y-μ y =a(x-μ x ) a= Miglior retta di regressioe di x i y x-μ X =a (y-μ Y ) a = ( xi x)( yi y) 1 xy 1( yi y) y ATTENZIONE: le due rette di regressioe lieare vao rappresetate graficamete sullo stesso piao cartesiao assieme alla uvola di puti di coordiate (xi;yi), etrambe passerao per il baricetro della distribuzioe G(μ x, μ y ) = ( ; )