Universitá di Roma Tor Vergata

Transcript

1 Uiversitá di Roma Tor Vergata Prof. A. Porretta ) Calcolare i segueti iti: ( ) ( ) cos π + log 4 log( 3 + ) +! e + log ( ) si e si log + ( ) 3 ( ) arctg + log ( ) ! si (log ) 4 log( + e ) ( + )! (!) (!) (arctg ) + log( + 5 ) log( 4 ) ( ) +!

2 ) Calcolare i segueti iti log ( ) si( cos( ) 0 + e ) π 4 0 e log( + ) ( ) π ( ) 4 e (si e ) (si ) cos ( ) log 3 log + si cos si(4) cos log( + e ) cos log () + si log ( si( ) ) 3) Determiare gli evetuali asitoti delle segueti fuzioi el loro domiio di defiizioe. f() = 3 + ( ) f() = arctg 3 3 f() = + 3 f() = f() = e log(3 + ) f() = 4 3

3 4) Se quado tede a 0 ( 0 IR {± }) due fuzioi f() e g() tedoo all ifiito, diremo che g è u ifiito di ordie superiore rispetto a f se si ha che f() g() 0. Disporre i ordie crescete di ifiito le segueti fuzioi: f() = log( + ), g() =, h() = log per + f() = e, g() = e 5, h() = 3 e per + f() = 3, g() = (log ), h() = e per f() =, g() = (e + ) 3, h() = e per + f() = tg 4 + f() = 3 log log, g() = log, h() = e per 0 +, g() = + si 3 + 4, h() = log( + e ) per + 5) Se quado tede a 0 ( 0 IR {± }) due fuzioi f() e g() tedoo a zero, diremo che g è u ifiitesimo di ordie superiore rispetto a f se si ha che g() f() 0. Disporre i ordie crescete di ifiitesimo le segueti fuzioi: f() = si( ), g() = log( + 3 ), h() = + per 0 + f() = arctg, g() = 3 cos, h() = log per 0 + f() = si( + ), g() = e cos, h() = si per 0 + () + ( ) f() = e +, g() = tg, h() = e per f() = log(cos ), g() = 3, h() = si per 0 + ()

4 f() 6) Si ricordi che scriveremo f() g() per 0 se 0 =, metre g() f() f() = o(g()) se 0 = 0. I particolare, o() idica ua qualuque g() quatità che tede a zero. Si dica se le segueti affermazioi soo vere o false: (a) Per +, se f() l (l R), allora f() = l + o(). (b) Per +, se f() a+b allora la retta y = a+b è u asitoto obliquo per f(). (c) Per 0 si ha o( + ) = o(). (d) Per +, si ha o( + ) = o(). (e) Se f(), g() +, e si ha f() g(), allora log(f()) log(g()). (f) Per +, si ha si +. (g) Se f() g(), allora f() = g() + o(). (h) Per 0, se f() = o( 0 ) allora 0 = o( f() ). 7) Dimostrare che se le sottosuccessioi {a } e {a + } dei pari e dei dispari covergoo allo stesso ite l allora si ha che tutta la successioe a coverge a l. a 8) Dimostrare che se + a = l allora si ha a = l. Usare questa affermazioe per risolvere gli ultimi due iti dell esercizio. a 9) Suppoiamo che + a = l. Dire se le segueti affermazioi soo vere o false: (a) Se l [0, ) allora esiste 0 tale che a è decrescete per > 0. (b) Se l [0, ) allora a è decrescete. (c) Se l = allora a. (d) Se l [0, ) allora a 0. (e) Se l = + allora B a (f) Se l > allora a diverge a +. = 0 qualuque sia B IR. 0) Dimostrare che ua successioe a ha ite l se e solo se tutte le sue sottosuccessioi a k hao ite l (si ricordi che a k è ua sottosuccessioe se gli idici k soo strettamete cresceti). Esercizi di approfodimeto

5 ) Dimostrare che se a l allora la successioe delle medie b = a + + a coverge ach essa a l. Mostrare u esempio i cui il viceversa è falso. ) Dimostrare che se (a + a ) = l allora si ha ache a = l 3) Discutere il comportameto delle segueti successioi defiite per ricorreza: { a+ = a a = 3 { a+ = arctg(a ) a = α { a+ = si(a ) a = π { a+ = a a = α dove α IR. 4) Si cosideri la successioe (detta di Fiboacci): e sia b = a + a. Usado la ricorreza { a+ = a + a a = a = b + = + b verificare che le sottosuccessioi b e b + soo, rispettivamete, l ua decrescete e l altra crescete. Dimostrare che b ammette ite e calcolarlo. 5) Sia { a+ = f(a ) a = α IR ua successioe defiita per ricorreza. Si dimostri che se f è crescete allora a ha ite (fiito o ifiito). Nel caso f decrescete cosa si può dire dell adameto di a? Cosa si può dire delle sottosuccessioi a e a +? I quali casi a ha ite? (si cofroti co l esercizio precedete).

6 Risposte: ) (da siistra a destra, dall alto i basso) e ; 3; 3; + ; ; π ; ; ; + ; 0; ; ; ; 0; 0; ; 0; + ; ; ; + ; e. ) (da siistra a destra, dall alto i basso) ; 3; + ; 0; ; ; 0; 3 ; e 3 ; ; e 4 ; 3 ; ; ; e ; 0; 0; +. 3) (da siistra a destra, dall alto i basso) = (asitoto da destra); y = log 3 +, per +, = 0 (da destra) dove 0 è l uica soluzioe dell equazioe 3 + = 0; y = per ± ; = (da siistra), = (da destra), y = per e +, y = e per ; y = 3 per + e y = + 3 per ; = 3 (da siistra); y = per ±. 8 4) f,g,h. h,f,g. f,g,h. g,f,h. g,f,h. f,h,g. 5) h,f,g. g,h,f. f,g,h. f,g,h. g,h,f.