Esercitazioni di Statistica

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1 Esercitazioi di Statistica Il modello di Regressioe Prof. Livia De Giovai Esercizio Solitamete è accertato che aumetado il umero di uità prodotte, u idustria possa ridurre i costi uitari. I dati segueti mettoo i relazioe i costi uitari di produzioe co il umero di uità prodotte. X N. uità Y Costo uitario a) Stimare il coefficiete di correlazioe. b) Il coefficiete di correlazioe descrive adeguatamete il legame tra le due variabili? c) Stimare i parametri del modello di regressioe del costo uitario sul umero di uità prodotte. Soluzioe a) La stima del coefficiete di correlazioe è pari a r XY (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 (y i ȳ) 2 x iy i xȳ ( x2 i x2 )( y2 i ȳ2 ) Si riportao ella tabella seguete i calcoli per la stima

2 x i y i x 2 i yi x i y i Quidi Cod(X, Y ) Dev(X) Dev(Y ) x 530/ ȳ 5.6/6 8.6 (x i x) (y i ȳ) (x i x)(y i ȳ) S 2 E ê 2 i r XY 285/ i cui i residui ê i soo dati dalla differeza y i ŷ i b) La teoria suggerisce ua relazioe o simmetrica tra le variabili, quidi u aalisi di regressioe risulta più adeguata i questo caso. c) utilizzado la relazioe S 2 E ê2 i S 2 y ˆβ 2 S 2 x Dev(Y ) ˆβ 2 Dev(X) risulta: ˆβ Cod(X, Y )/Dev(X) 285/ ˆα ȳ ˆβ x 8.6 ( ) ˆσ 2 Dev(Y ) ˆβ 2 Dev(X) 2 (2.86 ( ) )/ Esercizio 2 Soo stati osservati 8 valori per le variabili X e Y : 2

3 x i y i a) Stimare la retta di regressioe che poe la Y i fuzioe della X. b) Calcolare l idice di determiazioe. c) Tra i dati osservati idividuare l osservazioe che preseta il valore più aomalo. d) Stimare la retta di regressioe che poe la Y i fuzioe della X avedo elimiato l osservazioe trovata al puto precedete. e) L idice di determiazioe per questa retta di regressioe spiega più del 90% della variabilità totale? Soluzioe a) Per stimare la retta di regressioe occorre calcolare: x i y i x 2 i yi 2 x i y i

4 Per cui si ha che ȳ y i i x x i 3.25 i Sy 2 yi 2 ȳ 2 i Sx 2 x 2 i x 2 i S xy y i x i ȳ x i (y i ȳ) (x i x) (x i x)(y i ȳ) A questo puto si possoo stimare i parametri del modello di regressioe lieare, per cui e ˆβ S xy S 2 x ˆα ȳ ˆβ x La retta di regressioe stimata è ŷ i ˆα + ˆβx i x i b) Per determiare l R 2 si comicia co il calcolare: R 2 (ŷ i ȳ i ) 2 (y i ȳ i ) 2 ê2 i (y i ȳ i ) 2 Dev(Y ) Sy Dev(X) Sx ê 2 i Dev(Y ) ˆβ 2 Dev(X) ( )

5 Y X R Cosideriamo ua defiizioe alterativa dell R 2 : se il modello è stimato co il metodo dei miimi quadrati ordiari, il coefficiete di determiazioe coicide co il quadrato del coefficiete di correlazioe tra la X e la Y : r XY S xy S 2 x Sy , per cui R c) I residui ê i soo dati dalla differeza tra y i ŷ i. Il vettore degli otto residui 5

6 y i ŷ i ê i L osservazioe che ha il residuo, i valore assoluto, più elevato è la sesta. d) Poiché il residuo più elevato si ottiee i corrispodeza della sesta osservazioe ( ), se si elimia dal campioe la sesta osservazioe si ottiee la seguete uova tabella: Per cui si ha che x i y i x 2 i yi 2 x i y i ȳ x S 2 y S 2 x S xy I uovi stimatori dei coefficieti del modello soo dati da: ˆβ S xy i x iy i ȳ x i x2 i x2 Sx

7 e ˆα ȳ ˆβ x e) Il uovo coefficiete di determiazioe è dato da: r XY S xy S 2 x Sy , per cui R > Esercizio 3 I uo studio sul cosumo, soo stati rilevati la spesa mesile i geeri alimetari e il reddito mesile di 24 famiglie. Idicado co X il reddito e co Y la spesa, soo stati otteuti i valori segueti per le variabili espresse i migliaia di euro: 24 x i 42.8; 24 y i 2.4; 24 x 2 i 8.5; 24 y 2 i 6.72, 24 x i y i a) Stimare la retta di regressioe Y i α + βx i + ε i b) Qual è la variazioe stimata del valore atteso di Y se X aumeta di u uità? Se ua famiglia o avesse reddito, quale sarebbe il valore atteso di y i stimato? c) Stimare la variaza degli errori d) Calcolare l idice di determiazioe e) Assumedo che ε N(0, σ 2 ), sottoporre a test l ipotesi ulla β 0 al livello di sigificatività del 5% Soluzioe a) Si calcolao la media di x e y x ; ȳ ; 24 7

8 b) e la deviaza di x. Poiché x DEV (x) x 2 i x Possiamo quidi calcolare ˆβ come ii ˆβ x iy i xȳ x2 i x (y i ˆα ˆβx i ) 0 ˆα ȳ ˆβ x E(Y X x + ) E(Y X x) α + β(x + ) (α + βx) β che è stimato da ˆβ La relazioe tra la X e la Y è crescete: se X aumeta di ua uità (ossia di u migliaio di euro) il valor medio di Y aumeta di migliaia di euro. che è stimato da ˆα Ifatti Se x i 0, allora ŷ i ˆα. E(Y X 0) α ŷ i ˆα + ˆβx i. c) Calcoliamo la deviaza di y ˆσ 2 2 ȳ , DEV (y) ê 2 i yi 2 ȳ Utilizzado la formula abbreviata per la deviaza dei residui si ha ( ) ê 2 i yi 2 ȳ 2 ˆβ 2 x 2 i x 2 Si ha quidi che DEV (y) (0.2236) 2 DEV (x) ˆσ

9 d) R 2 24 ê2 i y2 i ȳ e) Si vuole testare l ipotesi H 0 : β 0 verso H : β > 0 ad u livello di sigificatività del 5%. Calcoliamo l errore stadard di ˆβ ES( ˆβ) ˆσ x2 i x Il valore osservato della statistica test t ratio ˆβ ES( ˆβ) La regioe di accettazioe e la regioe critica al livello di sigificatività α 0.05 soo R.C. : ˆβ/ES( ˆβ) > t 2,α.77 R.A. : ˆβ/ES( ˆβ) t 2,α.77 Poiché il valore osservato della statistica test ricade ella regioe critica, si rifiuta l ipotesi ulla co u livello di sigificatività del 5%. Esercizio 4 Si ipotizza ua relazioe iversa fra itesità di u segale e tempo dall emissioe. I particolare la relazioe ipotizzata è: ( ) y i α + β dove y i è l itesità del segale e t i il tempo dall emissioe e β positivo. Idicado co x i il reciproco del tempo dall emissioe, x i /t i, si ottiee la relazioe: t i Y i α + βx i + ε i Soo state rilevate le itesità relative a 8 tempi dall emissioe otteedo le segueti stime: ŷ i x i (0.752) (0.989) L evideza empirica supporta l ipotesi che β > 0 ad u livello di sigificatività α 5%? 9

10 Soluzioe Defiiamo le regioi critica e di accettazioe per il test: R.A. ˆβ/ES( ˆβ) < t 2,α R.C. ˆβ/ES( ˆβ) t 2,α Calcoliamo il t ratio t ratio Poiché t 6, o possiamo rifiutare l ipotesi ulla β 0 cotro l alterativa β 2 > 0. L ipotesi o è quidi supportata dall evideza empirica ad u livello di sigificatività del 5% Esercizio 5 I dati ella seguete tabella mostrao l idice di produttività (X) e lo stipedio mesile (Y ) di u campioe di dipedeti di u azieda: x i y i a) Stimare la relazioe tra la produttività e lo stipedio mesile regrededo liearmete quest ultimo sulla produttività, calcolado ache l R 2. b) Stabilire di quato varia i media il reddito mesile se l idice di produttività cresce di ua uità. c) Prevedere, i base al modello l ammotare dello stipedio mesile per u idice di produttività pari a 2.8. Soluzioe a) Il primo passo da effettuare è calcolare: x i y i x 2 i yi 2 x i y i Tot Tot/

11 A questo puto i coefficieti stimati del modello di regressioe soo dati da: ˆβ (y i ȳ)(x i x) (x x iy i xȳ i x) 2 x2 i x Sfruttado il fatto che la retta di regressioe passa per il baricetro della distribuzioe (calcolare il valore di y per x x ella retta di regressioe stimata), si può facilmete ricavare lo stimatore dell itercetta ˆα come: ˆα ȳ ˆβ x Per determiare l R 2 si comicia co il calcolare: r XY S xy S 2 x Sy ( ) , per cui R 2 r 2 XY b) Se l idice di produttività (X) cresce di ua uità allora lo stipedio mesile medio aumeterà di 7.49 (β) uità. c) Per effettuare ua previsioe, attraverso il modello di regressioe, ossia per calcolare l ammotare dello stipedio mesile per u particolare valore dell idice di produttività ( x + 2.8), basterà sostituire tale valore el modello stimato: ŷ + ˆα + ˆβ x + otteedo i questo caso ŷ

12 Esercizio 6 Soo stati rilevati su 00 studeti del secodo ao i valori assuti dalle segueti variabili Y umero di esami sosteuti e X ore settimaali passate davati alla televisioe. E risultato che: ȳ 4 x 20 S 2 y 2 Sx 2 60 x i y i 68 i Possiamo prevedere quati esami mediamete supera uo studete che passa davati alla televisioe 22 ore alla settimaa? Se si, quati? Soluzioe Per risolvere il problema si devoo stimare i parametri di u modello di regressioe lieare, per cui ˆβ S xy S 2 x i x iy i ȳ x S 2 x Sfruttado il fatto che la retta di regressioe passa per il baricetro della distribuzioe, si può facilmete ricavare lo stimatore dell itercetta ˆα come: ˆα ȳ ˆβ x Quidi uo studete che passa davati alla televisioe 22 ore alla settimaa passerà mediamete ŷ + ˆα + ˆβ esami. Esercizio 7 i segueti Soo stati rilevati i prezzi di u prodotto i ai diversi. I dati soo Ao Prezzo

13 a) Stimare i parametri α, β e σ 2 di u modello di regressioe e calcolare l idice di determiazioe R 2. b) Prevedere il prezzo del prodotto ell ao 70. c) Si verifichi l ipotesi ulla secodo cui β 0 cotro u alterativa bilaterale ad u livello di sigificatività del 0%. Quato vale il p-valore? Soluzioe a) Quidi Ao (X) Prezzo (Y ) x 2 i x i y i yi x ȳ ˆβ x iy i xȳ x2 i x ˆα ȳ ˆβ x ˆσ 2 ê2 i 2 (y i ˆα ˆβx ( ( )) i ) 2 yi 2 ȳ 2 2 ˆβ 2 x 2 i x 2 /3 ( ( ) ) / } {{ } / ê2 i R 2 ê2 i (y i ȳ) ê2 i 2 y2 i ȳ b) Il prezzo previsto del prodotto è dato da ŷ + ˆα + ˆβ c) Sistema di ipotesi: { H 0 : β 0 H : β 0. 3

14 Statistica test: T B β 0 ˆσ2 / (x i x) 2 t 2 Valore osservato della statistica: ˆβ 0 t ratio ˆσ2 /( x 2 i x2 ) /( ) R.A. ˆβ/ES( ˆβ) < t α/2,3 t α/2,3 < ˆβ/ES( ˆβ) < t α/2, Quidi si rifiuta l ipotesi ulla. Il p-valore è defiito come: 2P (t 3 > ) Il valore 4.54 è tale che P (t 3 > ). Il valore 5.84 è tale che P (t 3 > ). Il p-valore è compreso tra e Sulla base del p-valore si accetta l ipotesi ulla al livello di sigificatività 0.0, si rifiuta a livello di sigificatività Esercizio 8 (Moore) Sedici studeti volotari dell Uiversit à dell Ohio hao bevuto u determiato umero di birre, assegato casualmete. I sedici studeti erao sia maschi che femmie, differivao per quato riguarda peso e corporatura e avevao comportameti differeti ei cofroti del bere alcolici. Dopo 30 miuti u ufficiale di polizia ha misurato il tasso alcolico del loro sague (TAS) Studete Birre TAS Studete Birre TAS Suppoedo che siao soddisfatte tutte le ipotesi del modello lieare classico: a) si utilizzi l aalisi di regressioe per stabilire se esiste ua relazioe lieare tra il umero di birre bevute e il tasso alcolico el sague; b) qual è la percetuale di variabilità spiegata dal modello? c) si verifichi l ipotesi che il umero di birre o ha effetto sul livello di alcol el sague; d) si suppoga che u altro studete partecipi alla prova e che beva 5 birre. Qual è la previsioe putuale del livello di alcol el sague per il diciassettesimo studete? 4

15 TAS Birre Soluzioe a) Poiamo x i, y i rispettivamete come umero di birre e tasso alcolico dello studete i esimo. Calcoliamo le medie di x, y la codeviaza di x, y 6 x 4.825, ȳ , (x i x)(y i x) x i y i 6 xȳ e la deviaza di x (x i x) x 2 i x

16 e stimiamo la retta di regressioe Y i α + βx i + ε i,... i, 2,... 6 Otteiamo ˆβ 6 (x i x)(y i x) 6 (x.302 i x) ˆα ȳ ˆβ x b) Calcoliamo la deviaza spiegata 6 (ŷ i ȳ) ( ) 2 + +( ) 2 +( 0.046) e la deviaza totale (deviaza di y, si precede come per la deviaza di x) e quidi 6 (y i ȳ) R Possimo calcolare l idice di determiazioe usado la deviaza dei residui, che è data da 6 (y i ŷ i ) 2 Ifie è: 6 6 (y i ˆα + ˆβx i ) 2 (0.0229) 2 + (0.0068) (0.0047) 2 + ( ) ê 2 i dev(y) ˆβ 2 dev(x) R c) La ostra ipotesi può essere formalizzata come segue: H 0 : β 0 verso H : β > 0 Calcoliamo l errore stadard di ˆβ, che idichiamo co ES( ˆβ) 6 ˆσ 2 ê2 i , ES( 4 ˆβ) ˆσ 2 (x i x)

17 Abbiamo quidi R.C. : ˆβ/ES( ˆβ) > t 2,α ˆβ 0.08 t ratio ES( ˆβ) Poiché t 4,α per il livello di sigificatività α 0.005, rifiutiamo l ipotesi ulla, cioè β sigificativameto diverso da zero. d) Il livello di alcol el sague prodotto da 5 lattie per il diciassettesimo studete è dato da yˆ Esercizio 9 Due ecoomisti, Paola e Roberto, hao raccolto 50 osservazioi auali del tasso di disoccupazioe y e del tasso di iflazioe x (dati espressi i percetuale) e desiderao studiare la relazioe tra queste due variabili. Paola e Roberto hao elaborato le segueti statistiche: y i 2.; yi ; x i 5.08; x 2 i x i y i 6.37; a) Ricavare, col metodo dei miimi quadrati, ua stima dei parametri del modello di regressioe co variabile risposta y e variabile esplicativa x. La stima del coefficiete β della retta di regressioe dei miimi quadrati è pari a ˆβ S xy S 2 x metre la stima dell itercetta è ˆα ȳ ˆβ x dove, come d uso, x e ȳ idicao le medie dei valori rilevati di x e y, S 2 x e S 2 y le rispettive variaze campioarie, S xy la covariaza campioaria. 7

18 b) Qual è la percetuale della variabilità del tasso di disoccupazioe spiegata dal tasso di iflazioe? Possiamo calcolare l R 2 co la seguete formula R 2 ˆβ 2 S 2 x S 2 y Dal mometo che R , abbiamo che il 59% della variabilità del tasso di disoccupazioe è spiegata dalla relazioe lieare co il tasso di iflazioe. c) Sulla base del modello stimato, quale valore del tasso di disoccupazioe ci aspettiamo i corrispodeza di u tasso di iflazioe pari al 2.5%? La stima del valore atteso del tasso di disoccupazioe i corrispodeza di u tasso di iflazioe pari al 3% sarà pari a ˆα + ˆβ % dato che etrambe le variabili soo espresse i percetuale. d) Paola ritiee che se il tasso di iflazioe aumeta di u puto, è lecito attedersi che il tasso di disoccupazioe avrà u decremeto circa pari a 0.6 puti. Roberto o è d accordo e sostiee che se il tasso di iflazioe decremeta di u puto, l icremeto atteso del tasso di disoccupazioe sarà itoro ai 0.4 puti. Formalizza sia l opiioe di Paola che quella di Roberto ei termii di u ipotesi ulla sul valore icogito del coefficiete agolare β. Dato che abbiamo assuto che la relazioe tra il tasso di disoccupazioe e il tasso di iflazioe sia lieare, si ottiee facilmete che E( y) β x, dove y e x idicao, rispettivamete, le variazioi del tasso di disoccupazioe e del tasso di iflazioe. Ne segue che l ipotesi ulla di Paola è H 0 : β 0.6 metre quella di Roberto è H 0 : β 0.4 8

19 e) Vogliamo cofrotare sia l ipotesi ulla di Paola che quella di Roberto cotro l ipotesi alterativa che il valore di β sia diverso da quello che oguo di loro ha assuto come vero. I base ai rispettivi test di verifica delle ipotesi, possiamo accettare almeo ua delle due ipotesi ad u livello di sigificatività del 5%? Per calcolare il valore della statistica test è ecessario i primo luogo calcolare lo stimatore corretto delle variaza degli errori. Avedo già calcolato l idice R 2, possiamo fare uso della seguete formula ˆσ 2 2 ( R2 )Sy 2 50 ( 0.59) Possiamo duque calcolare l errore stadard di ˆβ ES( ˆβ) ˆσ S 2 x Il valore della statistica test per l ipotesi ulla di Paola è allora pari a t P aola ˆβ ES( ˆβ) , metre el caso dell ipotesi ulla di Roberto si ottiee t Roberto ˆβ ES( ˆβ) Teedo presete che etrambe le statistiche test hao ua distribuzioe t(48) sotto le rispettive ipotesi ulle, cocludiamo, i base all opportuo valore critico desuto dalle tavole, che l ipotesi ulla di Roberto è rifiutata al 5%, a differeza di quella di Paola. 9