MATEMATICA GENERALE MODULO B 13 giugno 2003

Transcript

1 MATEMATICA GENERALE MODULO B 3 giugo 003 cogome : ome : matricola : Ecocomm A-D (Carcao) Ecocomm E-O (Carcao) Ecocomm P-Z (Valaperta) Ecoba (Zambruo) Ecoit-soc-pub (Mauri) Ecotur-sti (Moti) Ecoamm (Grassi) Attezioe: Lo studete deve compilare questo foglio i ogi parte e deve barrare il ome del proprio corso di laurea. Questo foglio va restituito isieme co lo svolgimeto (solo i fogli di bella ) (i) Si cosideri il geerico sistema lieare Ax = b, A matrice m, x IR, b IR m. Si ricordio le defiizioi di sistema possibile (cosistete) / impossibile (icosistete), determiato / idetermiato. Utilizzado la proprietà di liearità del prodotto matrice per vettore, si dimostri che, se u sistema omogeeo ammette ua soluzioe o ulla, allora ammette ifiite soluzioi[ o ulle. ] α α (ii) I dipedeza dal parametro reale α, si discuta il sistema Ax = b, ove A = e b =. 0 α Si determiio tutte le soluzioi del sistema, i corrispodeza del valore, o dei valori, di α, per il/i quale/i il sistema è possibile. (i) 3 puti il primo, puti il secodo Si veda libro di testo Mauale modulare di Metodi Matematici, Modulo, pag.79. Sia x 0 tale che Ax = 0; allora, per ogi α IR, si ha A(αx) = α(ax) = α0 = 0 quidi si hao le ifiite soluzioi αx (retta per l origie). A = [ α ] α 0 α b = r(a) = se α 0 A ha rago r(a) = se α = 0 Per α = 0, si ha r(a b) = r 0 0 = 0 0 quidi, per il Teorema di Rouché Capelli, il sistema è impossibile. Per α 0, si ha r(a) = = m, quidi il sistema è ormale; è possibile, perché, se r(a) = m, allora per forza r(a b) = m. α Utilizzado come sottomatrice di ordie o sigolare,, si ottiee 0 x αy = αz x = + αz x = + αz y = α + 3z x y z = + αt α + 3t t t IR

2 (i) (ii) Si ricordio gli euciati della codizioe ecessaria per la covergeza e del criterio del rapporto. Si diao esempi di: serie a termii positivi, covergete; serie a termii di sego altero, covergete, ma o assolutamete covergete. (i) puto la codizioe ecessaria, puti il criterio Si veda libro di testo Mauale modulare di Metodi Matematici, Modulo 5, capitolo. (ii) puti per ogi Qualsiasi serie geometrica + =0 q, co ragioe q [0, ); oppure la serie di Megoli + = la serie armoica geeralizzata + =, co α >, β IR, oppure α =, β > ; oppure α (log ) β La serie del Tizio ideciso: + = ( ) ; oppure + = ( ) log ; oppure (+) ; oppure 3 Si cosideri la fuzioe f, defiita da f(x) = 3x 8 x 6x + 8. (i) Si determii l itegrale idefiito di f. (ii) Si determii la primitiva F di f, tale che F (3) =. (iii) Facoltativo: Sfruttado il risultato del puto (i), si determii se esiste u puto c [5, 6] tale che f(c) = log 6 3. (i) 5 puti Si determia dapprima la decomposizioe i fratti semplici (D.F.S.) di f: 3x 8 x 6x + 8 = 3x 8 (x )(x ) = A x + B x A = B = pertato, i ogi itervallo [a, b] (, ) (, ) (, + ), si ha: f(x) = 3x 8 x 6x + 8 = = log ( x (x ) ) + c (c IR) x + Impoedo la codizioe F (3) = all isieme delle primitive di f, si ottiee e quidi c = ; la primitiva cercata è quidi x = = F (3) = [ log ( x (x ) ) + c ] x=3 = log + c = c F (x) = log ( x (x ) ) + (iii) + puti Facoltativo:

3 Il valor medio (media itegrale) di f ell itervallo [5, 6] è 6 5 3x 8 x 6x + 8 = [ log ( x (x ) )] 6 5 = log(6) log 3 = log 6 3 la fuzioe f è cotiua ell itervallo [5, 6], quidi, per il Teorema del valor medio, esiste c [5, 6] tale che f(c) = log 6 3. Si determii il carattere della serie 7 puti + = log( + x) Dal limite otevole lim =, segue x 0 x a = log( + ) log( + ). = per + + pertato, dal criterio del cofroto asitotico, si ha che la serie data ha lo stesso carattere della serie, = otoriamete covergete. Si coclude che la serie data è covergete; essedo a termii positivi, la sua somma è positiva. 3

4 MATEMATICA GENERALE MODULO B 3 giugo 003 cogome : ome : matricola : Ecocomm A-D (Carcao) Ecocomm E-O (Carcao) Ecocomm P-Z (Valaperta) Ecoba (Zambruo) Ecoit-soc-pub (Mauri) Ecotur-sti (Moti) Ecoamm (Grassi) Attezioe: Lo studete deve compilare questo foglio i ogi parte e deve barrare il ome del proprio corso di laurea. Questo foglio va restituito isieme co lo svolgimeto (solo i fogli di bella ) (i) Si cosideri il geerico sistema lieare Ax = b, A matrice m, x IR, b IR m. Si ricordio le defiizioi di sistema possibile (cosistete) / impossibile (icosistete), determiato / idetermiato. Utilizzado la proprietà di liearità del prodotto matrice per vettore, si dimostri che, se il sistema ammette due soluzioi v e w, allora il vettore v w è ua soluzioe del sistema omogeeo [ associato. ] 0 α (ii) I dipedeza dal parametro reale α, si discuta il sistema Ax = b, ove A = e b =. α α Si determiio tutte le soluzioi del sistema, i corrispodeza del valore, o dei valori, di α, per il/i quale/i il sistema è possibile. (i) 3 puti il primo, puti il secodo Si veda libro di testo Mauale modulare di Metodi Matematici, Modulo, pag.79. Siao v e w soluzioi del sistema dato (quidi Av = Aw = b); si ha A(v w) = Av Aw = b b = 0 quidi v w è ua soluzioe del sistema omogeeo associato Ax = 0. r(a) = se α 0 A ha rago r(a) = se α = 0 Per α = 0, si ha 0 α A = α α b = [ 0 0 r(a b) = r = 0 α quidi, per il Teorema di Rouché Capelli, il sistema è impossibile. Per α 0, si ha r(a) = = m, quidi il sistema è ormale; è possibile, perché, se r(a) = m, allora per forza r(a b) = m. [ 0 Utilizzado come sottomatrice di ordie o sigolare, y = + αz α x + y = αz x = α + 3z y = + αz α ] ], si ottiee x α y = + 3t + αt z t t IR

5 (i) (ii) Si ricordio gli euciati della codizioe ecessaria per la covergeza e del criterio della radice. Si diao esempi di: serie a termii egativi, divergete; serie a termii di sego altero, covergete assolutamete. (i) puto la codizioe ecessaria, puti il criterio Si veda libro di testo Mauale modulare di Metodi Matematici, Modulo 5, capitolo. (ii) puti per ogi Qualsiasi serie geometrica + =0 q, co ragioe q > ; oppure l opposto della serie armoica + = ; oppure l opposto della serie armoica geeralizzata + =, co α <, β IR, oppure α =, β α (log ) β ; oppure La serie del Tizio ideciso (a passi quadratici): + ( ) = ; oppure + ( ) = (log ) ; oppure + ( ) =0! ; oppure Si cosideri la fuzioe f, defiita da f(x) = 3x 7 x x + 3. (i) Si determii l itegrale idefiito di f. (ii) Si determii la primitiva F di f, tale che F () =. (iii) Facoltativo: Sfruttado il risultato del puto (i), si determii se esiste u puto c [, 5] tale che f(c) = log 3 9. (i) 5 puti Si determia dapprima la decomposizioe i fratti semplici (D.F.S.) di f: 3x 7 x x + 3 = 3x 7 (x )(x 3) = A x + B x 3 A = B = pertato, i ogi itervallo [a, b] (, ) (, 3) (3, + ), si ha: f(x) = 3x 7 x x + 3 = = log ( x 3 (x ) ) + c (c IR) x + Impoedo la codizioe F () = all isieme delle primitive di f, si ottiee e quidi c = ; la primitiva cercata è quidi x 3 = = F () = [ log ( x 3 (x ) ) + c ] x= = log + c = c F (x) = log ( x 3 (x ) ) + (iii) + puti 5

6 Facoltativo: Il valor medio (media itegrale) di f ell itervallo [, 5] è 5 3x 7 x x + 3 = [ log ( x 3 (x ) )] 5 = log(3) log 9 = log 3 9 la fuzioe f è cotiua ell itervallo [, 5], quidi, per il Teorema del valor medio, esiste c [, 5] tale che f(c) = log 3 9. Si determii il carattere della serie 7 puti Utilizzado il criterio del rapporto, si ha + =0 3!. a + = 3+ a ( + )!! 3 = < + pertato, la serie è covergete; essedo a termii positivi, la sua somma è positiva. 6