Espressioni algebriche: espressioni razionali

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1 Espressioni algebriche: espressioni razionali definizione: Il rapporto fra due polinomi si dice espressione razionale. Le espressioni razionali in una sola variabile si scrivono nella forma generale esempio: 5 6x + 3x 4 2x + x 7, x x 4, a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a n x n b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b m x m = P(x) Q(x) 2 3 x 2, x 2 + x 3 sono espressioni razionali sin x x 2, 2 x 1 non sono espressioni razionali x + 6

2 Espressioni algebriche: espressioni razionali osservazione: A differenza di monomi i polinomi, le espressioni algebriche non ammettono valori arbitrari di x esempio: Si consideri l espressione algebrica 2 x 5. Sostituendo alla variabile x il valore numerico x = 5, si ottiene 2 0. Quest operazione che non ha alcun significato! definizione: Il dominio di esistenza di un espressione razionale P(x) è l insieme di tutti i valori della variabile x per cui risulta Q(x) Q(x) 0 In altre parole, il dominio di esistenza indica quali valori numerici possiamo attribuire alla variabile x affinché l operazione numerica P(x) : Q(x) sia possibile. 2 esempio: Il dominio di esistenza dell espressione razionale x 5 è l insieme R \ {5} = {x R : x 5}.

3 Espressioni algebriche: espressioni razionali In generale, per determinare il dominio di esistenza bisogna risolvere l equazione (polinomiale) Q(x) = 0. Torneremo su questo argomento nelle prossime lezioni.

4 Espressioni algebriche: operazioni Come si definiscono le operazioni di somma/differenza e prodotto/divisione fra espressioni algebriche? Non c è nulla di nuovo: sono le solite operazioni fra numeri reali. Bisogna applicare le proprietà esercizio: Calcolare (3 x) (x + 23 ) x 2 + x x 2 = 1 + 3x 2 x 5 x = 1 + 3x 4 x 2 + x 1 2x + x 2 = 2 x (1 x) 1 3x + 3x 2 x 3 + x 1 2x + x 2 =

5 Espressioni algebriche: operazioni Iter consigliato per maneggiare le espressioni algebriche frazionarie: Fattorizzare i polinomi a denominatore (ed eventualmente a numeratore) Individuare il dominio di esistenza (è più facile dopo aver fattorizzato!) Semplificare (se possibile) Individuare il denominatore comune Scrivere l espressione con il denominatore comune Calcolare le somme/differenze (eventualmente) Fattorizzare il polinomio ottenuto a numeratore e procedere con ulteriori semplificazioni (se possibile)

6 Espressioni algebriche: fattorizzazione di polinomi Fattorizzare un polinomio = scomporlo nel prodotto di più polinomi di grado inferiore (e quindi più maneggevoli) Vedremo 3 tecniche per farlo: Raccoglimento a fattore comune Riconoscimento di prodotti notevoli Alcuni trinomi di secondo grado

7 Espressioni algebriche: fattorizzazione di polinomi Raccoglimento a fattore comune Si tratta di individuare quei termini che dividono ogni monomio presente e metterli in evidenza esercizio: Fattorizzare 4x 3 + 8x 2 32x = x (x + 1) (x 2) + x 2 (x 1) (2 x) = Talvolta è preferibile procedere per raccoglimenti parziali esercizio: Fattorizzare 2x 6y + 3xy x 2 =

8 Espressioni algebriche: fattorizzazione di polinomi Riconoscimento di prodotti notevoli quadrato del binomio: a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2 cubo del binomio: a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = (a ± b) 3 differenza di quadrati a 2 b 2 = (a + b) (a b) somma/differenza di cubi a 3 ± b 3 = (a ± b) (a 2 ab + b 2 ) esercizio: Fattorizzare x x = 9x 4 16 = x 6 1 = κ 6 6κ 4 x + 12κ 2 x 2 8x 3 = x 3 8 x 2 + 2x =

9 Espressioni algebriche: fattorizzazione di polinomi Alcuni trinomi di secondo grado ax 2 + bx + c = a (x x + ) (x x ) dove x ± = b ± b 2 4ac 2a sono le radici dell equazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0. In pratica, dovrò calcolare il discriminante = b 2 4ac: se > 0, calcolo le radici dell equazione e applico la formula se = 0, applicando la formula ritrovo il quadrato del binomio se < 0 il trinomio assegnato è irriducibile esercizio: Fattorizzare x 2 3x + 2 = x 2 + 6x + 9 = 3x 2 + 2x 1 = x 2 3x + 10 = 2x 4 3x =

10 Espressioni algebriche: esercizi di riepilogo esercizio: Semplificare ( 1 x + 2 x ) x 2 x 3 8 = 4 x ( x x ) x x 2 : 1 x 2 + x 2 = ( 2x 3 9x x 9 x 2 + 9) : 2x 3 = + 1 x 2 ( 3x x + 3 x + 9 x 3 + 2x 2 15x 1 ) x 2 = 9

11 Equazioni di 1 grado ax + b = 0 dove a e b sono numeri reali fissati x è l incognita del problema esempio: 3x + 2 = 0 2x = 1 5x = 0 Formula risolutiva x = b a se a 0 c è un unica soluzione (eq. determinata) x = b a se a = 0 e b 0 non ci sono soluzioni se a = 0 e b = 0 ogni valore di x è soluzione (eq. impossibile) (eq. indeterminata)

12 Disequazioni di 1 grado ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0 esempio: 3x + 2 > 0 2x < 1 5x 0 Formula risolutiva per ax + b > 0 se a > 0 soluzione: x > b a o x ( b a, + ) se a < 0 soluzione: x < b o x (, b a a ) se a = 0 e b > 0 soluzione: ogni valore di x o x R se a = 0 e b 0 soluzione: nessun valore di x o x

13 Equazioni di 2 grado dove ax 2 + bx + c = 0 a, b e c sono numeri reali fissati (a 0) x è l incognita del problema esempio: 3x 2 + x 2 = 0 x 2 + 2x = 1 5x 2 + x = 0 Formula risolutiva x ± = b ± b 2 4ac 2a se = b 2 4ac > 0 ci sono due soluzioni: x + = b + b 2 4ac, x = b b 2 4ac 2a 2a se = b 2 4ac = 0 c è una soluzione: x = b 2a se = b 2 4ac < 0 non ci sono soluzioni

14 Disequazioni di 2 grado ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 esempio: 3x 2 + x 2 > 0 x 2 + 2x 1 5x 2 + x < 0 Formula risolutiva per ax 2 + bx + c > 0 se a > 0 soluzione: x < x o x > x + o, anche, x (, x ) (x +, + ) se a < 0 soluzione: x + < x < x o, anche, x (x +, x ) Motivazione: Dalle formule di fattorizzazione sappiamo che ax 2 + bx + c = a (x x ) (x x + ). La formula risolutiva si ottiene dunque attraverso la regola del segno. Risolvere x 2 + 6x 9 0

15 Alcune equazioni/disequazioni particolari Sistemi di disequazioni: la soluzione del sistema è data dall intersezione fra le soluzioni delle singole disequazioni { x esercizi: 2 { 9 0 x 2 2x + 1 > 0 x + 1 > 0 x x 2 0 Equazioni e disequazioni biquadratiche: sostituzione t = x 2 esercizi: x 4 + x 2 12 = 0 x 4 4x 2 0 Equazioni e disequazioni di grado abbassabile: mediante fattorizzazione si risolvono mediante la si risolvono esercizi: x 3 4x 3 5x = 0 4x 5 x 3 < 0

16 Equazioni frazionarie

17 Disequazioni frazionarie