ANALISI MATEMATICA 1. Funzioni elementari

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1 ANALISI MATEMATICA Fuzioi elemetari Trovare le soluzioi delle segueti disequazioi ) x > 8 + 5x 0 ) 5x + 0 > 0, x 4 < 0 3) x x 3 4) x + x + > 3 x + 4 5) 5x 4x x + )x ) 6) x x + > 0, x + 5x + 6 0, x > 5x 7) x + < 4x 8) 3x x < 9) x + < 4 x 0) 5 x 5 x > 0 ) e3x 4 e x e x ) > 0 log x log / x > 0 3) log 5 x + ) > 0 4) si x si x > 0 5) ta x ta x < 0

2 ANALISI MATEMATICA Numeri complessi Determiare la forma algebrica o trigoometrica dei segueti umeri complessi ) i + i + i i ) + i, 3 i 3) + i) 5 i) + i) 4) 3 3i Risolvere le segueti equazioi: ) z i = z + ) z + z = 3) z z z + z = 0 4) z + z + z) = 5) z + i) 4 = 4 6) z 6 iz 3 = 0 7) z 3 = i 8) z 3 = 4 + 4i 9) Trovare le radici dell equazioe complessa 3 z z = 3 + i 3 0) Dire se il seguete sistema di equazioi ammette soluzioi z C { z =, z 3i = ed evetualmete trovarle tutte ) Cosiderato il poliomio pz) = z 4 +z 3 z +z calcolare pi) dopodiché trovare le radici dell equazioe complessa pz) = 0 ) Trovare le soluzioi complesse dell equazioe z ) = 0 3) Sapedo che + i e i soo radici del seguete poliomio complesso pz) = z 5 z 4 + 5z 3 08z + 8z 60, dire se p ammette radici puramete reali e/o puramete immagiarie 4) Dire se l equazioe z + ) 3 = e iπ/4 ammette radici complesse di modulo maggiore di 3

3 3 Calcolare i segueti limiti di successioi: 3 + ) lim ) lim ) lim ) lim + 5 5) lim + + 6) lim ) lim log + 3 8) lim + log 0 + cos 9) lim cos 0) lim + si ) + 4 cos lim + si ) ) lim + 3 3) lim 5 ) + 4) lim + ) + 5) lim 3 ) + 6) lim ) + ANALISI MATEMATICA Esercizi sulle successioi e i limiti

4 4 7) lim + 5 ) + 8) lim ) + 9) lim + ) / + 0) + 5 lim + 6 log + e ) ) lim + + ) lim cos ) si + 3) lim + si π 4) ) 4 ) lim )! 5) lim +! )! 6) lim +!) 7) lim + a dove a = α > 0, a + = + a 8) lim + a dove a = α > 0, a + = a + a ) 9) lim + a dove a =, a + = a + a

5 5 Calcolare i segueti limiti di fuzioi: x x ) lim x 0 + 3x x x ) lim x x x 3 x /3 x / 3) lim x + log x 9 + x 7 loge x + x) 4) lim x 0 log + 3x) 5) lim x + 6) lim x x x x arcta ) x x x x arcta x 7) lim x 0 si x 3 ta x e x/ ANALISI MATEMATICA Limiti di fuzioi

6 6 ANALISI MATEMATICA Esercizi sulle fuzioi cotiue ) Esempi sul Teorema di Weierstrass: a) La fuzioe x x defiita su 0, ) ha massimo ma o ha miimo b) La fuzioe si x ha massimo e miimo el suo domiio c) La fuzioe d) La fuzioe ha massimo ma o ha miimo i R + x x ha massimo e miimo i R + x e) La fuzioe arcta x o ha massimo é miimo i R f) La fuzioe ha massimo e miimo i [, ] [, ] x ) Esempi sul Teorema di esisteza degli zeri e dei valori itermedi: a) L equazioe x 4 x + = k ha soluzioi per k = 0, 4 soluzioi per 0 < k <, 3 soluzioi per k =, soluzioi per k >, essua soluzioe per k < 0 b) L equazioe x = k ha, al variare di k, lo stesso umero di soluzioi dell equazioe precedete c) L equazioe e x = x x + k ha almeo ua soluzioe per ogi k R d) Provare che esiste almeo ua soluzioe i π, π ) dell equazioe ta x + e x 5 = 0 3) Il valore assoluto è ua fuzioe -lipschitziaa 4) La fuzioe si x o è uiformemete cotiua 5) La fuzioe x è uiformemete i [0, + ) ma o è lipschitziaa

7 7 ANALISI MATEMATICA Esercizi sulle derivate ) Calcolare la derivata della fuzioe 3x ) 8 ) Calcolare la derivata della fuzioe ) 3x + log 4x + 3) Calcolare la derivata della fuzioe x x e della fuzioe fx) gx), suppoedo che f e g siao derivabili 4) Calcolare la derivata della fuzioe 3 si x 5) Calcolare la derivata della fuzioe arcsi 9x 6) Defiizioi e proprietà delle fuzioi iperboliche e delle loro iverse 7) Calcolare la derivata della fuzioe fx) = x + 3 x 4 ) 8) Calcolare la derivata della fuzioe arcsi x 9) Scrivere l equazioe della retta tagete al grafico della fuzioe fx) = x + 3x el puto x = Scrivere il vettore ormale e il vettore tagete 0) Calcolare la derivata della fuzioe ) x cos x 0 fx) = x 0 x = 0 ) Studiare la fuzioe fx) = x 3 e x ) Studiare la fuzioe fx) = x log x

8 8 ANALISI MATEMATICA Studi di fuzioi Tracciare i grafici delle fuzioi così defiite ) fx) = x + x x ) fx) = log x x 3) fx) = x x + 4) fx) = 3 x3 x 5) fx) = log x x 3x + 6) fx) = x e x 7) fx) = x x4 6 8) fx) = log x + x x 9) fx) = x log x 0) fx) = log x ) + x x ) fx) = arcta x ) 4x ) fx) = x 3) fx) = x log x log x + log x 4) fx) = 4x x e x/ )

9 9 ANALISI MATEMATICA Uso della formula di Taylor per il calcolo di limiti si x arcta x ) lim x 0 + x α al variare del parametro α R x + x ) lim 3 si x x 0 tax + x ) x 4 + cos x 3) lim x 0 x 8 + x 4 4) lim x 0 six + x ) log + x) 5) lim x 3 x 5x + 6) e x 9) ) 4 x 3x 4) 6) lim x 4 x 5 six + x ) si x x 7) lim x 0 x cos x cos x cossi x) 8) lim x 0 si/x) 9) lim x + xα cos x) + ) x al variare del parametro α R 0) lim x 0 + ) e x cos x x + x x) log si + x) x x six ) lim x 0 log[cos x + ta x] x cos x + log cos x ) lim x 0 + x x log ) x ) ) x

10 0 ANALISI MATEMATICA ) ) 3) logx 4) x 3 dx e x e 4x dx Calcolo di itegrali 4 x + 4x + x + + 4) dx 4) 5) 6) x 4 dx x 3x + 4 dx x x dx 7) Dire se il seguete itegrale è covergete: + x ) + arcta x 3 dx + 3x + 8) 0 + x dx α 4) + 4x + α 9) 0) ) ) 3) 3 π/ 0 π/6 0 + x x dx si 3 x + cos x dx x log + x ) dx si x cos x cos x si x dx ex e dx

11 ANALISI MATEMATICA Esercizi sulle serie ) Studiare la covergeza della serie [ si π + )] log = ) Studiare la covergeza della serie [ si 3) Studiare la covergeza della serie log π cos 4) Studiare la covergeza della serie ta si ) α + ))] )) α > 0) 5) Studiare la covergeza della serie [ si ta + )) ] α α > 0) 6) Studiare la covergeza della serie ) α α > 0) 7) Studiare la covergeza della serie )) log e α > 0) α 8) Studiare la covergeza semplice ed assoluta della serie ) + 9) Studiare la covergeza della serie + ) α + al variare del parametro α > 0 0) Studiare la covergeza della serie [ = si/) ] si /) ) Studiare la covergeza semplice ed assoluta della serie + )! )

12 ) Studiare la covergeza semplice ed assoluta della serie ) cos ) log!) + 3) Studiare la covergeza della serie log ) ) log = 4) Studiare la covergeza semplice ed assoluta della serie ) + x al variare del parametro x R

13 3 ANALISI MATEMATICA Esercizi sulle successioi di fuzioi ) Studiare la successioe di fuzioi f x) = e dire se vale l uguagliaza lim + 0 x 3 + 4, x [0, ] x4 f x) dx = 0 lim f x) dx + ) Studiare la covergeza putuale ed uiforme della successioe di fuzioi defiite su tutto R da ) f x) = + cos x e calcolare π lim f x) dx + 0 Rispodere alle stesse domade el caso f x) = + cos x ) 3) Dopo aver studiato la covergeza della successioe di fuzioi f x) =, x [0, ], x + calcolare il lim + 4) Data la successioe di fuzioi f x) = 0 f x) dx; si poteva prevedere il risultato? + x + x R), studiare la covergeza, calcolare il lim f x) dx e verificare l applicabilità dei teoremi oti sul passaggio al limite sotto il sego d itegrale 5) Studiare la covergeza putuale e uiforme della successioe di fuzioi f x) = six) e x, x R 6) Studiare la covergeza putuale e uiforme della successioe di fuzioi f x) = x x), x R 7) Studiare la covergeza putuale e uiforme della successioe di fuzioi ) f x) = x +)/ x, x > 0 8) Studiare la covergeza putuale e uiforme della successioe di fuzioi f x) = x + x, x R 9) Studiare la covergeza putuale e uiforme della successioe di fuzioi x f x) = + x, x R

14 4 ) Studiare la serie Esercizi sulle serie di fuzioi ) x ) e determiare la somma ) Studiare la covergeza putuale ed uiforme della serie =0! ) x 3x Calcolare la somma 3) Studiare la covergeza putuale ed uiforme della serie Calcolare la somma 4) Studiare la serie + log x) x ) e calcolare la somma 5) Studiare, al variare del parametro α > 0, la covergeza putuale, uiforme e totale della serie di fuzioi x α ) log + x α 6) Studiare la covergeza della serie x ) x e calcolare la somma 7) Studiare la covergeza putuale, uiforme e totale della serie arcta 3 x ) 8) Studiare la covergeza semplice, assoluta, uiforme e totale della serie ) log + x ), x R = 9) Determiare l isieme di covergeza e la somma della serie ) x+ + ; =0 giustificare i passaggi e il sigificato del risultato

15 5 0) Studiare la covergeza putuale ed uiforme della serie ) e x, x R e calcolare la somma ) Calcolare la somma della serie: x + + x ) giustificado i passaggi e precisado l isieme di covergeza ) Determiare gli isiemi di covergeza putuale, assoluta ed uiforme della serie di fuzioi: x + x log 3) Studiare la covergeza semplice, uiforme e totale della serie e calcolare la somma 4) Studiare la serie di poteze 5) Studiare la serie di poteze 6) Studiare la serie di poteze 7) Studiare la serie di poteze 8) Studiare la serie di poteze 9) Studiare la serie di poteze 0) Studiare la serie di poteze x ) x!! x x 5 x!x x + ) + 3 x

16 6 ) Studiare la serie di poteze ) Studiare la serie di poteze x + ) x + 3) 3 3) Sviluppare i serie di Mac Lauri la fuzioe fx) = 3x 4 x ) e studiare la covergeza putuale ed uiforme della serie otteuta 4) Studiare la covergeza putuale ed uiforme della serie ) x + log! Calcolare la somma 5) Studiare la covergeza putuale ed uiforme della serie ) + 4x ) 6) Studiare la serie =0 x ) e calcolare la somma 7) Studiare, al variare del parametro α > 0, la covergeza putuale, uiforme e totale della serie di fuzioi x α log + x α 8) Calcolare l isieme di covergeza della serie x α + x α al variare del parametro α > 0 9) Studiare la covergeza putuale, uiforme e totale della serie di fuzioi x ) x + 30) Studiare la covergeza putuale, uiforme e totale della serie di fuzioi x + 3 x )

17 7 3) Studiare la covergeza putuale, uiforme e totale della serie di fuzioi e x six) x 3) Studiare la covergeza semplice e totale della serie = x )log x + 33) Studiare la covergeza semplice e totale della serie di fuzioi defiita da ) x + log ) x 34) Studiare la covergeza semplice e totale della serie di fuzioi defiita da ) x + x + 35) Studiare la covergeza semplice e totale della serie di fuzioi defiita da e x + x + ) 36) Sviluppare i serie di poteze di puto iiziale 0 la fuzioe x fx) = log 3x 37) Sviluppare i serie di Taylor cetrata el puto x = 0 la fuzioe fx) = log x + 3x + ) 38) Studiare la covergeza semplice e totale della serie di fuzioi defiita da x ) / x + 39) Determiare l isieme di covergeza e la somma della serie si x 40) Sviluppare i serie di Mac Lauri la seguete fuzioe: fx) = logx + + x ), precisado la covergeza della serie otteuta Suggerimeto: utilizzare lo sviluppo i serie della derivata di f) 4) Studiare la covergeza putuale e totale della serie di fuzioi e x, x R x

18 8 4) Sviluppare i serie di Fourier la fuzioe -periodica { x + x < x < 0 fx) = x 0 x e studiare la covergeza della serie otteuta 43) Studiare la serie di Fourier relativa al prolugameto periodico della fuzioe { π+x fx) = x [ π, 0] π x x [0, π] 44) Calcolare la serie di Fourier della fuzioe { +x fx) = < x 0, x 0 < x e precisare la covergeza putuale ed uiforme 45) Determiare la serie di Fourier della fuzioe -periodica defiita i [, ) da fx) = x Precisare il tipo di covergeza della serie trovata 46) Calcolare la serie di Fourier della fuzioe π-periodica defiita ell itervallo [ π, π] da fx) = x e precisare la covergeza putuale ed uiforme Esplicitare el caso i esame l uguagliaza di Parseval 47) Scrivere la serie di Fourier della fuzioe { x 0 x π fx) = π < x < 0 48) Determiare la serie di Fourier della fuzioe periodica di periodo defiita da fx) = x ) x [, [ Dire se tale serie coverge putualmete, assolutamete, uiformemete, totalmete su R Utilizzare il risultato otteuto per calcolare la somma della serie 4 Si può utilizzare il teorema di derivazioe per serie per otteere la serie di Fourier delle derivate della fuzioe f? 49) Calcolare lo sviluppo i serie di Fourier della fuzioe π-periodica defiita da fx) = e x per x π, π) e discutere la covergeza della serie otteuta

19 9 50) Sia f : R R la fuzioe periodica defiita ell itervallo [0, ] da { x x [0, ] fx) = 4 x x [, ] Dire se f è sviluppabile i serie di Fourier e determiare la serie Dedurre dal risultato precedete la somma della serie =0 + ) 5) Sia f : R R la fuzioe periodica defiita ell itervallo [0, ] da { x x [0, ] fx) = x [, ] Dire se f è sviluppabile i serie di Fourier e determiare la serie 5) Sviluppare i serie di Fourier la fuzioe fx) = si x 53) Sviluppare i serie di Fourier la fuzioe π-periodica defiita i [ π, π] da fx) = xπ x ) 54) Sviluppare i serie di Fourier la fuzioe π periodica defiita i [ π, π] da fx) = xπ x ) Utilizzare il risultato precedete e il teorema di derivazioe per serie per calcolare la somma della serie + ) =0 55) Sviluppare i serie di soli cosei la fuzioe f defiita ell itervallo 0 < x < come segue: { x 0 < x fx) = x < 56) Calcolare lo sviluppo i soli sei della fuzioe -periodica defiita da fx) = x per x 0, ) e discutere la covergeza della serie otteuta 57) Sviluppare i serie di soli sei la fuzioe fx) = x, defiita ell itervallo 0 x π 58) Sviluppare i serie di soli sei la fuzioe 4-periodica defiita i [0, [ da fx) = e x e studiare la covergeza della serie otteuta 59) Sviluppare i serie di Fourier di soli sei la fuzioe -periodica defiita i [0, [ da fx) = x x) e, successivamete, precisare gli itervalli di covergeza putuale e uiforme della serie otteuta