I RADICALI QUADRATICI

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1 I RADICALI QUADRATICI 1. Radici quadrate Definizione di radice quadrata: Si dice radice quadrata di un numero reale positivo o nullo a, e si indica con a, il numero reale positivo o nullo (se esiste) che, elevato al quadrato, dà come risultato a. In simboli: x = a x = a, x 0 e a 0 Per esempio esistono due numeri reali che elevati al quadrato danno come risultato 9, e sono + e -; solo + può dirsi radice quadrata di 9 perché solo + è positivo, come richiesto dalla definizione di radice quadrata; quindi: 9=+ Non esiste invece la radice quadrata di -9 perché nessun numero reale elevato al quadrato dà come risultato un numero negativo. Quindi: Più in generale, quindi: Esistenza delle radici quadrate in R: 9= non esiste, è un operazione impossibile in R Ogni numero reale positivo o nullo ha esattamente una radice quadrata in R. Ogni numero reale negativo non ammette radice quadrata in R. Si indicano con il termine di radicale quadratico non solo le espressioni del tipo a, dove a è un numero reale non negativo, ma anche le espressioni della stessa forma, dove l argomento della radice (detto radicando) è un espressione letterale. In questi casi è necessario determinare le condizioni di esistenza del radicale (dette in questo caso condizioni di realtà: C.R.), cioè per quali valori delle variabili il radicando è non negativo. L insieme dei valori della variabili per i quali un radicando è non negativo si chiama dominio, o insieme di definizione o insieme di esistenza del radicale. Quando un radicale è definito assume sempre valori positivi o nulli. Quindi: Esistenza e segno del radicale P(x). Il radicale P(x) è definito in corrispondenza dei valori reali per i quali ii radicando risulta non negativo, cioè risulta: e assume per tali valori, valore positivo o nullo: P(x) 0. P(x) 0 (condizione di realtà, C.R.). Le radici quadrate come potenze ad esponente razionale Vedremo ora come le radici quadrate possono essere viste come un estensione del concetto di potenza che già conosciamo. Potenze ad esponente naturale : a n, con n N La potenza ad esponente naturale viene dalla definizione stessa di potenza : a n = a a a (è uguale al prodotto di n fattori uguali alla base, se l esponente è diverso da zero). Se l esponente è zero e la base è diversa da zero, allora a 0 = 1 (dimostrazione: a 0 = a n : a n = 1 n = 1) Se l esponente è zero e la base è zero, allora 0 0 = indeterminata (dimostrazione: 0 0 = 0 n : 0 n = 0: 0 = indeterminata)

2 Potenze ad esponente intero relativo : a n, con n Z Se l esponente è un numero relativo ( per es. ) la definizione di potenza perde significato. Si ricorre alle proprietà delle potenze per dare significato a potenze con esponente negativo, ampliando così il concetto di potenza. Vogliamo dare un significato alla scrittura, in modo che continuino ad essere valide le proprietà delle potenze. Allora se per il numero (che per ora, per noi, non ha alcun significato dato che il suo esponente non è naturale) devono ancora valere le proprietà delle potenze, dovrà essere: = 0 = 1. Quindi è quel numero che moltiplicato per dà come risultato 1, quindi è il reciproco di. Pertanto: = 1: ( ) = ( 1 ) Quindi in generale se l esponente è un numero intero negativo e la base è un numero diverso da zero la potenza si esegue utilizzando come base il reciproco della base iniziale e cambiando segno all esponente, che quindi diventerà positivo: ( ) 5 = ( )5 ; () = ( 1 )5 ; (1) 4 = (1) 4 = 1 ; ( 4 5 ) 1 = ( 5 4 )1 = 5 4 Mentre se la base è zero 0 = operazione impossibile perché il reciproco dello zero (cioè 1:0) non esiste. Abbiamo visto quindi come la potenza con esponente intero negativo non sia una conseguenza della definizione stessa di potenza, ma come sia invece una conseguenza dell applicazione delle proprietà delle potenze. Potenze ad esponente razionale: a n, con n Q Vediamo ora come le radici quadrate possono essere scritte come potenze con esponente razionale. Vogliamo dare un significato alla scrittura 7 1, in modo che continuino ad essere valide le proprietà delle potenze. Allora se per il numero 7 1 (che per ora, per noi, non ha alcun significato dato che il suo esponente non è naturale né intero) devono ancora valere le proprietà delle potenze, dovrà essere: (7 1 ) = 7 1 = 7 1 = 7 Quindi 7 1 è quel numero che elevato al quadrato dà 7, e quindi (per definizione di radice quadrata), 7 1 è proprio la radice quadrata di 7, cioè: 7 1 = 7

3 . Radicali e funzioni La funzione y = x è definita per x 0 ed è sempre positiva o nulla in base alla definizione di radice quadrata. Tracciamone il grafico per punti: x y = x ,4 1, , 6 6,4 4. Semplificazione di un radicale quadratico I radicali godono della proprietà invariantiva, della quale vedremo per ora una parte che serve a semplificare i radicali quadratici: PROPRIETA INVARIANTIVA APPLICATA ALLA SEMPLIFICAZIONE DEI RADICALI QUADRATICI : La radice quadrata può essere semplificata dividendo per l esponente del radicando. Quindi se il radicando ha un esponente pari, l esponente può essere semplificato con l indice () del radicale quadratico, cioè: Dimostrazione: a n = a n a n = (a n ) 1 = a n 1 a n (per la proprietà: potenza di potenza) Bisogna però porre attenzione alla concordanza del segno tra il radicale iniziale (positivo per definizione di radice quadrata) e il risultato dell operazione della semplificazione. ESEMPI: 81 = 4 = 144= 1 = 1 ( ) 4 = ( ) = +4 (in questo caso il risultato è positivo, e quindi concorda correttamente nel segno con il radicale iniziale) ( ) = (questa semplificazione è sbagliata perché il risultato è negativo, e quindi NON concorda nel segno con il radicale iniziale) ( ) = = + (questa semplificazione è giusta perché così il risultato è positivo, e quindi concorda correttamente nel segno con il radicale iniziale)

4 ( ) = (+) = + (anche questa semplificazione è giusta perché il cambio di segno in potenza con esponente pari ha risolto il problema della concordanza del segno) ( ) 6 = ( ) = 8 = +8 (questa semplificazione è giusta) Se l argomento della radice è variale, bisogna porre particolare attenzione quando si incontrano radicali del tipo x : questo radicale per la C.R. è definito per x R, ma non è giusto scrivere che x = x. Infatti x è per definizione di radicale quadratico un numero non negativo, mentre x può essere positivo o negativo; i due membri dell uguaglianza (non corretta) x = x, cioè non concordano nel segno. Infatti: x = x + + o Facciamo degli esempi: se x=4, allora 4 = 16 = 4, quindi in questo caso x = x. se x=-4, allora ( 4) = 16 = 4, quindi in questo caso x = x. Pertanto il ragionamento corretto è il seguente: : se x 0, allora x = x se x < 0, allora x = x Cioè, ricordando la definizione di valore assoluto: x = x, per ogni x R 5. Prodotto e quoziente di radicali quadratici PRODOTTO E QUOZIENTE DI RADICALI QUADRATICI: Nell ipotesi in cui siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali quadratici a e b (condizioni di realtà C.R.), valgono le seguenti proprietà: a: a b = a b (cioè il prodotto di due radicali quadratici è uguale alla radice del prodotto) b: a b = a b (se b 0) (cioè il quoziente di due radicali quadratici è uguale alla radice del quoziente) Dimostrazione: PRODOTTO: a b = a 1 b 1 = (a b) 1 = a b (per la proprietà: prodotto di potenze con lo stesso esponente) QUOZIENTE: a b = a 1 b 1 = (a b) 1 = a: b (per la proprietà: quoziente di potenze con lo stesso esponente) ESEMPI: 18 = 18 = 6 = 6 0: = 0: = : = 1 8 : = = 1 16 = 1 4

5 6. Potenza di radicali quadratici POTENZA DI RADICALI QUADRATICI: Nell ipotesi in cui siano verificate le condizioni di esistenza del radicale quadratico a (condizioni di realtà C.R.), vale le seguente proprietà: ( a) n = a n (cioè la potenza di un radicale quadratico è uguale alla radice della potenza) Dimostrazione: ( a) n = (a 1 n ) = (a n ) 1 = a n ESEMPI: ( +) = (+) = + ( ) = (+) = +8 ( (+5) 7 ) = [(+5) 7 ] = (+5) 1 7. Trasporto sotto il segno di radice quadrata Consideriamo un espressione formata da un numero moltiplicato per una radice:. Possiamo scrivere la seguente catena di uguaglianze: = perchè = 4 4 = prodotto di radicali 4 = 8 Si dice che si è portato il fattore sotto il segno di radice. Possiamo anche lavorare sull esponente del fattore da trasportare: Si deve quindi moltiplicare per due l esponente di tale fattore. 1 = ( 1 ) = 1 9 = 1 Bisogna fare attenzione però al segno del fattore da trasportare, affinché sia sempre verificata la concordanza tra il segno iniziale e il segno finale dell espressione con cui si opera. Per esempio sarebbe errato scrivere: numero negativo = ( ) = ( ) = 8 numero positivo concordanza del segno tra il primo e l ultimo passaggio. perché non è rispettata la E invece corretto lasciare il segno negativo fuori dalla radice quadrata e trasportare solo il numero positivo sotto radice: numero negativo = (+) = (+) = 8 numero negativo Vale quindi la seguente regola: Trasporto di un fattore sotto il segno di radice quadrata: per trasportare un fattore POSITIVO sotto la radice quadrata bisogna moltiplicare il suo esponente per ; se il fattore fuori radice è NEGATIVO si lascia il segno negativo fuori dalla radice e si trasporta solo il valore assoluto del numero, per rispettare la condizione di concordanza del segno. Vediamo il trasporto sotto il segno di radice anche tramite la forma esponenziale della radice: = 1 = ( ) 1 1 = ( ) 1 = FATTORE NEGATIVO: = 1 = ( ) 1 1 = ( ) 1 =

6 8. Trasporto fuori dal segno di radice quadrata A volte è utile effettuare l operazione inversa, cioè portare un fattore fuori dal segno di radice. Per esempio: 18 = 9 9 è un quadrato perfetto = 9 =. Si dice che il fattore è stato trasportato fuori dal segno di radice. Anche in questo caso si può lavorare sugli esponenti: 19 = 6 = 6 = = 8 In questo caso è quindi necessario dividere per due l esponente del fattore da trasportare fuori radice, facendo sempre attenzione alla concordanza del segno. Vale quindi la seguente regola: Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice quadrata: per trasportare un fattore POSITIVO fuori dalla radice quadrata bisogna dividere il suo esponente per se il fattore da trasportare è NEGATIVO si deve rispettare la concordanza del segno. Vediamo il trasporto fuori radice anche tramite la forma esponenziale della radice: = ( ) 1 = 1 1 = 1 = 9. Addizioni e sottrazioni di radicali Per le somme e differenze di radice quadrate non valgono la proprietà che valgono per i prodotti e i quozienti; infatti: a + b a + b e a b a b Per esempio vediamo che ; infatti = + 4 = 7, mentre = 5 = 5. Vediamo anche che ; infatti 5 9 = 5 =, mentre 5 9 = 16 = 4. Tuttavia è possibile semplificare espressioni che contengono somme o differenze di radici quadrate (eventualmente moltiplicate per un coefficiente), a condizione che siano simili, cioè abbiano lo stesso radicando (in modo analogo alle somme tra monomi nel calcolo letterale). La proprietà che ci permette di sommare i radicali simili è sempre quella distributiva. ESEMPI: = ( + ) 5 = 5 5 (per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione) Invece + non è semplificabile perché e non sono simili; + è un binomio irrazionale. Anche 5 + è un binomio irrazionale, somma di un numero razionale e di un numero irrazionale. A volte per evidenziare in un espressione la presenza di radicali simili è necessario semplificare le radici che vi compaiono e/o trasportare tutti i termini possibili fuori dal segno di radice. Per esempio: + 1 = + = + = Vediamo la somma di due radici anche tramite la forma esponenziale della radice: Se i due radicali sono simili: = = ( + 4) 5 1 = Non è invece possibile sommare radicali non simili: = (9 + 16) 1

7 10. Espressioni irrazionali Le espressioni algebriche in cui sono presenti dei radicali si dicono espressioni irrazionali. Le operazioni tra radicali godono delle stesse proprietà di cui godono le operazioni tra numeri razionali; inoltre si dovranno utilizzare le regole di calcolo con i radicali studiate e le ordinarie proprietà di calcolo: proprietà distributiva, prodotti notevoli, ecc. 11. Razionalizzazioni A volte può capitare di incontrare frazioni che contengano radici quadrate al denominatore, come: 1, 5, 7, 9 +, Per effettuare i calcoli è spesso utile trasformare queste frazioni in altre frazioni equivalenti (quindi frazioni che rappresentano la stessa quantità), ma prive di radici al denominatore. Questo procedimento viene detto razionalizzazione del denominatore di una frazione. Dal punto di vista operativo la razionalizzazione del denominatore si effettua applicando la proprietà invariantiva della divisione, come hai già imparato a fare per riportare più frazioni allo stesso denominatore (per effettuare la somma algebrica tra frazioni con diverso denominatore). Ricordiamo quindi la proprietà invariantiva: Proprietà invariantiva della divisione: moltiplicando o dividendo dividendo e divisore per uno stesso numero diverso da zero il quoziente non cambia; quindi moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione equivalente a quella data. In generale l operazione di razionalizzare il denominatore di una frazione è piuttosto complessa, poiché il fattore per cui moltiplicare la frazione dipende dal numero di radici presenti nel denominatore da razionalizzare. Esamineremo quindi i casi più comuni, che corrispondono ai primi quattro degli esempi fatti all inizio (monomio irrazionale e binomio irrazionale). 1 CASO: il denominatore contiene una radice quadrata (monomio irrazionale): Per esempio: ; bisogna allora moltiplicare numeratore e denominatore per. Infatti: = = 4 4 è un quadrato perfetto = La frazione iniziale e la frazione finale sono equivalenti e rappresentano quindi la stessa quantità, anche se sono scritte in modo diverso. In particolare nella prima frazione il denominatore è un numero irrazionale, mentre nell ultima è un intero. Come puoi verificare utilizzando la calcolatrice:,11044,11044 Vediamo un altro esempio: 6 = 6 = è un quadrato perfetto = 6 = In questo caso la razionalizzazione del denominatore ha anche portato alla semplificazione finale.

8 Si utilizza lo stesso metodo anche quando il denominatore è formato da una radice quadrata con un coefficiente diverso da uno: 5 = 5 = 5 4 = 5 CASO: il denominatore contiene la somma o la differenza di due radici quadrate, o di una radice quadrata e di un intero (binomi irrazionali): In questo caso il procedimento di razionalizzazione si basa, oltre che sulla proprietà invariantiva, sul prodotto notevole somma per differenza : ESEMPI: (A + B) (A B) = A B 6 7 = 6 ( 7 + ) ( 7 ) ( 7 + ) = 6( 7 + ) 6 ( 7 + ) ( 7) = ( ) 7 = = 6 ( 7 + ) 4 = ( 7 + ) 4 = 4 ( 1) = +1 ( +1) ( 1) 4( 1) ( ) (1) = 4 ( 1) 1 = 4( 1) = ( -1)