3 Equazioni e disequazioni.

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1 3 Equazioni e disequazioni. 3. Equazioni. Una equazione algebrica è un uguaglianza tra espressioni letterali soddisfatta per alcuni valori attribuiti alle lettere che vi compaiono. Tali valori sono detti soluzioni dell equazione. 3.. Equazioni di primo grado. Una equazione in una variabile x si dice intera di primo grado se può essere ricondotta alla forma normale ax + b =0 con a, b R: se a 0 ammette un unica soluzione in R, x = b a, se a =0 e b 0 non ha soluzioni, se a = b = 0 ammette come soluzione qualsiasi valore reale. 3.. Equazioni di secondo grado. Una equazione in una variabile x si dice intera di secondo grado se può essere ricondotta alla forma normale ax +bx+c =0cona, b, c R, a 0. Le due soluzioni dell equazione possono essere ottenute applicando la seguente formula risolutiva: x, = b ± b 4ac a La quantità b 4ac viene detta discriminante dell equazione e si ha che se b 4ac > 0 le due soluzioni sono distinte se b 4ac = 0 le due soluzioni sono coincidenti se b 4ac < 0 non ci sono soluzioni reali (le soluzioni sono complesse coniugate). Casi particolari:. b = 0: equazione pura ax + c = 0; ha soluzioni x = ± c a a sono discordi, altrimenti non ha soluzioni reali se c ed

2 . c = 0: equazione spuria ax + bx = 0; ha sempre le soluzioni x =0 ed x = b a Scomposizione di trinomi di secondo grado Dato un trinomio di secondo grado ax + bx + c, è possibile scomporlo utilizzando le soluzioni dell equazione di secondo grado associata ax +bx+ c =0. Se x,x sono le soluzioni dell equazione, si ha che ax + bx + c = a (x x )(x x ) Se l equazione associata non ha soluzioni, il trinomio è irriducibile. Esempio x +3x +=(x +) ( x + ) =(x + )(x +) Equazioni di grado superiore al secondo. Per equazioni di grado superiore al secondo non esistono formule risolutive semplici come nel caso delle equazioni di secondo grado (formule algebriche, sebbene molto complicate, esistono per equazioni di terzo e quarto grado). Il metodo più utilizzato per risolvere tali equazioni è scomporre il polinomio (spesso con il metodo di Ruffini, v. esercizio 0 sezione ) ed utilizzare la legge di annullamento del prodotto. Esempio L equazione x 3 x +4x 3 = 0 può essere risolta scomponendo il polinomio con il metodo di Ruffini ottenendo (x )(x x +3). Quindi x = è soluzione, le altre due si otterrebbero applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado a x x + 3 = 0: tale equazione però non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è negativo. Quindi x = è l unica soluzione reale dell equazione. In alcuni casi particolari le soluzioni possono essere ottenute per via più semplice. equazioni binomie: ax n + b =0 se n è dispari hanno un unica soluzione reale x = n b a se n è pari, hanno soluzioni x = ± n c a altrimenti non hanno soluzioni reali se c ed a sono discordi,

3 . equazioni trinomie: ax n + bx n + c = 0, si risolvono effettuando la sostituzione y = x n, trasformando così l equazione di grado n in una di secondo grado, le cui soluzioni y ed y si ottengono con la formula risolutiva. Le soluzioni dell equazione data si ottengono risolvendo le due equazioni binomie x n = y ed x n = y. Esempio Risolvere la seguente equazione: 8x 6 =0. L equazione è binomia di grado pari. Le soluzioni si ottengono da 8x 6 =, x 6 = 64, x = ± 6 64, x = ±. Esempio Risolvere la seguente equazione: x 6 8x 3 +7=0. L equazione è trinomia di grado 6. Le soluzioni si ottengono mediante la sostituzione x 3 = y che conduce all equazione di secondo grado y 8y + 7 = 0 che ha come soluzioni y, = 8± 8 4(7) y = ed y = 7. Per ottenere le soluzioni dell equazione data occorre ora risolvere le due equazioni trinomie x 3 =edx 3 = 7 che hanno come soluzioni rispettivamente x = edx = Disequazioni. 3.. Disequazioni di primo grado. Una disequazione di primo grado può essere ricondotta ad una delle seguenti forme ax + b>0,ax + b<0, ax + b 0, ax + b 0. Come esempio, risolviamo i seguenti casi: ax + b>0 se a>0 x> b a se a<0 x< b a ax + b 0 se a>0 x b a se a<0 x b a 3

4 Si può osservare che è sufficiente cambiare il verso della disequazione se a è negativo. Esempio x +< 0 x > 0 x>. 3.. Disequazioni di secondo grado. Una disequazione di secondo grado può essere risolta con l ausilio della rappresentazione grafica della parabola associata al polinomio di secondo grado (cfr. capitolo 7). Occorre ricordare che la parabola associata ad ax + bx + c è rivolta verso l alto se a>0, ed è rivolta verso il basso se a<0 le soluzioni dell equazione di secondo grado associata sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l asse x le soluzioni della disequazione sono le ascisse dei punti della parabola che si trovano nel semipiano di ordinate positive (cioè sopra l asse x) se la disequazione è ax + bx + c>0, nel semipiano di ordinate negative (cioè sotto l asse x) se la disequazione è ax + bx + c<0. Esempio Risolvere la disequazione x +4x 3 > 0. Le soluzioni dell equazione associata x +4x 3=0sonox =edx =3 perciò la parabola y = x +4x 3 interseca l asse x nei punti di ascissa e3rispettivamenteedè rivolta verso il basso, poiché ilcoefficientedel termine di secondo grado è negativo. 0 x Essendoil versodella disequazione maggiore, la disequazione è soddisfatta dalle ascisse dei punti della parabola che si trovano sopra l asse delle x, quindi la soluzione è <x<3. 4

5 Esempio Risolvere la disequazione x + x L equazione associata x +x+3 = 0 non ha soluzioni reali perciò la parabola y = x + x + 3 non interseca l asse x ed è rivolta verso l alto poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo y 0 x Essendo il verso della disequazione minore o uguale, la disequazione èsoddisfatta dalle ascisse dei punti della parabola che si trovano sotto o sull asse delle x, quindi poiché la parabola giace nel semipiano delle ordinate positive la disequazione non ha soluzioni Disequazioni di grado superiore al secondo. Disequazioni fratte. Analogamente alle equazioni di grado superiore al secondo (vedi 3..4) il metodo più efficace per risolvere disequazioni di grado superiore al secondo è scomporre il polinomio e studiare separatamente i segni dei singoli fattori ed ottenere il segno complessivo secondo la regola del prodotto dei segni. Tale metodo è utilizzato anche per determinare il segno di una frazione, studiando separatamente i segni di numeratore e denominatore. Esempio Risolvere la disequazione fratta x x 0. Occorre studiare separatamente i segni di numeratore e denominatore. Si risolvono le disequazioni N : x 0 e D : x>0, che hanno rispettivamentecomesoluzionix ex<. I risultati ottenuti indicano gli intervalli in cui rispettivamente il numeratore ed il denominatore sono positivi. Lo schema seguente riassume i risultati ottenuti, e l ultima riga

6 (ottenuta con la regola del prodotto dei segni) fornisce il segno della frazione: N + + D + + N/D + poiché la disequazione è soddisfatta se la frazione è negativa o nulla, le soluzioni sono x x>. Esercizi.. Determinare il valore da attribuire al parametro k affinché l equazione kx +(k +)x +3=0 ammetta come soluzione x =. Facendo riferimento al concetto di soluzione di un equazione (valore che sostituito all incognita rende l uguaglianza un identità ) occorre sostituire ad x il valore : si ottiene k +(k +)+3 = 0 che è un uguaglianza per k = (il valore si ottiene risolvendo l equazione in k,k +4=0).. Risolvere la seguente equazione x 3 + x 0x +8=0. Il polinomio di terzo grado è scomponibile con la regola di Ruffini (v. esercizio 0 sezione ) e si ottiene (x )(x +x 8) = 0. Le soluzioni sono perciò x = e le due soluzioni dell equazione di secondo grado x = ed x = Risolvere la disequazione 4x 6 0. Le soluzioni dell equazione associata sono x = ±, la parabola èrivolta verso l alto, le soluzioni della disequazione sono le ascisse dei punti della parabola che si trovano sopra o sull asse x cioè x 0 x x. 6

7 4. Risolvere la disequazione x +0x 0. Le soluzioni dell equazione associata sono coincidenti: x = (cioèla parabola è tangente all asse delle x). La parabola èrivoltaversoil basso, le soluzioni della disequazione sono le ascisse dei punti della parabola che si trovano sopra o sull asse x cioè 0 x y il solo valore x =.. Risolvere la disequazione x x +0x < 0. Il numeratore è maggiore di zero per x 0, il denominatore èsempre negativo (vedi es. precedente) tranne per x = quindi si ottiene il diagramma 0 N D N/D La disequazione è perciò verificata per ogni valore di x esclusi 0 e (in corrispondenza dei quali la frazione rispettivamente è nulla oppure non definita). 6. Risolvere la disequazione x 3 6x +x 6 > 0. Mediante la regola di Ruffini (v. esercizio 0 sezione ) si può scomporre il polinomio in (x )(x x + 6). Il primo fattore è positivo per x>, il secondo per x< x>3. Si ha quindi il seguente diagramma 3 F F prod + + La disequazione x 3 6x +x 6 > 0 è perciò soddisfatta negli intervalli in cui il prodotto è positivo cioè <x< x>3. 7. Data l equazione 4kx +k 7 3 =0, determinare i valori di k per cui non ha soluzioni [k =0] 7

8 ha soluzione nulla ha soluzione x = 8. Risolvere le seguenti equazioni: x 3x =0 9x =0 ( x ) x = [ ] k = 7 6 [ ] k = 7 8 [ x =0;x = 3 ] [ ] x = ± 3 ( x + ) [x = ±] a (a 3x) 9. Data l equazione (x 3) (x +3)+ = x 7, determinare i valori del parametro a per cui si hanno due soluzioni uguali [a = 6] una soluzione ènulla [a = ±] non esistono soluzioni reali [nessun valore di a] le due soluzioni sono positive [a >] Si ricordi che condizione necessaria e sufficiente affinchè si abbiano due soluzioni coincidenti è = 0, mentre non esistono soluzioni reali se e solo se < Risolvere le seguenti disequazioni: 3x ( x)(+x) 3 <x 6 + +x [0 <x<6] x +8x 7 0 [x x 7] 3x x +< 0 [ ] x 8x +6> 0 [x 4] x x +3 < x 8 [ 3 <x<3 x>3] x 3. Risolvere le seguenti equazioni: [ ] x 4 +99x 4=0 ± [ 8x 6 7x 3 +7=0, 3] x 6 8 = 0 [±]. Risolvere le seguenti disequazioni: x 4 6 < 0 x 3 + x 0x +8< 0 [ <x<] [x< 4 <x<] 8