Le equazioni di I grado

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1 Le equazioni di I grado ITIS Feltrinelli anno scolastico R. Folgieri Le equazioni abbiamo una uguaglianza tra due quantità (espressioni algebriche, perché nei due termini ci possono essere sia numeri che lettere) definite nell insieme Q (insieme dei numeri razionali relativi) nelle espressioni compaiono delle incognite (cioè delle variabili lettere di cui vogliamo conoscere il valore) Si dice che abbiamo una equazione Esempi: x + 3 = 0 3y + = 5 3ax + x = 3bx x + 4 = 0 x, y, z, ecc. sono variabili, cioè possono assumere vari valori. In particolare, non conoscendo questi valori (dobbiamo trovarli), si dicono INCOGNITE. DEFINIZIONE di EQUAZIONE Si dice EQUAZIONE una identità (uguaglianza) tra due espressioni algebriche per la quale si vogliono determinare i valori delle variabili che la rendono vera. R. Folgieri

2 I termini delle equazioni I numeri e le lettere che compaiono davanti alle incognite si dicono coefficienti. Numeri e lettere che non sono seguite da variabili si dicono termini noti (conosciuti, non dobbiamo trovare nulla). incognite ax + 3x + 5 = 0 coefficienti termine noto Si dice grado di un equazione l esponente maggiore dell incognita. Es. x + 4 = 0 equazione di primo grado 3x x + 5 = 0 equazione di secondo grado Si dicono soluzioni (o radici) dell equazione, i numeri che, sostituiti all incognita, rendono vera l equazione, cioè l annullano. Il numero massimo di soluzioni che può avere un equazione in una incognita è uguale al suo grado: Primo grado una soluzione secondo grado due soluzioni terzo grado tre soluzioni e così via R. Folgieri Tipi e forme delle equazioni Possiamo avere vari tipi di equazioni: Equazioni intere, quando non abbiamo incognita al denominatore es. x + 3 = 0 Equazioni fratte (o frazionarie), quando l incognita è anche al denominatore es. x + 3 = 0 x + 1 Equazioni numeriche, quando contengono incognite e numeri Equazioni letterali (o parametriche), quando contengono incognite, numeri e lettere es. abx + 3b + 6 = 0 Quando tutti i termini dell equazione sono dalla parte sinistra dell uguale e lo zero è dalla parte destro, l equazione si dice in forma canonica (o normale). es. x + (x - ) = x -8 non è in forma canonica x + 4 = 0 è in forma canonica Quando due equazioni hanno le stesse soluzioni, si dicono equivalenti (ad es. le due equazioni scritte sopra) R. Folgieri

3 I due principi di equivalenza Ci sono due principi che ci aiutano a trasformare un equazione da forma non canonica a forma canonica. Primo principio di equivalenza: se si aggiunge o si sottrae ai due membri di un equazione una stessa quantità, si ottiene un equazione equivalente a quella data. A cosa ci serve questo principio? Se ad esempio, abbiamo l equazione: x + 3 = x + 5 Possiamo aggiungere a tutti e due i termini la quantità 5, ottenendo: x = x e cioè, svolgendo i calcoli: x = x. Possiamo farlo anche con le incognite (sono sempre quantità) e quindi possiamo aggiungere ai due termini la quantità x, ottenendo x x = x x che, svolgendo i calcoli, diventa x = 0. Secondo principio di equivalenza: se si moltiplicano o dividono i due membri di un equazione per la stessa quantità, si ottiene un equazione equivalente a quella data. Se, ad esempio, abbiamo 1x = 5 possiamo moltiplicare entrambi i termini per la quantità e ottenere. 1x = 5. che, semplificando a sinistra e moltiplicando a destra, diventa: x = 10 R. Folgieri Regole pratiche Avrete già capito che dai due principi di equivalenza derivano alcune regole pratiche molto utili. Dal primo principio, deriva la regola del trasporto: in ogni equazione un termine si può spostare da un membro al altro (cioè da una parte all altra dell uguale), cambiandone il segno. Es. x + 5 = 0 portando il 5 a destra, diventa: x = -5 Se poi ho una stessa quantità da una parte all altra dell uguale, se ne porto una dall altra parte, i due termini si annullano: es x + 5 = 5, diventa x = 0 e quindi, siccome + 5 e 5 si annullano, quando ho due quantità uguali (anche in segno) nei due membri, posso eliminarle direttamente. Dal secondo principio di equivalenza (che dovrebbe ricordarvi la proprietà invariantiva!!!), deriva la regola del cambiamento di segno: se si cambiano i segni di tutti i termini di un equazione, si ottiene un equazione equivalente. Es. se alla fine di tutti i calcoli mi ritrovo con un equazione x = 5, siccome a me interessa il valore di x e non di x, posso moltiplicare tutto per -1, ottenendo: (-1)(-x)=(-1)5 cioè x = - 5 Sempre dal secondo principio di equivalenza, deriva anche la regola: un equazione con i coefficienti frazionari si può trasformare in un equazione equivalente con coefficienti interi moltiplicando ciascun membro per il m.c.m. dei denominatori. Es. x + 1 = 1 visto che il m.c.m. è 6, diventa: 3(x + 1) = che, moltiplicando tutto per 6, diventa l equazione equivalente 3x + 3 = 3 più facile da risolvere R. Folgieri

4 Equazioni di I grado Hanno la forma canonica ax + b = 0 (con a e b coefficienti, cioè, per il momento, numeri) La soluzione si trova ponendo x = -b/a Possiamo avere più casi: a o equazione determinata (la soluzione è b/a) ax = b a = 0 b 0 equazione impossibile (nessuna soluzione nell insieme Q) b = 0 equazione indeterminata (ogni x Q è una soluzione valida) Esempi di equazioni di primo grado: 5x = 6x + 3 3x + = 0 1x = 5 7 R. Folgieri Equazioni fratte (o frazionarie) L incognita compare anche al denominatore Esempi: 3x + = 0 x + 1 = 8 y = y + 3 x x y + y 3 Per trovare la soluzione dobbiamo 1. innanzitutto escludere i valori che annullano il denominatore (perché una frazione con 0 al denominatore non ha senso) e quindi dobbiamo porre il denominatore uguale a zero.. Fatto questo, si risolve il numeratore come se avessimo una funzione intera. 3. Se la soluzione del numeratore diverse da quelle del denominatore, si accettano, altrimenti l equazione è impossibile. Es. 3x 1 = che corrisponde (dopo aver fatto il m.c.m.) a: x 1 = (x + ) x + x + x + Il denominatore si annulla per x + = 0, cioè deve essere x - altrimenti il denominatore si annulla. Ora prendiamo il numeratore: x 1 = (x + ) da cui 3x 1 = x + 4 e cioè x = 5. Possiamo accettare la soluzione perché è diversa da (che annullerebbe il denominatore). R. Folgieri

5 Equazioni letterali Quelle INTERE si risolvono come le altre, però alla fine occorre fare attenzione a stabilire quali valori ANNULLANO le lettere, se queste compaiono al denominatore Esempio 1: 3x + a - 1 = 0 la soluzione è x = 1 a 3 In questo caso al denominatore compare un numero, quindi non abbiamo problemi. Esempio : (a-1)x 1 = 8 la soluzione sarà x = 9 a - 1 In questo caso l equazione ha senso se a 0 e se a 1 ( altrimenti sarebbe impossibile) Nelle equazioni fratte letterali, si procede come nelle equazioni fratte senza espressioni letterali e alla fine, quando si pone il denominatore uguale a zero, se ci sono lettere, si procede come sopra. R. Folgieri Equazioni riconducibili a equazioni di I grado Alcune volte equazioni di grado superiore al primo possono ridursi a equazioni di primo grado applicando la legge di annullamento del prodotto. Ad esempio: x 5 = 0 In realtà è l equazione (x-5)(x+5) = 0 che, per la legge di annullamento del prodotto, si risolve ponendo: x - 5 = 0 da cui si ricava x = 5 e x + 5 = 0 da cui si ricava x = - 5 Si ricava allora la regola: Data una qualsiasi equazione di grado n, se è possibile scomporre il polinomio in n fattori di primo grado, applicando la legge di annullamento del prodotto, la risoluzione dell equazione si riduce alla soluzione delle equazioni di primo grado ottenute, uguagliate a zero. R. Folgieri

6 A cosa servono le equazioni? Facciamo un esempio. Se io vi dico prendi la tua età, moltiplicala per e dividila per 4 e poi dimmi il risultato, nessuno di voi ha problemi a darmi la soluzione. Se io però scrivo alla lavagna: y = x Difficilmente vi rendete conto che quello che ho scritto è la traduzione in simboli del problema scritto sopra. Infatti, se immaginate che y sia il risultato da trovare e x la vostra età, la cosa è di immediata comprensione. Si possono dunque tradurre i problemi in equazioni, assegnando all incognita il valore da trovare in funzione dei dati noti, cioè forniti dal problema. R. Folgieri