1 Successioni Limite di una successione Serie La serie armonica La serie geometrica... 6
|
|
- Alessandro Falco
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe Serie 3. La serie armoica La serie geometrica Criteri per serie a termii o egativi 7 3. Criteri del cofroto Criterio del rapporto Criterio della radice Criteri per serie a termii di sego o costate 5 Soluzioi degli esercizi 3 Successioi Ua successioe reale è ua fuzioe defiita i N isieme dei umeri aturali) a valori i R. Idicherò quasi sempre ua successioe scrivedo a, dove N e a appartiee ad R. Qualche volta userò la otazioe classica f). Può succedere che ua successioe o sia defiita su tutti i umeri aturali, besì i u sottoisieme di N, come ad esempio sui umeri aturali maggiori o uguali di u certo 0 N. Ad esempio la successioe l ) è defiita N, 3. Chiamerò allora i geerale successioe ua fuzioe defiita i N, ad eccezioe al più di u umero fiito di puti. Osservazioe Data ua fuzioe di variabile reale f : a,+ ) R, co a 0, si può otteere da questa ua successioe cosiderado la restrizioe di f all isieme N, o ad u suo sottoisieme. Così ad esempio la successioe precedete l ) si può vedere come la restrizioe ad N \ {,} della fuzioe f :,+ ) R defiita da fx) = lx ). Ua proprietà importate delle successioi può essere la mootoia. Ua successioe a è crescete se o decrescete se si ha a + a ). La successioe è ivece decrescete se o crescete se si ha a + a ). si ha a + > a equivale a dire che,m : < m = a < a m ) si ha a + < a equivale a dire che,m : < m = a > a m ) Osservazioe Ua successioe può o essere crescete, ma esserlo da u certo puto i poi. I questo caso diremo che la successioe è defiitivamete crescete modo di dire già usato tra l altro co gli itegrali geeralizzati). Lo stesso dicasi per gli altri casi di mootoia. Se la successioe è defiita i u sottoisieme di N, al scrittura va itesa el seso per ogi i cui è defiita la successioe. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
2 SUCCESSIONI. Limite di ua successioe Particolarmete importate è il cocetto di ite di ua successioe. L uico caso sigificativo di ite di ua successioe è il ite per +. La defiizioe è ovviamete simile a quella del ite di ua fuzioe reale per x che tede a +. Data ua successioe a, si scrive + a = l l R) se ε > 0 0 : per ogi 0 si ha a l < ε. e Ivece si scrive a = + se ε > 0 0 : per ogi 0 si ha a > ε + a = se ε > 0 0 : per ogi 0 si ha a < ε. + Ovviamete, come per le altre fuzioi, il + a può o esistere. Ache per le successioivale il risultato, giàvisto per le fuzioi di variabilereale, per cui sela fuzioe è mootoa allora il ite esiste. Vale ifatti il seguete Teorema di esisteza del ite per successioi mootoe) Se la successioe a è mootoa crescete o o decrescete), allora il a esiste ed è uguale al sup{a }. Tale ite risulta fiito se la successioe è itata + N superiormete, risulta + i caso cotrario. Aalogamete, se la successioe a è mootoa decrescete o o crescete), allora il a esiste ed è + uguale all if {a }. Il ite è fiito se la successioe è itata iferiormete, è i caso cotrario. N Si può dimostrare il seguete risultato, facilmete ituibile. Proposizioe Data ua fuzioe f : 0,+ ) R, se questa ha ite per x +, allora ache la successioe a = f) ha ite per + e i due iti coicidoo. Esempio Cosideriamo la successioe a = e il ite + Dato che possiamo cocludere che ache + + =. Esempio Possiamo dire che per +. + l + +. x x + x+ =, lx vale zero, dato che x + x = 0. Quidi possiamo scrivere l = o), Esempio Ricordado il ite fodametale, si può cocludere che la successioe defiita da a = + ) ha ite per + e + = e. + ) Osservazioe Si oti che o vale il viceversa dell ultima proposizioe: o è vero cioè che, se la successioe a = f) ha ite, allora ache la fuzioe di variabile reale defiita da x fx) ha ite. Si cosideri ad esempio la successioe. 3 Essa ovviamete vale 0 per ogi, quidi ha ite 0 per +. La fuzioe x x x o ha ivece ite per x +. 4 Quato detto ella proposizioe ha importaza el calcolo del ite di ua successioe. Può essere comodo cioè, el calcolo del ite di ua successioe, cosiderare il ite della fuzioe corrispodete. Questo perché ci soo Ricordo che ua successioe, come ua qualuque fuzioe, è itata superiormete se lo è la sua immagie. Nel ostro caso quidi la successioe a è itata superiormete se è è itato superiormete l isieme {a : N}. 3 Ricordo che il simbolo... sta ad idicare la parte itera di... 4 Lo abbiamo visto tra gli esempi di o esisteza del ite. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
3 SERIE 3 metodi molto poteti di calcolo del ite di ua fuzioe di variabile reale che o soo applicabili al calcolo del ite di ua successioe. 5 Defiizioe Se a è ua successioe, chiamiamo sottosuccessioe di questa ua qualuque sua restrizioe, co l uica richiesta che quest ultima sia defiita su ifiiti aturali. Data cioè ua successioe a defiita i N, se A è u sottoisieme ifiito di N, si chiama sottosuccessioe la successioe m a m defiita i A. Esempio Se cosideriamo la successioe ), possiamo costruire la sua sottosuccessioe defiita sui umeri aturali pari. Si tratta ovviamete di ua successioe che assume sempre il valore. La sottosuccessioe defiita ivece sui umeri aturali dispari assume sempre il valore. Abbiamo visto poco fa che, se ua fuzioe ha ite all ifiito, allora ha lo stesso ite la successioe ad essa associata. È facile allora ituire che ache ua sottosuccessioe ha lo stesso ite della successioe da cui proviee. Meglio: se ua successioe ha ite, allora ogi sua sottosuccessioe ha lo stesso ite. Può succedere, come el caso della sottosuccessioe di ) defiita sugli pari, che la sottosuccessioe abbia ite, metre la successioe o lo ha. 6 Attezioe. Per provare che ua successioe ha ite o basta quidi calcolare il ite di ua sottosuccessioe. Per provare ivece che ua successioe o ha ite si può cercare di dimostrare che ci soo due sue diverse sottosuccessioi che hao iti diversi. Così, el caso di ), essa o ha ite, dato che la sottosuccessioe sugli pari vale sempre, e quidi ha ite, metre la sottosuccessioe sugli dispari vale sempre, e quidi ha ite. Esercizio. a) c) Serie Si calcolio i iti idicati. +3l 4 +5l b) d) + + l + ) Il cocetto di serie cerca di rispodere alla domada: come ci comportiamo se dobbiamo sommare ifiiti termii? 7 Possiamo ragioare itato così: suppoiamo che gli ifiiti termii da sommare siao i valori di ua certa successioe. Defiizioe Data ua successioe a, si dice somma parziale -esima di a la uova successioe defiita da s = a +a +...+a, 8 Osservazioe I primi termii della successioe s soo quidi s = a, s = a +a, s 3 = a +a +a 3... Osservazioe Data ua successioe a, resta allora ad essa associata ua uova successioe, la successioe delle somme parziali di questa, cioè s. Defiizioe Si dice serie associata alla successioe a la successioe s delle sue somme parziali. La successioe a viee detta il termie geerale della serie. Defiizioe Si dice che la serie di termie geerale a ) coverge se la successioe s delle somme parziali di a ha ite fiito, si dice che la serie diverge se s ha ite ifiito e si dice ifie che la serie è idetermiata se o esiste il ite di s. Co la dicitura studiare il carattere di ua serie si itede stabilire se la serie coverge, diverge o è idetermiata. Osservazioe Se la serie coverge, il + s si dice la somma della serie aziché il ite della serie, come sarebbe più appropriato). Se la serie coverge possiamo dire, i modo poco rigoroso ma efficace, che la somma della serie è la somma degli ifiiti termii da cui siamo partiti. 5 A titolo di esempio, il teorema di De l Hôpital per il calcolo dei iti, che abbiamo visto i precedeza. Come lo studete ricorderà, per l applicazioe del teorema è ecessario che le fuzioi siao derivabili: le successioi o soo ivece fuzioi derivabili perché?). 6 Riuciado al formalismo di ua dimostrazioe rigorosa, si capisce però facilmete che la successioe ) o può avere ite, dato che passa pereemete dal valore al valore e viceversa. 7 Se state pesado che la somma di ifiiti termii debba ecessariamete essere ifiita tra breve vedremo che questo o è vero. 8 Chiaramete, se la successioe a è defiita per 0, ache s è defiita per 0. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
4 SERIE 4 La serie associata alla successioe a viee usualmete idicata co la scrittura a oppure co a +a +...+a Nel seguito, quado o c è il rischio di fare cofusioe, aziché quado possibile, aziché far partire da lo si fa partire da 0 e si scrive quidi da u 0 >. Esempi Cosideriamo la serie cioè la serie di termie geerale a =. La sua somma parziale -esima è, s = = +). Questa serie quidi diverge, dato che + s = + +) = +. Si chiama serie di Megoli la serie +) = , cioè la serie di termie geerale a = +). La sua somma parziale -esima è Pertato s = = ) ) + ) = + a scriverò più semplicemete a. Spesso, ) =0 ) + si oti che quasi tutti i termii si semplificao). s = ) =, e quidi la serie di Megoli coverge e la sua somma è. Cosideriamo la serie + =0 + ). Risulta s = + )+ 3 )+ 4 3) ) = + ache qui quasi tutti i termii si semplificao). La serie diverge i quato + s = + + = +. a. A volte può ache partire Osservazioe Nei tre esempi abbiamo potuto stabilire il carattere della serie e la sua somma quado essa è covergete) utilizzado soltato la defiizioe, che al mometo è l uico strumeto a ostra disposizioe. Faccio otare che questo è per certi versi aalogo al calcolo di u itegrale geeralizzato a + attraverso la defiizioe, cioè co il calcolo di ua primitiva: trovare ua primitiva è paragoabile a trovare l espressioe geerale della somma parziale s. Forse si ituisce che questo o è sempre così facile come egli esempi proposti. Tra breve impareremo a studiare il carattere di ua serie ache quado o si può otteere la geerica somma parziale e questo è paragoabile allo studio dell itegrale ache seza il calcolo della primitiva). A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
5 SERIE 5 Esercizio. Si scriva l espressioe del termie geerale delle segueti serie: a) b) c) d) Uo dei pochi risultati del tutto geerali sulle serie è il seguete importate Teorema codizioe ecessaria di covergeza) Sia a ua successioe. Se la serie a coverge, allora + a = 0. Osservazioe La dimostrazioe di questo risultato è immediata. Se s è la somma della serie, per ipotesi u umero reale, si ha a = + s s ) 9 + = s + = s s = 0. + s Osservazioi Questo risultato forisce ua codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie. Può essere utile quidi o tato per stabilire che ua serie coverge, quato per stabilire che ua serie o coverge. 0 Ad esempio, si cosideri la serie. Dato che il ite del termie geerale è, la serie o coverge. + Attezioe che la codizioe del teorema o è sufficiete, cioè o basta provare che il termie geerale tede a zero per provare che ua serie coverge. Esempio U esempio che prova che il tedere a zero del termie geerale o è sufficiete per la covergeza della ) serie è il seguete: si cosideri la serie + già icotrata poco fa). Per il termie geerale si ha =0 + = + ) ++ ) ++ = e questo tede a zero per + ma, come visto prima, la serie diverge. ++ Esempio U altro esempio di serie o covergete co termie geerale che tede a zero è la serie Possiamo scrivere Quidi la successioe delle somme parziali è s = l+l + ) ) 3 = l+l +l l + ) = l + = l+) l. +l 4 3 ) + 3 ) +...+l +...+l + ) + = l+l3 l+l4 l3+...+l+) l = l+). ) l + ). Pertato s = + zero. 9 Segue dal fatto che + l+) = +, e quidi la serie diverge. Il termie geerale della serie però tede a s = a +...+a } {{ } +a = s +a e quidi a = s s. s 0 La covergeza è ell ipotesi del teorema e quidi esso o mi può cosetire di provare che ua serie coverge. Ivece mi può servire per provare che o coverge, dato che, se o soo vere le ecessarie cosegueze della covergeza della serie, la serie o può covergere. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
6 SERIE 6. La serie armoica Ua serie molto importate è la serie = detta serie armoica. Si può dimostrare o sarebbe facile farlo co la sola defiizioe) che la serie armoica diverge. Si chiama ioltre serie armoica geeralizzata la serie, co α > 0. α La covergeza della serie armoica geeralizzata dipede, come è facile ituire, dal valore di α. Si può dimostrare che la serie armoica geeralizzata coverge se α > e diverge se 0 < α <. Si oti che gli altri casi cioè α 0) o soo sigificativi dato il termie geerale o tede a zero. E si oti ioltre l aalogia dei risultati sulla covergeza della serie armoica co quelli riguardati la covergeza dell itegrale geeralizzato +. La serie geometrica Altra serie estremamete importate è la serie =0 r, co r R. x α dx. Essa viee detta serie geometrica di ragioe r. Possiamo studiare i dettaglio la covergeza della serie geometrica. Azitutto due casi semplici: se r = 0 ovviamete la serie coverge e ha per somma 0; se r = la serie diverge i quato la somma parziale -esima è s = + e pertato + s = +. Possiamo poi otteere la somma parziale -esima i geerale co r 0 e r ), i quato si ha e, moltiplicado ambo i membri per r r 0), si ottiee Pertato s = +r +r +r r r s = r+r+r +...+r ) = r+r +r r +r + aggiugo e tolgo ) = +r+r +...+r } {{ +r } + s = s +r +. r)s = r + e quidi r ) s = r+. r Dispoedo ora dell espressioe della somma parziale, possiamo cocludere i tutti i casi o acora risolti. Se r <, abbiamo che r + 0 per +, e quidi + s = r. Se r >, + s = +. Se r, si può vedere co qualche coto che il ite di s o esiste e quidi che la serie è idetermiata. Riassumedo, per la serie geometrica =0 r si hao i segueti risultati: Si potrebbe obiettare rigorosamete) che, se r = 0, o può partire da 0 ma deve partire da. Il umeratore tede a e il deomiatore è u umero egativo dato che r >. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
7 3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 7 la serie coverge se r < e ha per somma r ; la serie diverge a + ) se r ; la serie è idetermiata se r. Esempio Determiiamo la somma della serie =0. Possiamo riscriverla come =0 + o ache come ). Si tratta quidi di ua serie geometrica di ragioe r =. Essa è covergete, dato che la ragioe è i valore assoluto miore di. Co quato trovato poco fa, possiamo cocludere che la somma della serie è =0 =. Osservazioe La serie geometrica iizia co = 0. Se ivece abbiamo ua serie geometrica covergete che, aziché iiziare co = 0 iizia co =, basta fare così aggiugo e tolgo il termie macate r 0 ): Quidi, ad esempio, la serie r = =0 ha per somma r r 0 = r = r r. Più i geerale la somma di ua serie geometrica covergete che iizia co = p è =p r = =0 p r =0 =. r = r rp r = rp r. Osservazioe Riflettedo sulla serie armoica geeralizzata e sulla serie geometrica, è chiaro a questo puto u fatto del tutto geerale: la covergeza di ua serie dipede da quato rapidamete il suo termie geerale tede a zero. I altre parole ua serie coverge se il suo termie geerale tede a zero abbastaza rapidamete. Nel caso ad esempio della serie armoica geeralizzata + =, abbastaza rapidamete vuol dire co α >. Vedremo più α avati che la serie armoica è i certo qual modo uo spartiacque tra le serie covergeti e quelle divergeti. Esercizio. Esercizio.3 Esercizio.4 Si dica se la serie Si dica se la serie Si dica se la serie =0 = 5 coverge e, i caso affermativo, se e calcoli la somma. / coverge e, i caso affermativo, se e calcoli la somma. ) 3 Criteri per serie a termii o egativi e coverge e, i caso affermativo, se e calcoli la somma. Le serie co termie geerale o egativo, cioè le serie del tipo + =0 a, co a 0 per ogi, o possoo essere idetermiate quidi o covergoo o divergoo). Ifatti i questo caso la successioe delle somme parziali è o decrescete e quidi ha ite, 3 che potrà essere fiito e o egativo) o ifiito. Se il termie geerale o tede a zero, sicuramete la serie diverge. 4 Vediamo qui alcui criteri di covergeza per serie a termii o egativi. 3 Per il teorema di esisteza del ite per successioi mootoe. 4 Ifatti, se il termie geerale o tede a zero, la serie o può covergere e, o potedo essere idetermiata, ecessariamete diverge. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
8 3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 8 3. Criteri del cofroto Proposizioe Criterio del cofroto) Siao a e b due successioi tali che 0 a b per ogi. Se b coverge, allora a coverge; se a diverge, allora b diverge. 5 Osservazioe Quado valgoo le ipotesi del criterio del cofroto si dice che la serie a è miorate della serie b o che la secoda è maggiorate della prima). Il criterio è applicabile ache se a è defiitivamete miorate di b, e cioè se a b vale da u certo 0 i poi. Esempi Cosideriamo la serie. Si tratta di u caso particolare di serie armoica geeralizzata. Sappiamo già, co quato detto i precedeza, che essa coverge. Ora lo dimostriamo di uovo, utilizzado il criterio del cofroto. Si ha 6,. ) La serie + = ) = + coverge ache la serie data. +) coverge è la serie di Megoli) e quidi, per il criterio del cofroto, Chiaramete a questo puto possiamo dire, sempre per il criterio del cofroto, che coverge ache ua qualuque serie del tipo α, co α > : ifatti, se α >, allora < α. Dal fatto che la serie armoica + diverge possiamo dedurre che divergoo tutte le serie del tipo α co 0 < α < : ifatti da α, vera per ogi, si ha che + è maggiorate della serie armoica e quidi, α per il criterio del cofroto, diverge. Osservazioe Come cosegueza del criterio del cofroto abbiamo il risultato che segue. Siao a e b due a successioi a termii positivi e sia = 0 quidi possiamo ache dire che a = ob ) per + ). 7 + b i) Se b coverge, allora ache a coverge; ii) Se a diverge, allora ache b diverge. Possiamo stabilire ora due utili criteri di cofroto co successioi ifiitesime campioe: se a è ua successioe positiva, allora se per + a = o α ) co α >, allora la serie a coverge; se per + = oa ), allora la serie a diverge. Esempio La serie Esempio La serie = = l coverge perché l = o ) per +. l diverge perché = o l) per +. Altra sostaziale cosegueza del criterio del cofroto è la seguete utilissima 5 Si oti acora la somigliaza di questo criterio co quelli di cofroto per gli itegrali geeralizzati. 6 Ifatti ) =, da cui, passado ai reciproci, si ricava la disuguagliaza scritta. 7 a Si oti che, se = 0, dalla defiizioe di ite segue che, fissato ε =, abbiamo che esiste u 0 tale che + b e quidi a è defiitivamete miore di b. 0 = a b <, cioè a < b, A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
9 3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 9 Proposizioe Criterio del cofroto asitotico) Siao a e b due successioi a termii positivi. Se a e b soo a equivaleti per +, cioè se =, allora le due serie + b a e b hao lo stesso carattere. Osservazioe I realtà per garatire la tesi è sufficiete che il ite di a /b sia fiito e diverso da zero, 8 dato che la covergeza o dipede da ua costate moltiplicativa. + + Esempio Cosideriamo la serie. Possiamo scrivere + + =, per +. Quidi la serie data è come la serie armoica e cioè diverge. Esempio Cosideriamo la serie è equivalete a 3 = covergete, e quidi coverge Ricordado che 3 = o ) e = o3 ), per +, allora ). 3 Quidi la serie data ha lo stesso carattere della serie geometrica di ragioe 3 <, che è Osservazioe I vari criteri di cofroto per le serie a termii o egativi soo i tutto e per tutto aaloghi a quelli visti per gli itegrali geeralizzati a +. Esercizio 3. Si studi carattere delle segueti serie, usado i criteri del cofroto: a) c) + + +) b) d) = + e 3. Criterio del rapporto Proposizioe Criterio del rapporto) Sia a ua successioe a termii positivi tale che a + l = + a esista, fiito o ifiito. Valgoo le affermazioi segueti: i) se l <, allora la serie a coverge; ii) se l >, allora la serie a diverge. Osservazioe Il criterio del rapporto o è applicabile, e quidi ulla si può dire, quado risulta Si pesi ad esempio alle due successioi coverge. Esempi Si cosideri la serie =0. Si ha9! e a + l = =. + a a + /+)! = = + a + /! +. Per etrambe l =, ma la serie diverge metre la! +)! = + + = 0. Quidi l = 0 e pertato la serie coverge per il criterio del rapporto. Si poteva ache utilizzare u cofroto co la serie di Megoli. 8 Si ricordi che ite del quoziete a /b fiito e diverso da zero si può scrivere co a b, per + stesso ordie di gradezza). 9 Ricordo che! =... per ogi N. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
10 3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 0 Si cosideri la serie =0. Si ha a + +)/ + ) + = + a + / = = + =. Quidi l = e pertato la serie coverge per il criterio del rapporto. Sia x 0,+ ) e cosideriamo la serie =0 x. Si ha! a + x + /+)! x + = + a + x = /! + +)!! ) x e quidi la serie coverge, per il criterio del rapporto, qualuque sia x. Si può dimostrare che Osservazioe Dalla covergeza della serie =0 =0 x! x! = ex. per ogi x, e che quidi x = o!) per +, qualuque sia x. = + x 0 = 0, + segue che la successioe x! tede a zero per + Come caso particolare abbiamo quidi che e = o!), per +. Dato che gli studeti soo soliti ricordare la classica gerarchia degli ifiiti logaritmi < poteze < espoeziali, e da questa forse ricavare l impressioe che gli espoeziali siao ifiiti imbattibili, la relazioe trovata poco fa e = o!)) fa quidi, per così dire, crollare il mito, dato che idividua u ifiito più forte di u espoeziale. Chi vuole può provare a dimostrare che d altro cato! = oe ), per +. Esercizio 3. Si studi il carattere delle segueti serie, usado il criterio del rapporto: a) c) +)! +)! b) d) Criterio della radice Proposizioe Criterio della radice) Sia a ua successioe a termii positivi tale che Valgoo le affermazioi segueti: i) se l <, allora la serie a coverge; ii) se l >, allora la serie a diverge. l = a + esista, fiito o ifiito. Osservazioe Come il criterio del rapporto, ache il criterio della radice o è applicabile quado risulta l = + a =. 0 No si faccia cofusioe qui: la variabile del ite è, che tede all ifiito, metre x è costate. Si osservi che i primi termii della serie detta serie espoeziale) soo i termii del poliomio di Taylor di e x. I uo dei capitoli precedeti scrivevamo e x = +x+ x! + x3 3! +ox3 ). La serie espoeziale estede all ifiito la validità della formula di Taylor e dà la possibilità di scrivere e x come ua somma di ifiiti termii di tipo poliomiale. Si chiama lo sviluppo i serie di Taylor di e x. È peraltro facile capire che e x o sia l ifiito più forte, dato che basta u xe x per avere uo più forte. No esiste u ifiito più forte di tutti gli altri. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
11 4 CRITERI PER SERIE A TERMINI DI SEGNO NON COSTANTE Esempi Si cosideri la serie. Si ha + = + = 0, e quidi, per il criterio della radice, la serie covergesi poteva ache utilizzare il criterio del rapporto o il criterio del cofroto). Si cosideri la serie e l. Si ha e quidi, per il criterio della radice, la serie coverge. Si cosideri la serie e l = + + e l = + = 0, e l. Si ha e l = + + el = = 0 cofroto stadard) + e e quidi, per il criterio della radice, la serie coverge. Si cosideri la serie + + ). Si ha +/) = + +/) = + e quidi, per il criterio della radice, la serie coverge. Si oti che ivece la serie 3 = /e, +/) + ) diverge i quato il suo termie geerale o tede a zero tede a /e). Alla stessa serie o è appplicabile il criterio della radice, dato che + +/) = + +/) =. Esercizio 3.3 Si studi il carattere delle segueti serie: a) c) e) g) + + b) + d) f) + ) h) )! =0 =0 4 Criteri per serie a termii di sego o costate Defiizioe Si dice che ua serie + =0 a è assolutamete covergete o che coverge assolutamete) se coverge la serie + =0 a. 3 Si ricordi il ite fodametale + +/) = e. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
12 4 CRITERI PER SERIE A TERMINI DI SEGNO NON COSTANTE Osservazioe Per evitare a questo puto cofusioe, la covergeza vista fiora viee detta semplice si dice ache che la serie coverge semplicemete). Proposizioe Se ua serie coverge assolutamete allora coverge semplicemete e si ha ioltre a a. Esempio La serie ) ha termii di sego o costate alterativamete uo positivo e l altro egativo). Essa coverge i quato coverge assolutamete. Ifatti ) =, e, come oto, + coverge. Osservazioe La proposizioe appea vista può forire u utile criterio di covergeza semplice per serie a termii o tutti positivi. L assoluta covergeza è ua codizioe sufficiete per la covergeza semplice. Ovviamete ulla si può dire se o c è assoluta covergeza. Vedremo tra breve u esempio di serie covergete ma o assolutamete covergete. Tra le serie a termii di sego o costate ua classe importate è costituita dalle serie a termii di sego alterato. Ua serie è a termii di sego alterato se può essere scritta come =0 ) b, co b > 0 per ogi. Proposizioe Criterio di Leibitz le serie a termii di sego alterato) Sia b ua successioe decrescete e ifiitesima cioè che tede a zero) per +. Allora la serie + =0 ) b coverge. Esempio U caso iteressate è la cosiddetta serie armoica a segi alterati, cioè ) = Ovviamete essa o coverge assolutamete. Però coverge semplicemete: ifatti la successioe / è decrescete e ifiitesima per + e quidi per il criterio di Leibitz la serie coverge. Esempio Ache la serie decrescete e ifiitesima. = ) coverge, i base al criterio di Leibitz. Ifatti la successioe /l è l Esempio Si faccia attezioe a o credere che la preseza el termie geerale di ua serie di u termie come ) faccia automaticamete della serie ua serie a termii di sego alterato. Si cosideri ad esempio la serie + ) positivi e si ha. I termii dispari soo ulli, metre quelli pari valgoo. Quidi si tratta di ua serie a termii + ) = La serie coicide co la serie armoica e pertato diverge. + =. Osservazioe Può succedere che i ua serie a termii di sego alterato + =0 ) b la successioe b o sia i realtà decrescete, ma lo sia da u certo puto i poi cioè sia defiitivamete decrescete). Come già osservato i altre occasioi, il carattere di ua serie o dipede da quello che succede i u umero fiito di primi termii. Ache l applicazioe del criterio di Leibitz risete di questo aspetto. Il criterio si potrebbe euciare dicedo che se la successioe b è ifiitesima e defiitivamete decrescete, allora la serie coverge. Esercizio 4. Si studi il carattere delle segueti serie: a) ) b) = ) l c) =0 ) 3 A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
13 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 3 5 Soluzioi degli esercizi Esercizio. a) Il ite si preseta ella forma idetermiata + )/+ ). Dividedo umeratore e deomiatore per il ite è uguale al + +/ 3+/ = 3. b) Il ite si preseta ella forma idetermiata + )/+ ). Possiamo scrivere l = l. Se cosideriamo la 3/ corrispodete fuzioe di variabile reale fx) = l x, per x + si ha u oto cofroto tra u logaritmo x 3/ l ed ua poteza. Come visto i molte occasioi, si ha x l x + = 0 e pertato ache x 3/ + = 0. 3/ c) Il ite si preseta ella forma idetermiata + )/+ ). Pesado alla fuzioe di variabile reale fx) = x+3lx e ricordado i soliti cofroti logaritmi/poteze, per x + a umeratore e a deomiatore soo 4x +5l x x trascurabili i logaritmi e quidi il ite è uguale al x + 4x = x + x che vale zero. Pertato ache +3l il ite l = 0. d) Il ite si preseta ella forma idetermiata +. Possiamo scrivere razioalizzado) + ) + = ) ++ ) = = + ++ = 0. I qualche caso si può stabilire il ite di ua successioe a cosiderado la serie di termie geerale a. Se la serie coverge allora la successioe tede a zero la ota codizioe ecessaria di covergeza di ua serie). Si oti che el ostro caso questo espediete o si può utilizzare, dato che la serie + + ) =0 diverge è uo dei primi esempi della lezioe sulle serie). Esercizio. a) I deomiatori soo i umeri aturali dispari e quidi si può scrivere = + = b) I deomiatori soo i quadrati dei umeri aturali. Quidi possiamo scrivere =. c) Notado che = 4/4, a umeratore ci soo i umeri aturali a partire da 3 e a deomiatore ci soo le poteze di a partire da ). Quidi possiamo scrivere = +. d) Possiamo scrivere = +). 4 Come già osservato altre volte, la scrittura o è uica. Si può ache scrivere ad esempio = + o acora o i ifiiti altri modi. Si oti che ciò che fa passare da ua espressioe all altra o è che u cambio di variabile, aalogo a quelli che abbiamo visti co gli itegrali. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
14 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 4 Esercizio. Si tratta di ua serie geometrica di ragioe r = /5. La serie coverge i quato la ragioe sta ell itervallo, ) codizioe ecessaria e sufficiete di covergeza di ua serie geometrica). I geerale la somma di ua serie geometrica covergete) di ragioe r è / r), quidi el ostro caso la somma della serie è / /5) = 5/4 la serie parte da = 0 e quidi o occorre togliere essuo dei primi termii). Esercizio.3 Possiamo scrivere / = ), e quidi si tratta di ua serie geometrica di ragioe r =. La serie coverge i quato la ragioe sta ell itervallo,). Qui la serie iizia da = e quidi la somma è / r) r 0 = / r) = r/ r). Nel ostro caso quidi la somma della serie è / / =. Esercizio.4 Si ha + ) = e = + = e) e quidi si tratta di ua serie geometrica di ragioe r = /e. La serie coverge i quato la ragioe sta ell itervallo,). Qui occorre fare attezioe al fatto che la serie parte da = e quidi la somma è / r) r 0 r = r / r) = /e +/e = /e +e). Esercizio 3. a) b) c) +. Il termie geerale o tede a zero, quidi la serie, essedo a termii positivi, diverge. Qui il + cofroto diciamo che può avveire osservado che +)/+) /, per Serie a termii positivi. Possiamo scrivere /+ ) /, per +. La serie data è quidi come la serie armoica geeralizzata + /α co α =, e quidi coverge. +). Serie a termii positivi. Sul termie geerale possiamo dire che +) = +o ), per +. Quidi la serie è come la serie armoica, che diverge. d) = e. La serie è a termii positivi. Qui possiamo usare u cofroto co ua serie geometrica, dato che ) e = o e, per + lo studete verifichi questa scrittura). La serie geometrica + = e = + = e ) coverge perché la ragioe è tra e. Quidi ache la serie data coverge. Esercizio 3. a) +)!. Serie a termii positivi. Poedo a = /+ )!, il criterio del rapporto dice di calcolare il + a + /a ): se tale ite è miore di allora la serie coverge, se ivece è maggiore di, allora la serie diverge. Quidi el ostro caso si ha a + /+3)! = + a + /+)! = +)! + +3)! = 5 = )+) Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. 5 Si ha ifatti +3)! = +3) +) +)!. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
15 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 5 b) c) d). Serie a termii positivi. Calcoliamo il ite +) / + +) +) + / = + + = + = /. Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto.. Serie a termii positivi. Calcoliamo il ite +)! +)/+)! +)+)! + = = + /+)! + /+)! + +) = 0. Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. 3. Serie a termii positivi. Calcoliamo il ite /+)3 + ) + /3 = ) + Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. 3 = +) ) = /3. Esercizio 3.3 a) b) c). Serie a termii positivi. Osserviamo che = /. Quidi il termie geerale o tede a zero. La serie diverge.. Serie a termii positivi. Si può usare il criterio del rapporto provare) oppure u cofroto. )! Osservado che )! = ) ) > ) se >, allora possiamo dire che la serie data è miorate della serie + / )). Quest ultima è come + /, che coverge. Quidi la serie data coverge per il criterio del cofroto. +. Serie a termii positivi. Semplicemete co u cofroto: la serie è come + /, che diverge. d) e) Serie a termii positivi. Trascurado le quatità trascurabili, la serie è come + 3/, che coverge., cioè +. Si può fare col criterio del rapporto provare), ma forse qui coviee il criterio della radice. Ricordo che, detto a il termie geerale della serie, il criterio della radice dice di calcolare il + a : se tale ite è miore di allora la serie coverge, se ivece è maggiore di, allora la serie diverge. Quidi el ostro caso calcoliamo il + + / = + / = ) / = + + ). Ora il fattore / tede a zero, metre il fattore = / tede a, per +. Quidi il ite vale 0 e, per il criterio della radice, la serie data coverge. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
16 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 6 f) g) Occorre prima semplificare l espressioe del termie geerale trascurado le quatità trascurabili, =0 che soo a umeratore e 4 a deomiatore lo studete verifichi che i effetti è così). Quidi possiamo scrivere = 3 5 ), per +. Allora la ostra serie è asitotica alla serie geometrica + =0 3 5 ), che coverge perché la ragioe è tra e. Quidi ache la serie data coverge per il criterio del cofroto asitotico. + ). Vediamo itato se il termie geerale tede a zero. + = + ) + + = ) ) + = + e, ) ricordado il ite fodametale. Pertato il termie geerale della serie data o tede a zero e quidi la serie diverge. h) =0. Il termie geerale tede ovviamete a zero. Cerchiamo di applicare il criterio della radice co il = + + = 0. Quidi i base al criterio della radice la serie data coverge. Esercizio 4. a) b) c) ). Serie a termii di sego alterato. Vediamo col criterio di Leibitz. Cosideriamo la successioe /. Essa tede a zero per + ed è decrescete, dato che la fuzioe radice è crescete è ua poteza di espoete positivo). Quidi la serie data coverge semplicemete) i base al criterio di Leibitz. Si oti che la serie o coverge assolutamete, dato che + / = + //. = ) l. Serie a termii di sego alterato. Vediamo col criterio di Leibitz. Cosideriamo la successioe /l. Essa tede a zero per + ed è decrescete, dato che la fuzioe logaritmica è crescete. Quidi la serie data coverge semplicemete) i base al criterio di Leibitz. Si oti che la serie o coverge assolutamete, dato che + = /l diverge: ifatti, come visto i u esercizio molto simile i precedeza, abbiamo che l < e quidi /l > /. La serie è maggiorate della serie armoica e quidi diverge. =0 ) 3. Serie a termii di sego alterato. Vediamo col criterio di Leibitz. La successioe 3 tede a zero per + ed è decrescete dato che la fuzioe espoeziale a deomiatore è crescete. Quidi la serie data coverge i base al criterio di Leibitz. I effetti c è covergeza assoluta, dato che la serie + =0 3 = + =0 3 coverge essedo ua serie geometrica di ragioe 3. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza
II-9 Successioni e serie
SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La
DettagliSERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.
Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k.
DettagliSUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua
DettagliSerie numeriche: esercizi svolti
Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie:
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si
DettagliTeorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge:
Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 03: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale.- Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Covergeza assoluta e
DettagliSuccessioni. Grafico di una successione
Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario
Dettagli1 Limiti di successioni
Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite
DettagliSERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n
SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado
DettagliSUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1
SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:
DettagliAnno 5 Successioni numeriche
Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai
DettagliESERCIZI SULLE SERIE
ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti
DettagliV Tutorato 6 Novembre 2014
1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe
DettagliLimiti di successioni
Argometo 3s Limiti di successioi Ua successioe {a : N} è ua fuzioe defiita sull isieme N deiumeriaturaliavalori reali: essa verrà el seguito idicata più brevemeteco{a } a èdettotermie geerale della successioe
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste
DettagliEsercizi riguardanti limiti di successioni
Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.
ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del 5.0.0 TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità
Dettagli52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%
RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base
DettagliFoglio di esercizi N. 1 - Soluzioni
Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >
DettagliCorsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3.
Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Architettura Prova scritta di Aalisi Matematica del 6// ) Mostrare che + si( ) cos () si( ) log(( + ) / ) = 3. Possibile soluzioe: Cosiderado dapprima il deomiatore otiamo
DettagliCorso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Funzioni potenza ed esponenziale.
Corso di laurea i Matematica Corso di Aalisi Matematica -2 Dott.ssa Sadra Lucete Fuzioi poteza ed espoeziale. Teorema. Teorema di esisteza della radice -esima. Sia N. Per ogi a R + esiste uo ed u solo
DettagliARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente
Corso di Laurea i Matematica LEZIONI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA..2 A.A. 2007-2008 ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE Dott.ssa Sadra Lucete Idice :. Prime geeralità sulle serie. 2. Serie a termii o egativi:
DettagliSoluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è
DettagliESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE
ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE a cura di Michele Scaglia RICHIAMI TEORICI Richiamiamo brevemete i pricipali risultati riguardati le serie umeriche. Teorema (Codizioe Necessaria per la Covergeza) Sia a
Dettagli5. Le serie numeriche
5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a
DettagliTerzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006
Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri
DettagliPARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri
Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)
DettagliLA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:
DettagliII-9 Successioni e serie
SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La
DettagliUna funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio
Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe
DettagliEQUAZIONI ALLE RICORRENZE
Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo
DettagliNumerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone
Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema
DettagliSerie numeriche e serie di potenze
Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi
Dettagli5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln
DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio
DettagliSintassi dello studio di funzione
Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:
DettagliCapitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI
Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi
DettagliSuccessioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione
Capitolo 2 Successioi 2.1 Defiizioe Ua prima descrizioe, più ituitiva che rigorosa, di quel che itediamo per successioe cosiste i: Ua successioe è ua lista ordiata di oggetti, avete u primo ma o u ultimo
DettagliIL CALCOLO COMBINATORIO
IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito
DettagliSERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.
SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.
DettagliI appello - 29 Giugno 2007
Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (
DettagliAppunti sulle SERIE NUMERICHE
Apputi sulle SERIE NUMERICHE Michele Bricchi I queste ote iformali parleremo di serie umeriche, foredo i criteri stadard di covergeza che si è soliti itrodurre i ua trattazioe elemetare della materia.
DettagliCampi vettoriali conservativi e solenoidali
Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile
DettagliTutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)
Copyright 2005 Esselibri S.p.A. Via F. Russo, 33/D 8023 Napoli Azieda co sistema qualità certificato ISO 400: 2003 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzioe ache parziale e co qualsiasi mezzo
Dettagli8. Quale pesa di più?
8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora
DettagliDispense di Analisi Matematica II
Dispese di Aalisi Matematica II Domeico Cadeloro (Prima Parte) Itroduzioe Queste dispese trattao la prima parte del corso di Aalisi Matematica II. Nel primo capitolo si discutoo gli itegrali geeralizzati
DettagliRisposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere
Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati
Dettagli19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5
Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio
DettagliCorso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA
Corso di Laurea i Ig Edile Politecico di Bari AA 2008-2009 Prof ssa Letizia Bruetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA 2 Idice Spazi vettoriali Cei sulle strutture algebriche 4 2 Defiizioe di spazio vettoriale
DettagliPercorsi di matematica per il ripasso e il recupero
Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)
ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).
Dettagli( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0
CAPITOLO VII DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe.) La derivata è u operatore che ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe e che obbedisce alle segueti regole: () D a a a 0 0 0 derivata di u moomio D 6 D 0 D ()
DettagliStatistica 1 A.A. 2015/2016
Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative
DettagliESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni:
N. Fusco ESERCIZI DI ANALISI I Prof. Nicola Fusco Determiare l isieme i cui soo defiite le segueti fuzioi: ) log/ arctg π ) 4 ) log π 6 arcse ) ) tg log π + ) 4) 4 se se se tg 5) se cos tg 6) [ 6 + 8 π
DettagliFormula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.
Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. A cura di Eugeio Amitrao Coteuto dell articolo:. Itroduzioe......... uccessioe di Fiboacci....... 3. Formula di Biet per la successioe
DettagliSuccessioni ricorsive di numeri
Successioi ricorsive di umeri Getile Alessadro Laboratorio di matematica discreta A.A. 6/7 I queste pagie si voglioo predere i esame alcue tra le più famose successioi ricorsive, presetadoe alcue caratteristiche..
DettagliESERCIZI SULLE SERIE
ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare
DettagliCOMPLEMENTI ALLE SERIE
COMPLEMENTI ALLE SERIE. Serie a termii i sego efiitivamete ostate Per ompletezza rihiamo il riterio el rapporto e ella raie, seza imostrarli... Teorema (Criterio el rapporto). Sia a ua suessioe a termii
DettagliCapitolo V : Successioni e serie numeriche
Liceo Lugao, 0-0 3N Luca Rovelli) Capitolo V : Successioi e serie umeriche La cosiddetta aalisi matematica, sviluppata iizialmete i maiera idipedete da Newto e Leibitz a partire dalla fie del XVII secolo,
DettagliSerie numeriche. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. A.A. 2007/08
Serie umeriche Lorezo Pisai Facoltà di Scieze Mm.Ff.N. A.A. 2007/08 Il problema di sommare i iti addedi è uo dei problemi classici dell aalisi matematica. Azi si tratta di u problema che ell atichità ha
DettagliCONCETTI BASE DI STATISTICA
CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti
DettagliCalcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale
Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1 La risposta a carichi variabili co la
Dettagli1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ;
. Serie umeriche Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie: ;! ;! ;!. Soluzioe.. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete: + + + 0. Pertato, per il criterio del cofroto
DettagliSistemi e Tecnologie della Comunicazione
Sistemi e ecologie della Comuicazioe Lezioe 4: strato fisico: caratterizzazioe del segale i frequeza Lo strato fisico Le pricipali fuzioi dello strato fisico soo defiizioe delle iterfacce meccaiche (specifiche
DettagliInteresse e formule relative.
Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del
DettagliRendita perpetua con rate crescenti in progressione aritmetica
edita perpetua co rate cresceti i progressioe aritmetica iprediamo l'esempio visto ella scorsa lezioe di redita perpetua co rate cresceti i progressioe arimetica: Questa redita può ache essere vista come
DettagliProgressioni aritmetiche
Progressioi aritmetiche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 7,, 5, 9, +4 +4 +4 +4 +4 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo aggiugedo sempre +4. Si
DettagliLA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI
LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività
DettagliDefinizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie.
SERIE NUMERICHE Defiizioe. Data ua successioe (a ) alla scrittura formale ) a + a 2 + + a +, si dà il ome di serie. I umeri a, a 2,, a, rappresetao i termii della serie, i particolare a è il termie geerale
DettagliAppunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA
INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi
DettagliSERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioi di Aalisi Matematica per i corsi di Laurea i Igegeria Chimica e Igegeria per l Ambiete e il Territorio dell Uiversità di Bologa. Ao Accademico
DettagliDEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE
DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA
DettagliDISTRIBUZIONI DOPPIE
DISTRIBUZIONI DOPPIE Fio ad ora abbiamo visto teciche di aalisi dei dati per il solo caso i cui ci si occupi di u solo carattere rilevato su u collettivo (distribuzioi semplici). I termii formali fio ad
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!
DettagliIntroduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)
Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo
DettagliSERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.
SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....
Dettagli4 - Le serie Soluzioni. n + 3. n + 3. n + 2
4 - Le serie Soluzioi Esercizio. Studiare la covergeza delle serie: + + 2 + cos!) 2 cosπ). Per la prima serie si ha 0 + + 2 + = 2. Dal mometo che la serie di termie geerico 2 è covergete serie armoica
Dettagli1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti
6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo
DettagliCorso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15
Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.
DettagliI numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa
I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per
DettagliSERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)
SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log
DettagliCampionamento stratificato. Esempio
ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete
DettagliLE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI
Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità
DettagliSUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 1
SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. Successioi RICHIAMI Ua successioe di elemeti di u isieme X è ua fuzioe f: N X. E covezioe scrivere f( ) = x, e idicare le successioi mediate la ifiitupla ordiata delle
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u allevameto! Si
DettagliIl confronto tra DUE campioni indipendenti
Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo
DettagliMetodi statistici per l'analisi dei dati
Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio
DettagliCapitolo 5. Successioni numeriche
Capitolo 5 Successioi umeriche Ua successioe è ua fuzioe avete domiio N o u suo sottoisieme del tipo A = { N > 0, 0 N} e come codomiio R e che associa a ogi umero aturale u umero reale a. La legge di ua
DettagliAnalisi Matematica Soluzioni prova scritta parziale n. 1
Aalisi Matematica Soluzioi prova scritta parziale. 1 Corso di laurea i Fisica, 018-019 3 dicembre 018 1. Dire per quali valori dei parametri α R, β R, α > 0, β > 0 coverge la serie + (!) α β. ( )! =1 Soluzioe.
DettagliSERIE NUMERICHE. Test di autovalutazione. 1+a 2
SERIE NUMERICHE Test di autovalutazioe. E data la serie: dove a R. Allora: ( ) 3a +a (a) se a = la serie coverge a (b) se a = 3 la somma della serie vale 5 (c) se a = 5 la serie diverge a (d) se a 0 la
DettagliEsercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) =
Esercitazioe 3 Successioi di fuzioi Esercizio : Studiare la covergeza i (0, ) della successioe {f } dove f (x) = metre Sol.: Si verifica facilmete che lim f (x) = 0 x (0, ) lim sup f (x) = lim = + (0,)
DettagliSUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioni cap3b.pdf 1
SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X =
Dettagli3.4 Tecniche per valutare uno stimatore
3.4 Teciche per valutare uo stimatore 3.4. Il liguaggio delle decisioi statistiche, stimatori corretti e stimatori cosisteti La teoria delle decisioi forisce u liguaggio appropriato per discutere sulla
DettagliSelezione avversa e razionamento del credito
Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del
Dettagli3.1 Il principio di inclusione-esclusione
Capitolo 3 Calcolo combiatorio 3.1 Il pricipio di iclusioe-esclusioe Il calcolo combiatorio prede i cosiderazioe degli isiemi fiiti particolari e e cota il umero di elemeti. Questo può dar luogo ad iteressati
DettagliLe tante facce del numero e di Nepero
Le tate facce del umero e di Nepero Paolo Tilli Dipartimeto di Matematica Politecico di Torio Premessa Questa breve ota raccoglie e i parte itegra il coteuto della cofereza da me teuta col medesimo titolo
Dettaglik=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se
Serie di fuzioi Sia I R, per ogi k N, data la successioe di fuzioi (f k ) k co f k : I R, cosideriamo la serie di fuzioi (0.) f k () k=0 e defiiamo la successioe delle somme parziali s () = k=0 f k().
DettagliCalcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014)
Calcolo Combiatorio (vers. 1/10/2014 Daiela De Caditiis modulo CdP di teoria dei segali Igegeria dell Iformazioe - sede di Latia, CALCOLO COMBINATORIO Pricipio Fodametale del Calcolo Combiatorio: Si realizzio
Dettagli1. Considerazioni generali
. osiderazioi geerali Il processaeto di ob su acchie parallele è iportate sia dal puto di vista teorico che pratico. Dal puto di vista teorico questo caso è ua geeralizzazioe dello schedulig su acchia
DettagliIntroduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)
Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, 2013 1 ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il
Dettagli