ESERCIZI SULLE SERIE

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1 ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) ) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti serie: ) x ) x x I risultati soo a pagia, le risoluzioi a partire da pagia.

2 RISPOSTE CONVERGENTI:,,, 5, 6, 7, 9, 0 DIVERGENTI: 4, 8 ASSOLUTAMENTE CONVERGENTI:,, 5 SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI ) La serie data o è a termii di sego costate perchè cos 4 cambia di sego al variare di. Cosideriamo allora la seguete serie: ) cos 4 + Osserviamo che valgoo le maggiorazioi: cos 4 + < (perché: cos 4 metre + <.) Dal teorema del cofroto per le serie, otteiamo che *) coverge, duque la serie di parteza è covergete assolutamete, perció covergete, per il criterio della covergeza assoluta. ) Si tratta di ua serie a termii di sego costate, ifatti 0 < < π, N, per cui si > 0. Vale ache si <, (per la maggiorazioe si x x, co x ( π, π ).) Possiamo duque applicare il criterio del cofroto per le serie a termii di sego costate maggiorado la serie data el modo che segue: si < = Osserviamo che ( ) + è il termie geerale della serie geometrica =0 x di ragioe x = ( ) <, che come è oto coverge. Quidi, per il criterio del cofroto la serie data coverge. ) Si tratta di ua serie a termii positivi. Applichiamo il criterio del rapporto. = + + (+)! (+) (+) ()! = + ( ). ( + )! ( + ) (+) ()! = ( ) = + ( + )( + ) ( + ) ( + ) = [( ) ] [ ] = = 4 ( ) + + = 4 e <. Quidi la serie risulta covergete. 4) Osserviamo che il termie geerale della serie o è ifiitesimo, o è duque verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie. Poiché

3 si tratta di serie a termii positivi questa divergerà a +. Verifichiamo duque che il termie geerale o tede a zero: + ( ) = + Perché se + a = ± allora: + [ ( + ) ] = e ( + ) a = e a 5) Si tratta di ua serie a termii di sego altero, (serie altera) possiamo applicare il criterio di covergeza relativo a questo tipo di serie deducedoe la sua covergeza, ifatti si verifica che: i)la successioe a = + + è decrescete ii) + a = 0 La verifica di i) è semplice. Dimostriamo ii): + + == = 0 Perché: + = 0 e + = 0, + = 0. Possiamo arrivare a dimostrare che la serie coverge ache utilizzado il criterio della covergeza assoluta, ifatti: ( ) = + + Si dimostra che quest ultima coverge, utilizzado il criterio della radice eesima, ifatti: = + + = + < (Il termie sotto la radice eesima tede a ). 6) Si dimostra facilmete che la serie è covergete applicado il criterio delle serie altere, ifatti: a) la successioe a = + ++ b) è decrescete; = 0, perché: + == ( + ) ( + + ) = + = 0 7) Possiamo dimostrare che la serie coverge applicado il criterio del cofroto perchè si tratta di ua serie a termii positivi. A tale scopo utilizziamo la maggiorazioe: log x < x, i questo modo:

4 log = log( 4 ) 4 = 4 log 4 < 4 4 (dove x = 4 ). Applichiamo questo risultato per maggiorare il termie geerale della serie data: ( ) ( ) log 4 4 < = = 6 = 6 La successioe a = 6 è il termie geerale di ua serie armoica co espoete p = >, che risulta duque covergete. 8) La serie è divergete perché è a termii positivi ed il termie geerale o tede a zero, cioé o è verificata la codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie, ifatti: ( ) ( ( ) (( ) = )) + + ( = ( )) + = ( ) + ( = ( ) + == + ) ( + ) = e. + (per l ultimo passaggio vedi lo svolgimeto dell esercizio N. 4). 9) I termii della serie data soo o egativi. Possiamo applicare il critrio del cofroto, utilizzado la maggiorazioe!, e la proprietá di mootoia della fuzioe logaritmo: x < x log x < log x, otteiamo: (vedi esercizio N. 7) La successioe: a = log! = log( ) log = log = = è il termie geerale di ua serie armoica co p = >, che quidi è covergete. 0) La serie è a termii positivi, si utilizza il criterio del cofroto. Ricordiamo la diseguagliaza: (!), che equivale alla seguete:.! Quidi! = ricordiamo che i logaritmi che cosideriamo soo i base e: log = log e 4

5 Si coclude ello stesso modo dell esercizio N. 9. ) Determiiamo per quali valori di x R la serie coverge assolutamete, cioé studiamo la atura della serie: x Questa è a termii positivi, possiamo applicare il criterio della radice eesima: + x = x La serie coverge assolutamete, quidi coverge (criterio della covergeza assoluta) per i valori di x tali che x <, ossia: x <. Cosideriamo ora i valori del parametro x. x = La serie diveta: x = che è ua serie armoica divergete (p = ). x > I questo caso si tratta di ua serie a termii positivi co il termie geerale che o tede a zero. Quidi la serie risulta divergete. Ifatti + x = + ( x ) = + a (ricordare il ite otevole + x = La serie diveta: = +, per a >. ( ) Coverge per il criterio delle serie altere perchè a =, risulta decrescete e ifiitesima. x < Poiché x < 0 possiamo scrivere (per defiizioe di valore assoluto): x = x, duque :x = ( x ) = ( x ) = ( ) x. Sostituedo ella serie: ( ) x I questo caso il termie geerale o è ifiitesimo (vedi sopra), poiché la serie è a termii di sego altero, possiamo cocludere che è idetermiata. 5

6 ) Determiiamo per quali valori del parametro reale x la serie coverge assolutamete, cioé cosideriamo la serie: x x. Applichiamo il criterio della radice eesima: x x = x + x x = x x + Per i valori di x tali che x < la serie risulta assolutamete covergete e duque covergete. Cosideriamo i valori di x tali che: x >. x = La serie diveta: = = +. Perché è a termii positivi ed il termie geerale o è ifiitesimo. discorso el caso seguete: x > Stesso x = Allora: x + x x = + ( ) = ( ) Coverge per il criterio delle serie alterate. x < Ragioado come ell esercizio precedete: x < 0 implica x = x. Sostituedo ell espressioe della serie: x ( x ) == ( ) x x La serie otteuta ha i termii a sego altero, ma o tedoo a zero, duque risulta idetermiata (vedi ache esercizio precedete). 6