Rendita perpetua con rate crescenti in progressione aritmetica

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1 edita perpetua co rate cresceti i progressioe aritmetica iprediamo l'esempio visto ella scorsa lezioe di redita perpetua co rate cresceti i progressioe arimetica: Questa redita può ache essere vista come la uioe di ifiite redite perpetue differite, ciascua di rata pari a : edita perpetua co rate cresceti i progressioe aritmetica Il valore di ogua di queste redite ell'istate precedete al pagameto della prima rata è pari a /i; pertato la redita iiziale è equivalete (ha lo stesso valore attuale) di ua redita perpetua immediata aticipata co rata pari a /i; per quato visto la volta scorsa, il suo valore attuale è pari a 1 1 i (1 ) i i 2 i che coicide co il valore trovato l'altra volta. U ragioameto puramete fiaziario ci cosete di otteere la stessa risposta del ragioameto basato sulla derivazioe termie a termie della serie geometrica. 1

2 ostituzioe di u capitale L'operazioe fiaziaria di costituzioe di u capitale cosiste i ua serie di versameti periodici fializzati ad avere u certo motate fiale prefissato. Il caso più semplici è quello i cui i versameti soo costati ed equiitervallati; vediamo u esempio. Voglio costituire u capitale di Euro tra 10 ai, mediate versameti auali posticipati su u fodo che rede il 5% auo, seza rischio. A quato ammota la rata che devo versare ogi ao? ome cambierebbe se i versameti fossero semestrali, lasciado ivariato il tasso attivo a 5% auo? Evidetemete si deve avere M M s, i, da cui. Nel ostro caso 10 e i 5%, s, i ostituzioe di u capitale 10 u quidi s, i 12,578 da cui i Euro. 12,578 Se ivece i versamet i fossero semestrali, si ha i 2 (1.05) ,47% da cui 20 u s, i 25,468 da cui i Euro. 25,468 2

3 Piai di ammortameto Il problema che cosideriamo è quello del rimborso di u debito; l'esempio tipico è quello di u mutuo bacario. Oltre al rimborso del debito iiziale, il debitore deve corrispodere al prestate gli iteressi passivi sul suo debito; questo può essere fatto co varie modalità. Le più semplici soo le segueti: rimborso fiale del capitale iiziale e degli iteressi (a questa appartegoo ad esempio gli ZB, come i BOT o i TZ) rimborso fiale del capitale iiziale co pagameto periodico degli iteressi (a questa categoria appartegoo ad esempio i bod che pagao cedole itermedie). Piai di ammortameto Normalmete però il debito iiziale viee rimborsato gradualmete. Questa procedura prede il ome di ammortameto. Piao di ammortameto è la specificazioe esatta di date e importi che realizzao l'ammortameto. Itroduciamo le segueti otazioi: =debito iiziale da ammortizzare = rata -esima = quota capitale -esima = parte della rata destiata alla dimiuzioe del debito I = quota iteressi = parte della rata destiata al pagameto degli iteressi passivi Si ha sempre = + I : ogi rata si compoe di quota capitale e quota iteressi D = debito residuo dopo il versameto della rata -esima E = debito residuo dopo il versameto della rata -esima = umero di rate 3

4 Piai di ammortameto Le segueti relazioi devoo essere verificate i ogi piao di ammortameto: D E D 0 0, D 0, E E ; ; 0; I id 1. Affiché il rimborso del debito iiziale sia completo, deve valere 1 che prede il ome di codizioe di chiusura elemetare del piao di ammortameto. Piai di ammortameto Si può dimostrare che la codizioe di chiusura elemetare è equivalete alla cosiddetta codizioe di chiusura fiaziaria: 1 (1 i) che esprime il fatto che il valore attuale delle rate deve essere pari al debito iiziale. Le due codizioi di chiusura soo equivaleti. Ua volta fissate le quote capitale, che abbiao somma pari al debito iiziale, il piao di ammortameto è completamete determiato. Vediamo a titolo di esempio la costruzioe di u ammortameto di u debito di Euro i 5 rate, al tasso passivo del 10%, co quote capitale pari rispettivamete a 5000, 0, 5000, 10000, 5000 Euro. Il piao di ammortameto è ua tabella i cui per ciascua scadeza idichiamo la rata, la quota capitale, la quota iteresse, il debito residuo: 4

5 Piai di ammortameto Piai di ammortameto i Excel 5

6 Piai di ammortameto i Excel Piai di ammortameto i Excel 6

7 Piai di ammortameto i Excel Piai di ammortameto i Excel 7

8 Piai di ammortameto i Excel Piai di ammortameto i Excel 8

9 Piai di ammortameto i Excel Piai di ammortameto i Excel 9

10 10 Piai di ammortameto i Excel Ammortameto italiao Nell' esempio precedete le quote capitale erao state assegate i modo arbitrario. I pratica ci soo diversi metodi. Nell'ammortameto italiao le quote capitale soo costati: 1). ( 1) (, ottiee si da cui, 1 1 i I i id I E D E j

11 Ammortameto italiao Ne segue che le quote iteressi soo decresceti i progressioe aritmetica, e dato che le quote capitale soo costati ache le rate soo decresceti i progressioe aritmetica: I 1 1 i I, i. ome esempio, ella slide sucessiva riportiamo acora l'ammortameto di u debito di Euro i 5 rate aue al tasso passivo del 10%; se utilizziamo il metodo italiao le quote capitale soo tutte pari a Ammortameto italiao 11

12 Ammortameto fracese Nell'ammortameto fracese (il metodo più utilizzato) soo le rate ad essere costati: ==costate. Esse costituiscoo pertato ua redita periodica, e dalla codizioe di chiusura fiaziaria il loro valore attuale deve essere pari al debito iiziale: 1 a (1 i), i I. Dato che id 1 i( D 1, cioè 1 (1 i) D 1 I 1 1 id ) 1 1, da cui cioè, da cui si ha Nell'ammortameto fracese le quote capitale formao ua progressioe geometrica di ragioe 1+i. Ammortameto fracese I ogi tipo di ammortameto, l'ultima quota capitale deve rimborsare completamete il debito: D 1 I da cui id 1 (1 i) Quidi ell'ammortameto fracese le quote capitale soo date da, i (1 i) Nella prossima slide vediamo l ammortameto precedete realizzato com metodo fracese., i geerale. (1 i)

13 Ammortameto fracese Ammortameto fracese 13

14 Ammortameto fracese Ammortameto fracese 14

15 Ammortameto fracese Ammortameto americao Ifie, l ammortameto americao prevede la restituzoe del capitale iiziale iteramete a scadeza; durate la vita del mutuo vegoo pagate solo le quote iteressi. Il capitale da restituire a scadeza viee costituito attraverso versameti su u apposito fodo (è u esempio di costituzioe di u capitale) remuerato ad u tasso attivo j di solito iferiore a i. L esborso complessivo al tempo è dato da I Q, dove I i e Q Se i=j l esborso complessvo è pari a quello dell ammortameto fracese; se i è maggiore di j (tasso passivo maggiore di quello attivo allora l esborso è sempre più grade. s, j. 15