Le frazioni algebriche

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1 Le frazioni algebriche Le frazioni algebriche, a differenza delle frazioni numeriche, sono frazioni che prevedono al denominatore espressioni polinomiali. Le seguenti, ad esempio, sono frazioni algebriche perchè al denominatore presentano tutte un polinomio x 1 3 x 3 1 x 1 Un esempio di frazione che non può definirsi algebrica è x è rappresentato da un polinomio, al denominatore troviamo un numero. perchè, anche se il suo numeratore A parte questa differenza, tutte le operazioni che abbiamo studiato sulle frazioni numeriche seguono, sulle frazioni algebriche, esattamente gli stessi procedimenti. Le frazioni algebriche saranno utilizzate per lavorare su equazioni frazionarie. Sarà importante, quindi, saper effettuare su di esse le seguenti operazioni: Semplificazione di frazioni algebriche Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra frazioni algebriche Espressioni con frazioni algebriche Semplificazione di frazioni algebriche Come le frazioni numeriche, anche le frazioni algebriche possono essere semplificate allo scopo di lavorare, successivamente con frazioni meno impegnative dal punto di vista del calcolo. La semplificazione di una frazione algebrica segue esattamente lo stesso meccanismo della semplificazione di una frazione numerica (studiato lo scorso anno). Ripassiamo, con un esempio, come funzionava e quali regole si applicavano per semplificare una frazione numerica. Semplificare la frazione Una regola studiata anno scorso diceva che una frazione è semplificabile se il massimo comun divisore tra il numeratore ed il denominatore risulta essere maggiore di 1. Nel caso in cui, infatti, l'mcd risulti essere uguale ad 1 vuol dire che numeratore e denominatore non hanno fattori comuni e, di conseguenza, la frazione non è semplificabile. Per semplificare una frazione è quindi necessario calcolare MCD tra numeratore e denominatore, scomponendo i numeri in fattori primi e prendendo solo i fattori comuni, una sola volta, con il minimo esponente. MCD (18;42) Significa che il fattore 6 è comune sia a 18 che a 42. Per cui avremo:

2 Per semplificare una frazione algebrica si segue esattamente lo stesso procedimento. Vediamolo con un esempio: Semplificare la frazione 2x 2 Per prima cosa è necessario scomporre i polinomi: 2X 2 2(X 1) X 2 1 (X 1)(X + 1) Differenza di quadrati Per cui avremo 2x 2 2 x 1 x 1 x 1 Per capire che cosa possiamo semplificare è ora necessario calcolare MCD tra numeratore e denominatore, prendendo solo i fattori comuni, una sola volta, con il minimo esponente. Nel nostro esempio MCD tra 2X 2 e X 2 1 è (X 1) che, come si vede dalla scomposizione, è l'unico fattore comune a numeratore e denominatore. A questo punto è possibile semplificare la frazione algebrica eliminando il fattore (X 1) sia dal numeratore che dal denominatore. 2x 2 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 N.B.: Ricorda che in una frazione algebrica è possibile semplificare solo fattori uguali eventualmente con esponenti diversi. Ricordiamo inoltre che per fattore si intende un numero, un monomio o un polinomio legato al resto dell'espressione tramite l'operatore di moltiplicazione. Mentre un addendo è numero, un monomio o un polinomio legato al resto dell'espressione tramite l'operatore di addizione (o sottrazione). Attenzione, quindi, a non semplificare in modo errato le frazioni algebriche. Vediamo un esempio di semplificazione errata 2y y 1 2 y y 1 La y presente al numeratore risponde alla definizione di fattore, la y presente al denominatore non è, invece, un fattore, ma è una parte del binomio y 1. Perciò questa semplificazione è errata. Riassumendo il procedimento per semplificare una frazione algebrica prevede: Scomporre tutti i polinomi in fattori primi Calcolare MCD tra numeratore e denominatore Se MCD 1 la frazione non è semplificabile Se MCD 1 la frazione è semplificabile eliminando MCD sia dal numeratore che dal denominatore.

3 Moltiplicazione e divisione tra frazioni algebriche L'esecuzione delle operazioni di moltiplicazione e di divisione tra frazioni algebriche non prevede alcuna differenza con le corrispondenti operazioni tra frazioni numeriche. Per eseguire la moltiplicazione è sufficiente seguire il seguente procedimento: Scomposizione di tutti i polinomi Eventuale semplificazione verticale delle frazioni Eventuale semplificazione incrociata delle frazioni Calcolo del numeratore e del denominatore del risultato Esempio Scomposizione di tutti i polinomi in fattori primi X 2 5X + 6 (X 2)(X 3) X 2 4 (X 2)(X + 2) X 2 + 4X + 4 (X + 2) 2 3X 9 3(X 3) Trinomio speciale Differenza di quadrati Quadrato di binomio Per cui avremo x 2 x 3 x 2 x 2 x x 3 Possiamo ora passare alle semplificazioni verticale ed incrociata x 2 x 3 x 2 2 x 2 x 2 3 x 3 A questo punto possiamo moltiplicare i due numeratori con i due denominatori ottenendo il risultato finale. x 2 3 Osservazione: Per semplificazione verticale si intende la semplificazione del numeratore con il proprio denominatore. Per semplificazione incrociata si intende la semplificazione di un numeratore con il denominatore di un'altra frazione. N.B.: la moltiplicazione è l'unica operazione che consente di semplificare le frazioni in modo incrociato. Per eseguire la divisione è sufficiente seguire il seguente procedimento: Scomposizione di tutti i polinomi Eventuale semplificazione verticale delle frazioni Trasformazione della divisione in moltiplicazione con l'inverso Eventuale semplificazione incrociata delle frazioni Calcolo del numeratore e del denominatore risultato

4 Esempio 3x 2 6x x 2 : x 2 4x 4 3x 9 Scomposizione di tutti i polinomi in fattori primi 3X 2 6X 3X(X 2) X 2 X 2 4X + 4 (X 2) 2 3X 9 3(X 3) Polinomio primo non scomponibile Quadrato di binomio Per cui avremo 3x 2 6x x 2 : x 2 4x 4 3x 9 3x x 2 : x 2 2 x 2 3 x 3 Possiamo ora passare alle semplificazioni verticali 3x x 2 : x 2 2 x 2 3 x 3 3 x x 2 : x 2 2 x 2 3 x 3 A questo punto è necessario invertire la seconda frazione trasformando la divisione in moltiplicazione ottenendo 3 x 2 3 x 3 x x 2 2 Infine possiamo eseguire le semplificazioni incrociate e concludere moltiplicando tra loro numeratori e denominatori 3 x 2 3 x 3 9 x 3 x x 2 2 x x 2

5 Addizione e sottrazione tra frazioni algebriche Le operazioni di addizione e sottrazione tra frazioni algebriche seguono esattamente gli stessi procedimenti delle analoghe operazioni nell'insieme Q. Esse sono le operazioni un po' più complesse e richiedono un po' di attenzione nel loro svolgimento. Procedimento 1 Scomposizione di tutti i polinomi 2 Eventuale semplificazione verticale delle frazioni 3 Calcolo del mcm tra i denominatori 4 Calcolo del numeratore 5 Eventuale semplificazione verticale del risultato Vediamo due esempi di applicazione di tale procedimento: 2x 4 2x 5x 2x 3 4x 2 x 2 x 2 4 Scomposizione dei polinomi 2X + 4 2(X + 2) 2X 3 + 4X 2 2X 2 (X + 2) X 2 4 (X + 2)(X 2) Differenza di quadrati L'espressione con i polinomi scomposti diventa 2 x 2 2x 5x 2x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 A questo punto si può procedere con eventuali semplificazioni verticali, secondo le regole di semplificazione studiate. 2 x 2 2 x 5 x 2x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 L'espressione semplificata diventa x 2 x 5 2x x 2 1 x 2 Ora è necessario procedere con il calcolo del mcm tra i denominatori, ricordando che tale valore si ottiene prendendo tutti i fattori (comuni e non comuni), una sola volta, con il massimo esponente. mcm(x; 2X(X+2); (X+2)) 2X(X+2) Calcoliamo ora il numeratore scegliendo, per ognuna delle frazioni, solo i fattori che compaiono nel mcm e non compaiono nel denominatore e moltiplicando tali fattori per il numeratore.

6 La prima frazione dell'esempio è x 2 x Il suo denominatore è costituito dal monomio X, mentre il suo numeratore è costituito dal binomio (X+2). Mcm calcolato precedentemente è 2X(X+2), quindi i fattori che compaiono in mcm, ma non nel denominatore sono 2 e (X+2). Tali fattori vanno moltiplicati per il numeratore ottenendo: 2(X+2)(X+2) Tale procedimento va ripetuto per tutte le frazioni dell'espressione ottenendo: 2 x 2 x 2 5 2x 2x x 2 Il calcolo procede al numeratore eseguendo le operazioni necessarie fino al raggiungimento di un polinomio non più riducibile: 2 x 2 4x 4 5 2x 2x x 2 2x 2 8x 8 5 2x 2x x 2 2x 2 10x 13 2x x 2 A questo punto il numeratore è un polinomio sul quale non posso più effettuare calcoli, ma solo verificare se risulta essere scomponibile. In questo caso il trinomio non è scomponibile e quindi l'esercizio termina. Espressioni e regole di precedenza Per svolgere espressioni con frazioni algebriche è necessario applicare le regole di precedenza delle operazioni che già sono note dal calcolo numerico e dal calcolo letterale. 1 Risolvere le parentesi dall'interno verso l'esterno. 2 Risolvere prima moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni. 3 Se le operazioni sono dello stesso gruppo, risolverle da sinistra verso destra.