ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE

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1 ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE * Tratti dagli appunti delle lezioni del corso di Matematica Generale Dipartimento di Economia - Università degli Studi di Foggia Prof. Luca Grilli Dott. Michele Bisceglia * Copyright 2015

2 INTEGRALI INDEFINITI Consideriamo alcuni esercizi illustrativi delle principali tecniche di risoluzione degli integrali indefiniti, rimandando per una trattazione completa dell argomento a L. Maddalena, Matematica, Giappichelli Editore, pagg Integrazione per sostituzione Consideriamo un integrale nella forma: Ponendo: Si ha: Quindi: Con tale sostituzione possiamo pertanto riscrivere l integrale come: Esercizio 1.1 Ponendo otteniamo, per cui l integrale considerato diventa: Da cui, risostituendo la, si ha immediatamente: 2

3 Esercizio 1.2 Ponendo otteniamo, per cui l integrale considerato diventa: Da cui, risostituendo la, si ha immediatamente: Esercizio 1.3 Ponendo otteniamo, per cui l integrale considerato diventa: Da cui, risostituendo la, si ha immediatamente: Esercizio 1.4 Ponendo otteniamo, quindi si ha che, per cui l integrale considerato diventa: 3

4 Da cui, risostituendo la, si ha immediatamente: Esercizio 1.5 Ponendo otteniamo, per cui l integrale considerato diventa: Da cui, risostituendo la, si ha immediatamente: Esercizio 1.6 Ponendo otteniamo, per cui l integrale considerato diventa: Da cui, risostituendo la, si ha immediatamente: Esercizio 1.7 Ponendo otteniamo, quindi si ha che, per cui l integrale considerato diventa: 4

5 Da cui, risostituendo la, si ha immediatamente: Esercizio 1.8 Ponendo otteniamo, quindi si ha che, per cui l integrale considerato diventa: Da cui, risostituendo la, si ha immediatamente: Esercizio 1.9 Ponendo otteniamo, per cui l integrale considerato diventa: Da cui, risostituendo la, si ha immediatamente: Esercizio

6 Per ottenere un integrale di funzione razionale procediamo con la seguente sostituzione: Da cui si ha: Quindi risulta, ricordando che abbiamo posto : Da cui ricaviamo: Pertanto l integrale di partenza diventa: In conclusione, risostituendo la, abbiamo ottenuto: Notiamo quindi che, come risulta da quest ultimo esempio, gli integrali di determinate classi di funzioni possono essere ricondotti, mediante opportune sostituzioni, al calcolo di integrali di funzioni razionali. 2. Integrazione per parti Formula generale Esercizio 2.1 6

7 Consideriamo e, quindi si ha: e. Applicando la formula otteniamo: Esercizio 2.2 Consideriamo e, quindi si ha: e. Applicando la formula otteniamo: Per risolvere l ultimo integrale procediamo nuovamente per parti. Questa volta, considerando e si ha: e. Pertanto otteniamo: Esercizio 2.3 Consideriamo e, quindi si ha: e. Applicando la formula otteniamo: Per risolvere l ultimo integrale procediamo nuovamente per parti, considerando. Si ha quindi: e. Pertanto otteniamo: e 7

8 Esercizio 2.4 Consideriamo e, quindi si ha: e. Applicando la formula otteniamo: Esercizio 2.5 Consideriamo e, quindi si ha: e. Applicando la formula otteniamo: Esercizio 2.6 Consideriamo e, quindi si ha: e. Applicando la formula otteniamo: 8

9 Esercizio 2.7 Per applicare la formula di integrazione per parti procediamo scrivendo l integrale come: A questo punto possiamo considerare e. Quindi si ha: e, e applicando la formula otteniamo: Da questa serie di uguaglianze segue che: Da cui: Abbiamo quindi trovato la soluzione: 3. Integrazione di funzioni razionali fratte Casi generali ed esempi Caso A Integrali nella forma: Tramite semplici passaggi otteniamo: 9

10 Esercizio 3.1 Caso B Integrali nella forma: Consideriamo dapprima un semplice esempio: Forniamo adesso la formula generale: Esercizio 3.2 Come si vede facilmente risulta soluzione:, pertanto applicando la formula perveniamo direttamente alla Esercizio 3.3 A questo punto possiamo risolvere il primo integrale per sostituzione; mentre il secondo integrale rientra nel caso ora esaminato, dato che risulta. In conclusione avremo: 10

11 Esercizio 3.4 A questo punto possiamo risolvere il primo integrale per sostituzione; mentre il secondo integrale rientra nel caso ora esaminato, dato che risulta. In conclusione avremo: Caso C Integrale di funzione razionale fratta qualsiasi con il numeratore di grado minore rispetto al denominatore: dove e sono due polinomi rispettivamente di grado ed. In questo caso se è stato scomposto in fattori primi risulterà scritto come il prodotto tra 3 tipi di polinomi: Polinomi di grado :, se è radice semplice (ossia di molteplicità 1) del polinomio Polinomi di grado :, con, se il polinomio ammette radici complesse coniugate Polinomi di grado :, se è radice di molteplicità del polinomio. Considerando degli esempi si comprende come, una volta effettuata la scomposizione di, è possibile ricondurre l integrale di partenza a integrali risolvibili con le tecniche note. (Per semplicità non consideriamo il caso in cui ci siano polinomi di secondo grado con elevati ad una potenza -esima). Esercizio 3.5 In questo esempio come si vede il polinomio al denominatore ammette due radici semplici. Possiamo quindi scrivere la funzione integranda come somma di due funzioni facilmente integrabili: si tratta semplicemente di determinare due numeri reali A e B tali che: 11

12 Risolvendo il sistema che si ottiene applicando il principio di identità dei polinomi: Si perviene alla soluzione: Per cui l integrale di partenza diventa: Esercizio 3.6 In questo esempio il polinomio al denominatore è già scomposto, e come si vede ammette una radice semplice e due radici complesse coniugate. Per trasformare questo integrale nella somma di integrali immediati o risolvibili per sostituzione occorre determinare i valori di A, B, C tali che: Si tratta quindi di risolvere il sistema che si ricava applicando il principio d identità dei polinomi: Le cui soluzioni sono: Per cui l integrale di partenza diventa: Esercizio

13 In questo esempio il polinomio al denominatore ammette una radice semplice ed una di molteplicità 3. Per ottenere la funzione integranda scritta come somma di integrali immediati o risolvibili con semplici sostituzioni bisognerà determinare i valori di A, B, C, D tali che: Calcolando la derivata si ha: Da cui, svolgendo i calcoli, si ottiene: Quindi i valori incogniti sono la soluzione del sistema (ottenuto dall applicazione del principio di identità dei polinomi): Che ammette la soluzione: Abbiamo quindi ottenuto: Riassumendo quanto visto negli esempi precedenti, per trasformare una funzione razionale fratta qualsiasi con numeratore di grado minore rispetto al denominatore nella somma di integrali immediati o risolvibili con semplici sostituzioni, occorre applicare la scomposizione di Hermite, ossia scrivere la funzione integranda come la somma dei seguenti termini:, per ogni radice semplice del polinomio 13

14 , per ogni coppia di radici complesse coniugate di, dove è un polinomio di grado, per ogni radice di molteplicità del polinomio. Quindi, sfruttando il principio di identità dei polinomi, ossia imponendo l uguaglianza tra e la somma delle espressioni ottenute applicando la scomposizione di Hermite, ricaviamo un sistema che ci consente di determinare le costanti (A, B, ) che compaiono nella formula. Infine (applicando la proprietà di linearità degli integrali) risolviamo gli integrali così ottenuti, che risulteranno immediati o risolvibili mediante una semplice sostituzione. Caso D Integrale di funzione razionale fratta qualsiasi con il numeratore di grado maggiore o uguale rispetto al denominatore: dove e sono due polinomi rispettivamente di grado ed. In questo caso si procede con la divisione tra i due polinomi, ottenendo come quoziente un polinomio di grado e come resto un polinomio di grado compreso tra e. Poiché risulta ovviamente: L integrale di partenza diventa: dove il primo è un semplice integrale di un polinomio e il secondo è l integrale di una funzione razionale fratta con numeratore di grado minore rispetto al denominatore, essendo, risolvibile con le tecniche esaminate nei casi precedenti. Esercizio 3.8 Effettuiamo la divisione tra il polinomio al numeratore e quello al denominatore: 14

15 Abbiamo quindi ottenuto come quoziente e come resto. Possiamo quindi scrivere il nostro integrale come la somma dell integrale del quoziente e di quello del resto fratto il divisore, pervenendo alla soluzione con semplici passaggi: Esercizio 3.9 Considerando e si ha e. Possiamo quindi integrare per parti ottenendo: L ultimo integrale rientra nel caso qui esaminato, pertanto applichiamo la divisione tra i polinomi: Abbiamo quindi ottenuto come quoziente e come resto, per cui si ha: Abbiamo quindi scritto l integrale considerato come la somma di un integrale immediato e di uno risolvibile con una semplice sostituzione. Quindi, in conclusione, la soluzione dell integrale di partenza è: 15

16 INTEGRALI DEFINITI Gli integrali definiti si risolvono utilizzando le tecniche sopra esposte per gli integrali indefiniti, applicando infine il Teorema fondamentale del calcolo integrale: Ci limitiamo qui a considerare semplicemente alcuni esempi, mentre per una trattazione completa degli integrali definiti rimandiamo ancora a L. Maddalena, Matematica, Giappichelli Editore, pagg Esercizio 1 Esercizio 2 Con una semplice sostituzione si ricava: Esercizio 3 Integrando per parti otteniamo: Esercizio 4 Si tratta di un integrale di funzione razionale fratta di cui al Caso B, poiché si ha applicando la formula data si ha:. Pertanto 16

17 Esercizio 5 Risolvendo i due integrali così ottenuti mediante semplici sostituzioni si perviene alla soluzione: Esercizio 6 Procediamo per sostituzione: ponendo si ha, cioè, ossia ; inoltre con il cambio di variabile cambiano anche gli estremi di integrazione: partenza diventa:. Pertanto l integrale di Abbiamo quindi una funzione integranda razionale fratta con denominatore di grado minore rispetto al denominatore; il denominatore è già scomposto in polinomi non ulteriormente decomponibili in e, come si vede, ammette una radice semplice e una coppia di radici complesse coniugate. Per cui si tratta di determinare i valori di A, B, C imponendo l uguaglianza: Svolgendo i calcoli si perviene alla soluzione: Da cui si arriva facilmente alla soluzione (visto che si tratta di integrali immediati o risolvibili con una semplice sostituzione): In alternativa è possibile risolvere per sostituzione l integrale indefinito, poi risostituire nella soluzione trovata la e applicare infine il teorema fondamentale del calcolo integrale per calcolare l integrale 17

18 definito desiderato (utilizzando quindi gli estremi di integrazione originari) pervenendo allo stesso risultato mediante i passaggi seguenti: Esercizio 7 Notiamo che la funzione integranda è dispari, ossia (perché al numeratore abbiamo il prodotto tra una funzione pari e una dispari, ossia una funzione dispari, e al denominatore una funzione elementare che ha come argomento un valore assoluto, quindi una funzione pari), e l intervallo di integrazione è del tipo, per cui l area sottesa al grafico della funzione tra e è uguale ma di segno opposto all area compresa tra - e, quindi l integrale considerato vale. Esercizio 8 L ultima uguaglianza segue poiché la funzione integranda è pari, ossia (poiché data dal prodotto di due funzioni pari), e l intervallo di integrazione è del tipo, per cui l area sottesa al grafico della funzione tra e è uguale (e di segno uguale) all area compresa tra e. A questo punto, risolvendo l integrale con una semplice sostituzione otteniamo la soluzione: 18