4 - Le serie Soluzioni. n + 3. n + 3. n + 2
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- Beniamino Luciani
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1 4 - Le serie Soluzioi Esercizio. Studiare la covergeza delle serie: cos!) 2 cosπ). Per la prima serie si ha = 2. Dal mometo che la serie di termie geerico 2 è covergete serie armoica geeralizzata di espoete α = 2 > la serie data è covergete per il criterio del cofroto. U secodo modo di dimostrare la covergeza cosiste ell osservare che = 2 e ell applicare il criterio di cofroto asitotico. Per la secoda serie si ha essedo cos!) cos!) 2 2 cosicché la serie coverge assolutamete essedo maggiorata i modulo da ua serie covergete. Per l ultima ricordado che cosπ) = ) si può applicare il criterio di Leibiz: la successioe b = è mootoa decrescete ed ifiitesima cosicché la serie data coverge. Si osservi che essedo la serie diverge assolutamete. cosπ) = Esercizio 2. Studiare la covergeza delle serie: ) 2 ) 27.
2 Ricordado che a b = a b) a 2 + ab + b 2 ) si ha per la prima serie 2 = 2) ) 2 e quidi studiare la covergeza della serie è equivalete a studiare la covergeza della serie di termie geerico ) 2 = Dal mometo che si ha 2 ). ) q q ) 2«2 = 2 la serie diverge per il criterio del cofroto asitotico co la serie armoica). Per la secoda serie ripetiamo il ragioameto precedete e studiamo la covergeza della serie di termie geerico ) = ). 2 ) Dal mometo che si ha q q ) 2«9 = 9 2 la serie coverge per il criterio del cofroto asitotico co la serie armoica geeralizzata di espoete α = 2 > ). Esercizio. Studiare la covergeza della serie: ) log). Suggerimeto: si usi i qualche modo) fx) = logx) x. 2
3 Essedo la serie a segi alteri l idea è di usare il criterio di Leibiz. Per poterlo applicare è ecessario che la successioe b = log) sia mootoa decrescete ed ifiitesima. Dal mometo che il logaritmo diverge più letamete di qualsiasi poteza dell argometo il ite di b per tedete ad ifiito è zero e quidi o resta che provare la mootoia di b. Usado come suggerito la fuzioe fx) = logx) abbiamo x f x) = x logx) x x 2 = logx) x 2 0 x e cosicché f è decresecete i [e + ). Ne segue che b è decrescete per ovvero defiitivamete. Dal mometo che la covergeza di ua serie o dipede dai primi termii ma solo dalla coda e segue che la serie coverge per il criterio di Leibiz. Cosiderado la covergeza assoluta si ha log) e quidi la serie diverge assolutamete. Esercizio 4. Studiare la covergeza delle serie: ) ) ta ) + ) ) log + 2 ). La prima serie è a segi alteri: possiamo usare il criterio di Leibiz; dal mometo che è decrescete ed ifiitesima e che tax) è mootoa su [0 π/2) la successioe b = ta ) è decrescete ed ifiitesima e quidi la serie coverge si oti che diverge assolutamete). Per la secoda serie essedo + ) = e 0 la serie o coverge dal mometo che o soddisfa la codizioe ecessaria la serie diverge assolutamete). Per la terza serie possiamo applicare uovamete il criterio di Leibiz: la successioe b = log + 2 ) è decrescete ed ifiitesima come si verifica facilmete. Per quato riguarda la covergeza assoluta essedo log + 2 ) = 2
4 la serie coverge assolutamete per cofroto asitotico co la serie geometrica covergete di ragioe 2 <. Esercizio 5. Studiare la covergeza delle serie:! + log + e ) 4 arcta + 4 ) e. Per la prima serie applichiamo il criterio del rapporto: + ) + + )! +! = + ) +! + )! ) + + = = = e < + ) cosicché la serie coverge. Per la secoda serie ricordado che log + e ) si comporta come e si ha log + e ) 4 = e 4 = + e quidi la serie diverge o essedo ifiitesimo il termie geerico. Per la terza serie ricordado che arcta + 4 ) si comporta come 4 la serie ha lo stesso carattere della serie di termie geerico 4 e = e 4 ) che è covergete essedo ua serie geometrica di ragioe e 4 <. Esercizio 6. Studiare al variare di x i R la covergeza della serie: = x [log)] x Iiziamo a studiare la serie per x > 0 per x = 0 la serie è evidetemete covergete). Se x > il termie x diverge più velocemete di [log)] x e quidi il termie geerico o è ifiitesimo. Ne segue che se x > la serie diverge. Se 0 < x il termie geerico è ifiitesimo. Applicado il criterio del rapporto si ha x + [log)] x + ) [log + )] x x = x 4 + [ ] x log) = x. log + )
5 Se 0 < x < la serie coverge metre resta aperto il caso x = che studieremo dopo l Esercizio 8 giacché l estesore del problema o si è accorto che era u caso molto particolare...). Passiamo ora allo studio per x < 0. Se x < il termie geerico della serie diverge i modulo e quidi la serie o coverge semplicemete e diverge assolutamete. Se < x < 0 si può studiare la covergeza assoluta che è idetica al caso 0 < x < e quidi la serie coverge. Se x = si ha la serie = ) [log)] = + ) log) = che sappiamo già essere covergete si veda l Esercizio ). Esercizio 7. Data la serie: ) x2 ) 2 determiare l isieme di covergeza semplice e quello di covergeza assoluta. Acc... l espoete di x 2 avrebbe dovuto essere o 2. Suppoiamo che lo fosse e defiiamo y = x 2 ) cosicché si tratta di studiare la covergeza della serie y. Se y > il termie geerico della serie diverge e quidi la serie diverge o soddisfacedo la codizioe ecessaria. Se 0 y < la serie coverge come si vede applicado il criterio del rapporto) metre se y = la serie diverge essedo la serie armoica). Se y < la serie diverge assolutamete uovamete o soddisfa la codizioe ecessaria) e o coverge semplicemete metre se < y < 0 la serie coverge assolutamete prededoe i moduli si ottiee la serie per 0 < y < ). Se y = la serie coverge semplicemete per il criterio di Leibiz) ma o assolutamete essedo la serie dei moduli la serie armoica). I defiitiva abbiamo covergeza semplice per y i [ ) e covergeza assoluta per y i ). Ricordado che y = x 2 si ha x 2 < 0 2 x 2 < 2 0 < x 2. 5
6 Esercizio 8. Studiare la covergeza delle serie: 2 dx x 2. Come prima cosa calcoliamo l itegrale: 2 dx x = x=2 2 x = 2 = 2. A questo puto abbiamo 2 x= dx x = = + essedo la serie data iet altro che la serie armoica. Esercizio 9. Studiare la covergeza della serie =2 log). Qualsiasi criterio si applichi o si arriva a ulla: se si prova il cofroto si ha per ogi α > 0 +α log) ma le disuguagliaze soo el verso sbagliato. Idem dicasi per il cofroto asitotico e per il rapporto dato che si ottiee ). Come fare? Primo metodo: cosideriamo la fuzioe fx) = x logx). Essedo come si verifica facilmete derivado fx) decrescete si ha Ne segue che x [ + ) = fx) = + Essedo però + x logx) dx = + x logx) dx + dlogx)) logx) 6 x logx) log). log) dx = log). = loglog + )) loglog))
7 si ha A questo puto k loglog + )) loglog)) 2. log) log) k [loglog + )) loglog))] =2 =2 = loglogk + )) loglogk)) + loglogk))... loglog)) + loglog)) loglog2)) = loglogk + )) loglog2)). loglogk )) +... Dal mometo che loglogk + )) loglog2)) diverge se k tede ad ifiito la serie di parteza diverge. Secodo metodo: il criterio fio ad oggi igoto) di Cauchy. Data ua serie + a co a decrescete ed ifiitesima la serie data ha lo stesso carattere della serie di termie geerico 2 a 2. Dal mometo che log) è decrescete ed ifiitesima possiamo applicare il criterio di Cauchy e studiare il carattere della serie 2 2 log2 ) = log2 ) = log2). Essedo quest ultima serie divergete è la serie armoica) la serie di parteza diverge. Esercizio 0. Si dimostri usado sia calcolo co l itegrale che il criterio di Cauchy che la serie [log)] α =2 coverge se e solo se α >. Cosa possiamo dire della serie =2 log) [loglog))] α? 7
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