DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Le disequazioni di secondo grado intere si presentano nella forma (o equivalgono ad essa):

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1 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO DISEQUAZIONI INTERE DI SECONDO GRADO Le disequazioni di secondo grado intere si presentano nella forma (o equivalgono ad essa): ax + bx + c Può essere conveniente, anche se non necessario, che il coefficiente del quadrato di x sia positivo per cui, nel caso che la disequazione abbia coefficiente negativo, si può cambiarne il segno moltiplicando per - e cambiando contemporaneamente il verso al simbolo di diseguaglianza, come nell'esempio che segue. > < 0 Esempio: + + x 0x 0 x 0x 0 La strategia risolutiva prevede due approcci: il metodo grafico, basato sulla rappresentazione della parabola associata al trinomio, e il metodo algebrico basato sui segni della scomposizione in fattori de trinomio. In entrambi i casi occorre preliminarmente calcolare il discriminante ed eventualmente risolvere l'equazione di secondo grado che è associata alla disequazione.

2 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. Metodo grafico. Si segue la procedura sotto descritta: Disegno del grafico della parabola che deve passare per le eventuali intersezioni asse x. Individuazione degli intervalli di segno positivo, dove il grafico è sopra l'asse x (y>0), e di quelli di segno negativo dove il grafico si trova sotto l'asse x (y<0). Scrittura degli intervalli della soluzione. Esempi: risolvere le disequazioni con metodo grafico. a) x + x 0 - Equazione associata: x + x = 0 discriminante : = = ± soluzioni : x= ( ) Grafico della parabola parabola y= x + x intersezioni asse x: A,0 e B,0 concavità verso l'alto = ( ) ( )

3 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S x + x Soluzione. Intervallo di valori (y b) x + x + > 0 - Equazione associata: x + x + = 0 = = ± x = = ( ) Grafico della parabola y= x + x + intersezioni asse x: A,0 e B,0 concavità verso il basso 0) in cui il grafico ( ) ( ) [ ] si trova sotto oppure sull'asse x : S -,

4 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. - x + x + > Soluzione. L'intervallo è quello dei valori di y > 0 ] [ in cui il grafico sta sopra l'asse x : S -, c) -x + x < 0 Equazione associata: ( ) x + x = x x = x = - grafico della parabola = ( ) B ( ) intersezioni asse x : A 0,0 e,0 concavità verso il basso. -x + x < y x x ] [ ] [ - Soluzione (y < 0) : S -,0 U,

5 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. d) x 0 Equazione associata: x = 0 x = x = ± = ± Grafico: y= x parabola concava verso l'alto intersezioni asse x: A,0 e B,0 x Soluzione (y < 0) : S -, U, = = = e) x x + 0 Equazione associata: x x + = 0 0 x Grafico della parabola: y = x x + Concavità verso l'alto ( ) Intersezioni asse x: A,0

6 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S x Soluzione ( y 0 ) : S { } f) - x + x 0 Equazione associata: - x + x = 0 = ( ) = < Intersezione asse y: C 0,. Vertice V, - 0 nessuna intersezione asse x - Grafico della parabola: y = - x + x ( ) ( ) - x + x Soluzione (y 0) : S { Φ }

7 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. g) x x + < 0 Equazione associata: x x + = 0 = = < 0 nessuna intersezione asse x - Grafico della parabola: y = x x + ( ) ( ) Intersezione asse y C 0,. Vertice V, Concavità verso l'alto. x - x + < Soluzione ( y < 0 ) : S { Φ } h) x + x < 0 Equazione associata: x + x = 0 = ( ) = 0 x = Grafico della parabola: y = x + x Intersezioni asse x: A,0 Concavità verso il basso.

8 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. - x + x - < { } - Soluzione (y < 0) : R - = -, U,

9 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. Metodo algebrico: si basa sulla scomposizione del trinomio, calcolando prima le soluzioni della sua equazione di secondo grado associata, poi riconducendo la risoluzione a due disequazioni di primo grado: per ciascuno dei due binomi di primo grado si disegna una barra orizzontale del loro segno positivo e la soluzione viene ottenuta graficamente in una terza barra che riporta il prodotto dei segni dei binomi: al simbolo di maggiore della disequazione corrisponde la soluzione dei segni positivi e al simbolo minore quella dei segni negativi. Quando il discriminante dell'equazione associata non è negativo ed il coefficiente quadratico è positivo, abbiamo una o due soluzioni e, di conseguenza, la soluzione della disequazione è data dai due intervalli definiti dall'ultima barra grafica in basso.

10 P. 0\ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. ax bx c ac + + 0, a>0, =b 0 Equazione associata: ax + bx + c = 0 b b + x =, x = a a Trinomio scomposto: ( ) ( ) ax + bx + c = a x x x x Barre dei segni: ( ) ( ) ax bx c x x x x ; a> x x x 0 - x x 0 x - x x ] ] [ [ Soluzione:,x x, La soluzione della disequazione è costituita da intervalli di numeri reali che includono i loro estremi nel solo caso in cui la disequazione, come mostrato nell'esempio riportato sotto, contiene anche il simbolo di uguaglianza (minore o uguale oppure maggiore o uguale). Esempio:

11 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. x 0x + 0 Equazione associata: x 0x + = 0 = = > x = =, x = = ( ) Trinomio scomposto: x 0x + = x x Barre dei segni: x x x - 0x Soluzione :, [, [ U Quando il discriminante è nullo oppure negativo occorre considerare un diverso modo di riscrivere il trinomio di secondo grado. Infatti, in ogni caso, il trinomio si può anche scrivere come: b + + = + a a ax bx c a x In questo modo, considerato che il quadrato è sempre positivo o nullo, si riconosce il fatto che il segno del trinomio che abbia il discriminante nullo oppure negativo è sempre lo stesso di quello del suo primo coefficiente per qualunque intervallo di valori reali della variabile x. Vediamo ora altri esempi. Esempio. Risolvere algebricamente le disequazioni:

12 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. a) x x + > 0 ; primo coefficiente a=>0 = = < + > 0 x x 0 x R ( ) ( ) ] [ Soluzione: R=, b) -x + x 0 ; primo coefficiente a=-<0: = + = = =- 0 : -x x 0 x -x + x 0 x = { } Soluzione: S= c) - x + x > 0 ( ) Soluzione: S = - = < 0 - x + < 0 { Φ } ; primo coefficiente a=- <0 x x R Esercizi da svolgere: ) x + > 0 S. [ x ] < < ) x + x + 0 S. x ) x + x > 0 S. x < x > ) x x + 0 S. x ó ). x x + > 0 S. x < x >

13 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. DISEQUAZIONI FRATTE Sono disequazioni costituite o equivalenti a frazioni algebriche nelle quali al denominatore compare la x con termini di primo o secondo grado. Vengono risolte utilizzando la stessa tecnica delle intere e valutando il prodotto dei segni di numeratore e denominatore, con la sola differenza di evitare di dare alla x dei valori che annullano i denominatori per mezzo delle condizioni di esistenza (CE). Se al numeratore oppure al denominatore compaiono polinomi di grado superiore al primo si proverà a scomporli in fattori di primo o di secondo grado per poi attribuire a ciascuno di essi i propri intervalli di segno con le barre grafiche. La barra più in basso contiene quindi il prodotto di tutti i segni e quindi la soluzione stessa: intervalli positivi per disequazioni con simbolo > e intervalli negativi per quelle con simbolo <. Seguono due esempi.

14 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. x + a) 0 ; CE: x x x+ 0 x x->0 x> - S ( 0 ) S=, ], [ U x x x x b) > > 0 > 0 x + x + x + x x = x + x ( ) Numeratore : x x = 0 ± = ( ) = x = = x x ( ) + > 0 x > - - > 0 x > - x + > 0 x > - - S: < x < U x> S, ], [ U Esercizi da svolgere: x- ) 0 ; S= ], ] x + ) x ; S= [,0 [ U [, [ x + ) ; S=,, x x + ] ] U ] ]

15 P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. SISTEMI DI DISEQUAZIONI I sistemi sono degli insiemi di disequazioni delle quali si deve trovare la soluzioni comune ovvero ciò che si chiama l'intersezione delle soluzioni. In altri termini tutte le disequazioni che compongono un sistema devono essere soddisfatte conteporaneamente. La procedura da utilizzare è la seguente: - Si risolvono le singole disequazioni. - Ogni soluzione si pone in una barra grafica. - Si determina la soluzione del sistema nella ultima barra grafica, data dall'intersezione delle singole soluzioni, ovvero quegli intervalli soluzione che sono comuni a tutte le disequazioni del sistema. Seguono gli esempi: x + 0 a) x x > 0 x - - x < 0 U x > - 0 S=- x<0 U x> x x < 0 b) x 0 < x < - - x U x > - - S= x< - Esercizi da svolgere: x x 0 ) x x < 0 ) x x 0 x x > 0 S < x x < s x < < x