Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1

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1 Disequazioni - ulteriori esercizi proposti Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:. 5 4 >. 4. < > 6. > 7. < > > 4. < 4. < > 9 4 Non esitate a comunicarmi eventuali errori di stampa che doveste riscontrare.

2 Soluzioni. < 7 oppure >. 4. La disequazione è sempre vera (quindi qualsiasi numero reale è una soluzione) 4. La disequazione non è mai verificata se non nel punto = (dove si ha l uguaglianza) 5. < 4 oppure > 5 6. < oppure > 7. < oppure > 5 8. < oppure 9. < <. Il sistema non è mai soddisfatto. <

3 Svolgimento di alcuni esercizi. La disequazione ha come coefficiente di un numero positivo e quindi non c è bisogno di moltiplicare per al fine di cambiare di segno. Consideriamo quindi l equazione di secondo grado associata, 5 4 =. Dato che il discriminante b 4ac = 5 4 (-4) = 8 è maggiore di zero, essa ammette due soluzioni, che sono date da e 5 = = = = = =. Di conseguenza la disequazione è verificata da tutti i numeri reali più piccoli di 7 e più grandi di. 7. Per prima cosa osserviamo che il coefficiente di è un numero negativo, e quindi, al fine di ottenere una disequazione con coefficiente della di grado massimo un numero positivo, cambiamo di segno moltiplicando la disequazione per. Otteniamo dunque la nuova disequazione 4 Risolvere tale disequazione è del tutto equivalente a risolvere quella di partenza (cioè le soluzioni delle due disequazioni sono le stesse). Pertanto consideriamo l equazione di secondo grado associata, cioè 4 =. Al fine di trovare le soluzioni di questa equazione possiamo utilizzare la nota formula per le equazioni di secondo grado ma in questo caso basta semplicemente osservare che, mettendo in evidenza la variabile, si ottiene (4 )=. Il prodotto in alto è uguale a se e solo se almeno uno dei due fattori è, cioè se e solo se = oppure 4 =. Otteniamo dunque le due soluzioni e /4. Poiché stiamo studiando quando la quantità 4 è minore o uguale di (ricorda che ora la disequazione che stiamo studiando è 4 ), abbiamo che le soluzioni sono date da tutti i numeri tali che /4.. Poiché il numero che moltiplica il termine in di grado massimo (in questo caso ) è negativo, moltiplichiamo per ambo i membri della disequazione, ottenendo: >. Risolvere questa nuova disequazione è del tutto equivalente a risolvere quella di partenza. Ma tale nuova disequazione ha il vantaggio di avere come coefficiente di un numero positivo.

4 Consideriamo, come al solito, l equazione di secondo grado associata alla disequazione, cioè =. Il discriminante di questa equazione è dato da = (-) 4 = 9 = ed è quindi un numero negativo. È noto che il fatto che < implica che la quantità sia sempre strettamente positiva. Di conseguenza la disequazione risulta sempre verificata. 4. La risoluzione è abbastanza simile a quella dell esercizio precedente con l unica differenza che in questo esercizio vi è un anziché <. Inoltre in questo caso il calcolo del discriminante mostra che =. Ciò implica che l equazione di secondo grado associata 4 9 = ammette un unica soluzione b = a = 8 =. Di conseguenza si ha che 4 9 = 4 e quindi quel che più conta la quantità 4 9 è sempre positiva (essendo il quadrato di un binomio) tranne in un punto ( = /) dove è zero. Da queste considerazioni, poiché la traccia dell esercizio richiedeva di trovare i valori di per i quali la quantità 4 9 è negativa o uguale a zero, la risposta è che la disequazione è verificata solo quando 4 9 = cioè solo quando =. 6. La traccia dell esercizio richiede di trovare quei valori dell incognita per i quali la frazione è positiva. Chiediamoci: quando una frazione è positiva? La risposta è: quando il numeratore ed il denominatore hanno lo stesso segno, cioè sono o entrambi positivi oppure entrambi negativi. Quindi, per risolvere l esercizio, dobbiamo preliminarmente studiare il segno del numeratore e del denominatore (per poi poter comprendere quali sono i valori di per i quali essi hanno lo stesso segno). Il numeratore è. Esso è positivo quando > e, conseguentemente, negativo quando < : > Abbiamo rappresentato graficamente il risultato dello studio del segno del numeratore. La zona più calcata rappresenta i valori per i quali la disequazione > è verificata. Si noti che il pallino bianco il valore non è compreso, cioè quando la assume valore la disequazione > non è verificata. Analogamente, il denominatore è positivo quando > e, quindi, negativo quando < : >

5 Ora quindi conosciamo il segno del numeratore e del denominatore. È bene riassumere tali risultati in un unico schema > > da cui si evince che le zone nelle quali numeratore e denominatore hanno lo stesso segno sono date dai valori della più grandi di oppure da quelli più piccoli di (che abbiamo evidenziato). 7. Il punto nodale dell esercizio sta nel comprendere che è fondamentale ricondurre la disequazione < ad una forma del tipo numeratore <. denominatore Per farlo, basta portare il al primo membro < ed effettuare il minimo comune multiplo <. Semplificando i calcoli si ottiene < che è equivalente a risolvere la disequazione >. A questo punto la risoluzione è del tutto simile a quella dell esercizio precedente e per questo motivo viene omessa.. La risoluzione di un sistema di disequazioni consiste nel trovare i valori dell incognita per i quali tutte le disequazioni (in questo caso tre) del sistema sono contemporaneamente soddisfatte. Quindi dobbiamo prima di tutto risolvere separatamente le tre disequazioni e poi individuare le zone dove tutte e tre le disequazioni sono soddisfatte. Cominciamo col risolvere la prima disequazione, 4. L equazione di secondo grado ad essa associata, 4 =, ammette due soluzioni = e =. Essa è verificata per valori esterni all intervallo (-,):

6 4 (Si noti che, essendoci il e non la disuguaglianza stretta, il cerchietto pieno indica che i valori e sono entrambi soluzioni della disequazione). La seconda disequazione è invece verificata per valori di più grandi di > Quanto all ultima disequazione, essa è equivalente a < 9, e quindi < : 9 < A questo punto riepiloghiamo i risultati delle tre disequazioni ponendoli uno sotto l altro, per poter meglio individuare le zone dove sono tutte e tre verificate: 4 > 9 < Dallo schema si vede immediatamente che le tre disequazioni sono contemporaneamente soddisfatte quando le tre linee sono tutte e tre calcate, cioè per <.