Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dip. di Scienze Statistiche e Matematiche Silvio Vianelli

Transcript

1 Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia Dip. di Scieze Statistiche e Matematiche Silvio Viaelli Apputi del corso di Matematica Geerale Le Serie Ao Accademico 2009/200 V. Lacagia - S. Piraio

2 Homies, dum docet, discut Quado isegao, gli uomii imparao SENECA Realizzazioe e sviluppo i L A TEX di Valerio Lacagia (8//2009)

3 . Defiizioe di serie. Defiizioe di serie Sia a, a 2, a 3,...,,... ua successioe di umeri reali. Cosideriamo l espressioe a + a 2 + a Formalmete tale espressioe rappreseta la somma degli ifiiti umeri reali, termii della successioe data. Chiamiamo tale espressioe serie umerica e la idichiamo siteticamete co Ci chiediamo se tale espressioe possa assumere u sigificato umerico. Per rispodere alla domada, itroduciamo il cocetto di somma parziale: defiiamo somma parziale di ordie della serie, la somma dei suoi primi termii. Idichiamo tale somma co S. Attribuedo ad i valori, 2, 3,..., otteiamo S = a S 2 = a + a 2 S = a + a Facedo crescere idefiitamete, le somme parziali tedoo all espressioe formale a + a 2 + a che abbiamo chiamato serie umerica. D altro cato se al crescere idefiitamete di, S coverge ad S R, possiamo attribuire all espressioe u sigificato umerico scrivedo dicedo che la serie a + a 2 + a = S è covergete e che ha somma S. Se al crescere idefiitamete di, S è divergete, positivamete o egativamete, scriveremo rispettivamete = + e =. e diremo che la serie è divergete, positivamete o egativamete. Se S o coverge e diverge, diremo che la serie è idetermiata. V. Lacagia - S. Piraio 3

4 . Defiizioe di serie Esempio. Cosideriamo la serie di Megoli = k (k + ) k= di cui la somma parziale di ordie è + S = k (k + ) = ( k ) = k + = k= ( ) 2 + k= ( 2 ) = + Essedo il ( S = ) = + la serie cosiderata è covergete ed ha somma. ( ) = +.. La serie geometrica. Cosideriamo la serie + x + x 2 + x x k + = x k essedo x u umero reale arbitrario. Dal fatto che i termii della serie soo i progressioe geometrica di ragioe x, la serie prede il ome di serie geometrica. È evidete che il comportameto o carattere della serie dipede dal valore di x. Se x = la serie diviee la somma di ifiiti e pertato S =. Coseguetemete, essedo k= S = +, la serie è divergete. Se x, S, per uota formula sulle progressioi geometriche, assume l espressioe S = + x + x 2 + x x = x x = x x x Se x <, poichè x = 0, S coverge a e quidi la serie coverge. Se x >, poichè a +. x = + e x x x = x x x = +, la serie diverge 4 V. Lacagia - S. Piraio

5 = c S () + c 2 S (2) + + c m S (m) c.v.d.. Defiizioe di serie Se x, x o esiste e di cosegueza la serie geometrica è idetermiata. serie.2. Prima osservazioe. Date m serie, a (), a (2),..., a (m), tutte covergeti co rispettive somme S (), S (2),..., S (m), la ( c a () + c 2 a (2) ) + + c m a (m) combiazioe lieare delle serie date attraverso le costati reali c, c 2,..., c m, è covergete ed ha per somma la combiazioe lieare, attraverso le stesse costati, della somma delle sigole serie, ossia c S () + c 2 S (2) + + c m S (m) Idicado co S (), S (2),..., S (m), le somme parziali di ordie delle serie date, la somma parziale S della serie combiazioe lieare è S = c S () + c 2 S (2) + + c m S (m) Passado al ite per + si ha S = c S() + c 2 S(2) + + c m S(m) =.3. Secoda osservazioe. Sia data la serie a + a Se i essa sopprimiamo i primi p termii si ottiee uuova serie a p+ + a p a p+ + a cui si da il ome di resto di ordie p della serie data. Idicado co S e R le somme parziali di ordie rispettivamete della serie data e della serie resto, esse soo legate dalla relazioe Ifatti T = S p+ S p R = a p+ + a p a p+ S p+ = a + a a p + a p+ + a p a p+ di cosegueza R = a + a a p + a p+ + a p a p+ + (a + a a p ) = S p+ S p V. Lacagia - S. Piraio 5

6 2. Serie a termii di sego costate Pertato l esisteza del ite di T è legata all esisteza del ite di S p+ ossia del ite di S. Possiamo pertato scrivere Possiamo quidi euciare: R = S +p S p Il resto di ordie p di ua data serie è uuova serie che ha lo stesso carattere della serie data. Se la serie data è covergete co somma S, il suo resto di ordie p è ua serie covergete co somma uguale a S (a + a a p ) Viceversa se il resto è covergete co somma R, la serie data è covergete co somma R + a + a a p 2. Serie a termii di sego costate Itediamo affrotare lo studio delle serie i cui termii soo tutti dello stesso sego, che suppoiamo o egativo. Teorema 2.. Ua serie a termii o egativi è covergete o divergete e ha per somma l estremo superiore dell isieme umerico costituito dai valori distiti assuti dalla somma parziale S. Dimostrazioe. Essedo per ipotesi gli 0 allora la successioe delle somme parziali è o decrescete e quidi, richiamado il teorema sui iti delle successioi mootoe, il ite di S esiste ed è fiito o +. Teorema 2.2 (Criterio del cofroto). Siao serie a termii o egativi. Se defiitivamete c b e b due essedo c ua costate reale positiva, allora dalla covergeza della serie della serie b segue la covergeza della serie segue la divergeza della serie, dalla divergeza Dimostrazioe. Idichiamo co S e T le somme parziali di ordie, rispettivamete, della prima e della secoda serie. Dall ipotesi che c b segue che S c T 6 V. Lacagia - S. Piraio b.

7 Passado al ite si ha Pertato se T è fiito ache il ite di S è fiito e di cose- gueza la serie S c T 2. Serie a termii di sego costate è covergete; se di T è + e di cosegueza la serie S è + ache il ite b è divergete Esempio 2. Cosideriamo la serie armoica geeralizzata co α > 0. α Nel caso i cui 0 < α è evidete che α Essedo la serie armoica divergete ache la serie data, co 0 < α < è divergete. Dimostreremo più avati che la serie, co α >, è covergete. α Corollario 2.3 (del teorema del cofroto). Siao e b due serie a termii positivi. Se esistoo due costati positive a, b tali che a b b allora le serie date hao lo stesso carattere, cioè soo etrambe covergeti o etrambe divergeti positivamete. Dimostrazioe. Partedo dall ipotesi che esistao due costati, a e b, positive tali che a b b segue che: Se a b b b N b è covergete, essedo per la relazioe precedete b b, segue per il teorema del cofroto (2.2) che la Se è covergete. b è divergete, dalla relazioe a b segue che la serie è divergete i quato miorata da ua serie divergete. V. Lacagia - S. Piraio 7

8 2. Serie a termii di sego costate Pertato le due serie hao lo stesso carattere. Teorema 2.4 (Criterio del cofroto ella forma di ite). Siao e da zero il b due serie a termii positivi. Se esiste fiito e diverso b Dimostrazioe. Ifatti posto le serie date hao lo stesso carattere. = l 0, per la defiizioe b di ite fiito, esiste, posto ɛ = l, defiitivamete la relazioe 2 l 2 3 b 2 l Per il corollario (2.3), idetificado a co l 2 e b co 3 l, le due serie 2 hao lo stesso carattere. I particolare se l 0 dalla covergeza della se l 0 dalla divergeza della b segue la covergeza della b segue la divergeza della Ua cosegueza del criterio del cofroto ella forma di ite (2.4) è la seguete: Sia ua serie a termii o egativi ed esista u α R + : α = l allora () se l [0, + [ e α > la serie data è covergete; (2) se l ]0, + [ e α la serie data è divergete. 2.. Esercizi svolti. Vediamo alcui esercizi svolti sulle serie e sui criteri di covergeza fio a qui sviluppati. Esercizio 2. Determiare il carattere della serie La serie cosiderata, scrittella forma armoica geeralizzata co α = 3. positivamete ;., coicide co la serie Pertato la serie data diverge 8 V. Lacagia - S. Piraio

9 2. Serie a termii di sego costate Esercizio 2.2 Determiare il carattere della serie l() 3. essedo l 3 3 > 2 Utilizzado il criterio del cofroto (2.3), deduciamo che la serie data è divergete perchè miorata da ua serie divergete. Esercizio 2.3 Determiare il carattere della serie ( 2 ) +. Essedo ( 2 ) + ( ) > = 2 cosiderato che la serie miorate diverge positivamete, ache la serie data diverge positivamete. Esercizio 2.4 Determiare il carattere della serie ) (e 2. Utilizzado il corollario (2.3), cosideriamo il ite α ( ) 2 e e 2 = 2 = l e = 2 Essedo α = 2 la serie data ha lo stesso comportameto della serie, pertato è covergete. 2 Esercizio 2.5 Determiare il carattere della serie l( + ). L espressioe del termie geerale della serie suggerirebbe di cofrotare la serie co la serie di termie geerale, tuttavia passado al ite essedo α = 2 l( + ) = 0 e l = 0, il criterio o permette di desumere il carattere della serie data. Se ivece cofrotiamo co la serie, ci rediamo V. Lacagia - S. Piraio 9

10 2. Serie a termii di sego costate coto che la serie è divergete. Ifatti = l( + ) l( + ) = + Esercizio cos Determiare il carattere della serie Il termie geerale della serie è ifiitesimo. Ifatti cos 5 = cos = = 0 3 Il ite del secodo addedo è zero i quato prodotto di ua successioe ifiitesima e di ua successioe defiitivamete itata cos. Cofrotiamo la serie data co la serie cos = Pertato la serie data è covergete cos = + 0 = Esercizio 2.7 Determiare il carattere della serie Essedo La serie data è maggiorata dalla serie geometrica di ragioe 2. Pertato dalla covergeza della secoda segue la covergeza della serie data. Esercizio 2.8 Determiare il carattere della serie che la serie è divergete, perchè?. Si vede immediatamete 2.2. Criterio della radice e criterio del rapporto. Itroduciamo due criteri che ci permettoo di desumere il carattere di ua serie data a termii o egativi o positivi per cofroto co la serie geometrica. 0 V. Lacagia - S. Piraio

11 2. Serie a termii di sego costate Teorema 2.5 (Criterio della radice o di Cauchy). Sia ua serie a termii o egativi. Se esiste u x ]0, [ tale che sia defiitivamete x allora la serie data è covergete. Se defiitivamete risult allora la serie data è divergete. Dimostrazioe. Dall ipotesi che esista u x ]0, [: x segue che x ossia la serie data è maggiorata da ua serie geometrica di ragioe 0 < x < covergete. Pertato la serie è covergete. Se segue che la successioe che ha geerato la serie o può essere ifiitesima i quato i suoi termii soo maggiori o uguali ad defiitivamete. Essedo la serie a termii o egativi, o potedo covergere, diverge. Esprimiamo il criterio della radice ella forma di ite: Teorema 2.6 (Criterio della radice sotto forma di ite). Sia ua serie a termii o egativi. Se esiste a = l segue che la serie data è covergete per l <, la serie data è divergete per l >. Dimostrazioe. Dimostriamo che se esiste allora la serie Dall ipotesi che che è covergete. a = l < a = l segue per la defiizioe di covergeza ɛ > 0 (ɛ) : > (ɛ) l ɛ < < l + ɛ Essedo la precedete vera per qualuque ɛ, i corrispodeza di u valore di ɛ tale che l + ɛ < esiste (ɛ) tale che per ogi > (ɛ) si ha a < l+ɛ < ossia defiitivamete < (l+ɛ), per cui la serie data è maggiorata da ua serie geometrica di ragioe 0 < l + ɛ <. Pertato dalla covergeza della secoda segue la covergeza della serie data. V. Lacagia - S. Piraio

12 2. Serie a termii di sego costate Esempio 2.2 ( ) Determiare il carattere della serie. 2 + La codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie è verificata ( ) l = e 2 + = e l 2 + = 2 + = e + l 2 = e + ( l2) = e = 0 Applichiamo il criterio della radice ( ) a = = < 2, N Di cosegueza la serie data è covergete. Esercizio 2.9 Determiare il carattere della serie Applichiamo il criterio della radice. a = e = e = e La serie è covergete. Esercizio 2.0 Determiare il carattere della serie e. e, N a = 2 2 > 5 >, N 2 La serie data è divergete. Esercizio 2. Determiare il carattere della serie 2 l. a = 2 l 2 l, N La serie data è divergete. D altrode si vede chiaramete che il termie geerale della serie o è ifiitesimo. 2 V. Lacagia - S. Piraio

13 2. Serie a termii di sego costate Esercizio 2.2 ( ) + si Determiare il carattere della serie, x > 0. (2x) Applichiamo il criterio della radice ella forma di ite ( ) + si + si = = (2x) 2x 2x Di cosegueza, impoedo la codizioe di covergeza a = l < si ha 2x < x > 2 ossia per x > 2 la serie data è covergete. Per x < 2 la serie è divergete. Per x = 2 segue che a = + si > Applicado il criterio della radice, ci rediamo coto che la successioe che geera la serie o è ifiitesima. Essedo ua serie a termii positivi o covergete, possiamo affermare che per x = la serie 2 diverge. Teorema 2.7 (Criterio del rapporto o di D Alembert). Sia ua serie a termii positivi. Se è possibile determiare u umero x ]0, [ tale che + x, N(o defiitivamete) allora la serie è covergete. Se +, N (o defiitivamete), allora la serie è divergete. Dimostrazioe. Suppoiamo che esista u umero x ]0, [ tale che + x, N. Facedo variare k =, 2,...,, otteiamo a 2 x k = a a 3 a 2 x k = 2 a 4 a 3 x k = 3 V. Lacagia - S. Piraio 3

14 2. Serie a termii di sego costate x k = + x k = Moltiplicado membro a membro le relazioi precedeti si ottiee ossia Deduciamo che la serie data a 2 a 3 a 4... a a 2 a 3 a+ x + a x è maggiorata dalla serie a x Essedo la serie maggiorate covergete, i quato serie geometrica di ragioe 0 < x <, la serie data è covergete. Se +, N allora deduciamo che la successioe che ha geerato la serie o è decrescete, +, N, di cosegueza o può essere ifiitesima; si tega coto che essedo o decrescete = sup{ } a > 0 N Teorema 2.8 (Criterio del rapporto sotto forma di ite). Sia ua serie a termii positivi. Se Se Se = l < allora la serie è covergete. = l > allora la serie è divergete. = ulla si può dire sul carattere della serie. Dimostrazioe. La dimostrazioe è simile a quella codottel caso del criterio della radice i forma di ite. Esempio 2.3 Determiare il carattere della serie Applichiamo il criterio del rapporto + 2! (). = 2+ ( + )! ( + ) (+) 2! = 2+ ( + )! 2! ( + ) = (+) 2 ( + ) ( + ) ( + ) = 2 ( ) + 2 e < La serie è covergete. 4 V. Lacagia - S. Piraio

15 2. Serie a termii di sego costate Esercizio 2.3 Determiare il carattere della serie Applichiamo il criterio del rapporto. + = (a ) 2 +, a >. (a )(+) 2 + ( + ) 2 + (a ) = 2 + (a ) (a ) ( + ) 2 + La serie coverge per a < ossia per < a < 2, la serie diverge per a > ossia per a > 2. Per a = 2 il criterio utilizzato o da idicazioi. Ricorriamo allora al criterio del cofroto. Per a = 2 la serie diviee 2 + maggiorata dalla serie +. 2 Pertato per a = 2 la serie coverge Il teorema di Cauchy. Il teorema di Cauchy permette di discutere il carattere di ua serie geerata da ua successioe di umeri o egativi o crescete utilizzado ua opportua sottosuccessioe della stessa. Teorema 2.9. Sia ( ) ua successioe o crescete di umeri o egativi. La serie è covergete. è covergete se e solo se la serie k= No procediamo alla dimostrazioe. 2 k a 2 k Esempio 2.4 Utilizzado il teorema di Cauchy, dimostriamo che la serie armoica geeralizzata è covergete per α >. 2 k (2 k ) = + 2 k α 2 = + αk k= k= k= 2 = + αk k k= ( ) k 2 α Poichè la serie otteuta utilizzado il teorema di Cauchy è ua serie geometrica di ragioe < questa risulta covergete, ossia la 2α serie armoica geeralizzata è covergete el caso α >. I matematica, se è u itero positivo, si defiisce fattoriale e si idica co! il prodotto dei primi umeri iteri positivi. I formule,! = 2... ( ). Si assume per defiizioe che 0!=. La fuzioe fattoriale può ache essere defiita i modo ricorsivo: { se = 0! := ( )! se V. Lacagia - S. Piraio 5

16 2. Serie a termii di sego costate Esempio 2.5 Studiare il carattere della serie Per 0 < α La serie =2 =2, co α > 0. (l ) α (l ) α l > 2 + è ua serie miorate della serie (l ) α =2 essedo 0 < α. Essedo la serie miorate divergete ache la serie maggiorate è divergete. Per α >, per determiare il carattere della serie, ricorriamo al teorema di Cauchy =2 2 [l(2 )] α = =2 2 ( l(2)) α = (l(2)) α =2 2 α, α > Essedo il termie geerale della serie a cui siamo perveuti divergete la serie data è divergete Esercizi di riepilogo. Di seguito vegoo proposti alcui esercizi svolti. Esercizio 2.4 Determiare il carattere della serie geerale sella serie ( ) 2 si = è ifiitesimo. Ma ( ) 2 2 si = =2 ( la serie data ha lo stesso carattere della Esercizio 2.5 Determiare il carattere della serie =2 2 ) si. si Il termie = 0 l 2 = 0 si = l 2 che è covergete. 2, co x > 0. xl 6 V. Lacagia - S. Piraio

17 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti x l = e l l x = ( e l ) l x = l x La serie data è covergete per l x > ossia per x > e, è divergete per l x ossia per 0 < x e. Esercizio 2.6 Determiare il carattere della serie 4 + ( + )! ( + ) + 4! = 4 + 4!. ( + ) + = 4 ( + La serie data è divergete per il criterio del rapporto. Esercizio 2.7 Determiare il carattere della serie ( + ) + (2( + ))! (2)! = = ( + ) ( + ) (2)!. ) 4 e > ( + ) (2)! (2)!(2 + )2 (2) = ( + ) = e + = 0 La serie data è covergete per il criterio del rapporto. 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti tipo 3.. Serie a segi alteri e criterio di Leibiz. Le serie del ( ) predoo il ome di serie a segi alteri. Teorema 3. (Criterio di Leibiz). Sia ( ) ua successioe a termii o egativi, o crescete. Se = 0 allora la serie ( ) è covergete. 2 Ifatti per le proprietà del fattoriale si ha (2( + ))! = (2 + 2)! = (2 + )!(2 + 2) = (2)!(2 + )(2 + 2) V. Lacagia - S. Piraio 7

18 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti Esempio 3. Studiare la serie ( ) + ( ). È u serie a segi alteri. Per stabilire che è covergete dobbiamo verificare se soo vere le ipotesi del criterio di Leibiz. () = = 0 (2) ( ) è o crescete? + + se e solo se + + eleviamo primo e secodo membro ad ( + ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + = + ) Teuto coto che ( + ) < e < 3 la precedete relazioe è verificata 3. Pertato la serie è covergete Esercizi svolti. Propoiamo alcui esercizi svolti. Esercizio 3. Studiare la serie () =2 l = ( ) l ( l ) = 0 (2) + l + l( + ) + l( + ) l ( ) + l( + ) l = l se e solo se ( l + ) è verificata per N. Ifatti ( l + ) + e e e da cui si evice che ( ) è o crescete. La serie data è covergete. 8 V. Lacagia - S. Piraio

19 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti Esercizio 3.2 Studiare la serie a 2 = ( ) + dove è dato da + e a 2 = + + () la successioe è ifiitesima essedo ifiitesime le successioi a 2 e a 2 (2) verifichiamo se è vera la secoda ipotesi del criterio di Leibiz. Impoiamo la codizioe di o cresceza + a 2 a 2 a 2(+) + + ( + ) + La disequazioe di siistra è vera N, verifichiamo se per N (o defiitivamete) la disequazioe di destra è vera elevado al quadrato primo e secodo membro. Essedo la precedete ua relazioe trumeri positivi l operazioe idicato altera il verso della disuguagliaza ossi , maifestamete falsa. No possiamo applicare il criterio di Leibiz i quato la successioe ( ) o è o crescete. Per stabilire il carattere della serie occorre ricorrere alle somme parziali S 2 = 2 k= a k = a a 2 + a 3 a a 2 a 2 = = = k= k + + k + + ( k + )( k + + ) = Passado al ite per S 2 = 2 k= k= 2 k + = k = + k= 2 k = 2 k V. Lacagia - S. Piraio 9 k=

20 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti essedo la serie armoica. Ioltre S 2 = S Ma S 2 = S = + Essedo S 2 e S 2 divergeti a +, possiamo affermare che S diverge a +, per cui la serie data è divergete Serie assolutamete covergeti. Spesso si icotrao serie che presetao ifiiti termii positivi ed ifiiti termii egativi ma che o presetao la struttura ordiata delle serie a segi alteri. Per stabilire la covergeza di tali serie itroduciamo il cocetto di assoluta covergeza. Sia ua serie a termii di sego qualsiasi, cosideriamo la serie, ossia la serie avete per elemeti i valori assoluti degli elemeti della serie data. Dimostriamo che Teorema 3.2. Se la serie è covergete. Dimostrazioe. Suppoiamo che la serie Per il criterio geerale di covergeza segue che è covergete la serie è covergete. ɛ > 0 (ɛ) : > (ɛ), p p < ɛ Teedo coto che, qualuque siao gli iteri e p, sussiste la relazioe p p dalla precedete espressioe segue che ɛ > 0 (ɛ) : > (ɛ), p p < ɛ ossia la serie è covergete. Attezioe: il teorema esprime ua codizioe sufficiete, ossia l essere la sia covergete. covergete o implica che ecessariamete la serie 20 V. Lacagia - S. Piraio

21 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti Esempio 3.2 Cosideriamo la serie ( ), ossia la serie armoica a segi alteri, sappiamo che tale serie è covergete. Se cosideriamo la serie dei valori assoluti ( ) otteiamo la serie che sappiamo essere divergete. Itroduciamo la seguete defiizioe: ua serie serie si dice assolutamete covergete se è covergete la dei valori assoluti dei suoi termii. Evidetemete, per quato detto, ua serie assolutamete covergete è covergete. Ogi serie a termii di sego costate covergete è assolutamete covergete. Si lascia come esercizio di dimostrare che: ua qualsiasi combiazioe lieare di serie assolutamete covergeti è ua serie assolutamete covergete Criteri di covergeza assoluta. Itroduciamo alcui teoremi che foriscoo delle codizioi sufficieti per poter stabilire se ua serie sia assolutamete covergete. Teorema 3.3 (Criterio del cofroto). Data la serie, sia b ua serie assegata a termii positivi. Se N (o defiitivamete) b e se la serie oè assolutamete covergete. b diverge, allora la serie Dimostrazioe. La dimostrazioe è ua cosegueza immediata del teorema del cofroto (2.2) itrodotto a proposito delle serie a termii di sego costate. Essedo la serie ua serie a termii o egativi, per stabilire il carattere si ricorre ai corollari del teorema del cofroto già itrodotti per le serie a termii di sego costate (2.3). V. Lacagia - S. Piraio 2

22 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti Esempio 3.3 Determiare il carattere della serie ( + ) x = ( + ) x, x R. ( + ) x = x Ne segue che la serie data è assolutamete covergete per x <. Nel caso sia x = si ha ( ( + ) ) = + Ne segue che la serie o coverge per x Esercizio x Studiare la serie ( ) 2, x R. Vediamo per quali valori di x la serie è assolutamete covergete x 2, x R Applichiamo il criterio della radice ella forma di ite x 2 = x 2 = x 2 Impoiamo la codizioe di covergeza x < ossia x < 2. 2 Pertato per 2 < x < 2 la serie dei valori assoluti è covergete, per cui per tali valori la serie data è assolutamete covergete e quidi coverge. Per x = 2 la serie data diviee ( ) + che sappiamo essere covergete. Per x = 2 la serie data diviee ( ) + ( ) = che diverge egativamete. = + 22 V. Lacagia - S. Piraio

23 Idice aalitico Carattere di ua serie covergeza, 3 assoluta, 20 divergeza egativa, 3 positiva, 3 idetermiata o oscillate, 3 Combiazioe lieare di serie, 5 Criterio del cofroto, 6 corollario, 7 per l assoluta covergeza, 2 sotto forma di ite, 8 del rapporto o di D Alembert, 3 sotto forma di ite, 4 della radice o di Cauchy, 0 sotto forma di ite, di Leibiz, 7 Fattoriale, 5 Progressioe geometrica, 4 Resto di ordie p di ua serie, 6 Serie a segi alterati, 7 fodametali armoica, 7 armoica geeralizzata, 7 armoica a segi alteri, 2 armoica geeralizzata, 5 di Megoli, 4 geometrica, 4 Somma parziale di ordie, 3 Teorema assoluta covergeza, 20 Cauchy, 5 serie a termii di sego costate, 6 23

24

25 Idice degli esercizi svolti e degli esempi k= k= k (k + ), 4 x k, 4, 7, 5 α 3, 8 l() 3, 9 ( 2 ) +, 9 ) (e 2, 9 l( + ), cos , 0 2, 0, 0 ( ), e, , 2 2 l, 2 ( ) + si (2x), 3 25 =2 =2 =2 2!, 4 (a ) 2 +, 5 (l ) α, 6 ( ) 2 si, 6, 6 xl 4!, 7 (2)!, 7 ( ) + ( ), 8 ( ) l, 8 ( ) +, 9 ( ), 2 ( + ) x, 22 ( ) + x 2, 22

26

27 Idice. Defiizioe di serie 3.. La serie geometrica 4.2. Prima osservazioe 5.3. Secoda osservazioe 5 2. Serie a termii di sego costate Esercizi svolti Criterio della radice e criterio del rapporto Il teorema di Cauchy Esercizi di riepilogo 6 3. Serie co ifiiti termii egativi e serie assolutamete covergeti Serie a segi alteri e criterio di Leibiz Esercizi svolti Serie assolutamete covergeti Criteri di covergeza assoluta 2 Idice aalitico 23 Idice degli esercizi svolti e degli esempi 25 27