Disequazioni di secondo grado

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1 Disequazioni di secondo grado Una disequazione di secondo grado è una disequazione del tipo (oppure a b c o a b c ) a b c oppure a b c I) Cominciamo considerando disequazioni in cui a Esempio Consideriamo l equazione di secondo grado corrispondente (detta equazione associata ): =, = ± =, = Quindi, ricordando che se a b c = ha soluzioni, allora a b c si scompone in a( )( ), abbiamo = ( ) ( ) possiamo studiare il segno di ( ) ed il segno di ( ) e per determinare il segno di. Rappresentiamo la situazione con il cosiddetto grafico dei segni in cui indichiamo con una linea continua il segno positivo e con una linea tratteggiata il segno negativo. Allora per la regola dei segni del prodotto avremo (valori esterni alle soluzioni dell equazione associata) Interpretazione grafica Possiamo disegnare la parabola associata alla disequazione, cioè la parabola y = : il vertice risulta V ( ; ) e naturalmente le intersezioni con l asse si ottengono dalle soluzioni dell equazione ;, ;. Quindi risolvere la disequazione precedente e sono ( ) ( ) equivale a individuare la zona della parabola che si trova al di sopra dell asse ed infatti osservando il grafico abbiamo che: y 8

2 Esempio In questo caso l equazione associata ha = ed infatti si tratta del quadrato di un binomio: ( ) = È chiaro quindi che la disequazione è verificata annulla e quindi scriveremo R,. R eccetto = in cui il trinomio si Graficamente osserviamo che la parabola y =, rivolta verso l alto, è tangente all asse delle nel suo vertice ( ; ) e quindi y R, Esempio Considerando l equazione associata = : in questo caso abbiamo = e quindi non ci sono soluzioni reali. Graficamente abbiamo la parabola y = che ha vertice V ; ed è rivolta verso l alto: si ha perciò y R 9

3 Riassumiamo le soluzioni delle disequazioni in cui a (parabola rivolta verso l alto) a b c (valori esterni) a b c (valori interni) ( a ( a b c b c ) ) = a a b c R, b c nessuna soluzione reale ( a ( a b c R) b c = ) a a b c R b c nessuna soluzione reale ( a ( a b c R) b c nessuna soluzione reale)

4 II) Consideriamo adesso disequazioni in cui a Esempio Per risolvere l equazione associata = mettiamo in evidenza la : quindi = = =. = ( ) Per determinare il segno di studiamo il segno di e di : Il grafico dei segni è : Quindi (valori interni alle soluzioni dell equazione associata) Interpretazione grafica Disegniamo la parabola y = : questa volta la parabola è rivolta verso il basso e quindi y

5 Esempio In questo caso abbiamo che l equazione associata ha =. Infatti = ( ) = ( ) Quindi la disequazione non ha nessuna soluzione ed infatti la parabola è rivolta verso il basso ed ;. ha vertice in ( ) Esempio In questo caso abbiamo che l equazione associata ha e quindi non ci sono soluzioni reali: quindi la parabola associata, che è rivolta verso il basso ed ha vertice V ;, non interseca l asse e la disequazione non ha nessuna soluzione.

6 Riassumiamo le soluzioni delle disequazioni in cui a (parabola rivolta verso il basso) a a b c b c ( a ( a b c b c ) ) = a a b c nessuna soluzione b c R, reale ( a ( a b c = ) b c R) a a b c nessuna b c R soluzione reale ( a ( a b c nessuna b c R) soluzione reale) Nota importante Quando in una disequazione si ha a conviene moltiplicare per ed invertire la diseguaglianza riconducendosi al caso di a. In questo modo possiamo fare riferimento sempre al caso della parabola rivolta verso l alto. Vediamo come si poteva procedere nel caso degli ultimi tre esempi: ) ) ( ) nessuna soluzione reale ; ) nessuna soluzione reale

7 Disequazioni di grado superiore al secondo Esempio Consideriamo la disequazione Proviamo a scomporre il polinomio (raccoglimento parziale): ( ) ( ) ( )( ) Possiamo quindi studiare il segno dei singoli fattori Riportiamo questi risultati nel grafico dei segni : Abbiamo quindi ( )( ) per.

8 Esempio Consideriamo la disequazione Scomponiamo utilizzando la regola di Ruffini: P () = = Quindi = ( )( ) Studiamo il segno dei singoli fattori (si imposta sempre il fattore ) ± (, = ) Riportiamo questi risultati nel grafico dei segni : Poiché la disequazione è, la soluzione è.

9 Esempio Consideriamo la disequazione Sappiamo che possiamo scomporre il polinomio dato come differenza di cubi per cui ( )( ) =. Studiamo il segno dei singoli fattori ( a, ) R Quindi Osservazione Quando in un prodotto un fattore è positivo R, possiamo anche non considerarlo perché non fa cambiare il segno del prodotto. Esempio Consideriamo la disequazione Basta mettere in evidenza: Poiché = ( ) R possiamo anche non considerarlo e studiare solo il segno di ( ): ( ) ( )

10 Disequazioni fratte Esempio Risolviamo la seguente disequazione fratta: Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore: N ( = ± ), D ( ), ( =, = ) Grafico dei segni: Poiché dobbiamo risolvere la soluzione sarà:. NOTA Se dobbiamo risolvere, dobbiamo considerare tra le soluzioni anche = e =, ma non = e = perché per quei valori il denominatore si annulla (C.E. della frazione algebrica:, ). La soluzione risulta quindi: NOTA Se dobbiamo risolvere, il procedimento sarebbe stato lo stesso solo che alla fine, dal grafico dei segni, avremmo considerato i valori di che danno segno complessivo positivo. La soluzione di risulta quindi: 7

11 Sistemi di disequazioni Esempio Risolviamo il sistema di disequazioni: Dobbiamo risolvere ciascuna disequazione del sistema ed intersecare le soluzioni per ottenere le soluzioni comuni. quindi la soluzione del sistema è. NOTA IMPORTANTE Quando si intersecano le soluzioni delle disequazioni non si deve mai aggiungere il tratteggio! Il tratteggio indica segno negativo nel grafico dei segni ma in questo caso non stiamo facendo un grafico dei segni! Esempio Risolviamo il sistema di disequazioni: Per la prima disequazione abbiamo ( ), quindi Per la seconda disequazione dobbiamo studiare i segni di numeratore e denominatore: N D ± (, = =, = ) Quindi la soluzione della seconda disequazione è :. A questo punto dobbiamo intersecare le soluzioni della prima e della seconda disequazione. Le soluzioni comuni sono: Perciò la soluzione del sistema è:. 8

12 Esempio Risolviamo il sistema di disequazioni: Prima disequazione: Osservo che R e quindi la disequazione ha come soluzione. ± Seconda disequazione: (, = =, = ). Grafico per individuare le soluzioni comuni Quindi non ci sono soluzioni comuni: il sistema è impossibile. S = (l insieme delle soluzioni è l insieme vuoto) per cui Esempio Risolviamo il sistema di disequazioni: ( )( ) ( ) R ( è sempre positivo) Pertanto la soluzione è. 9

13 Esercizi I) Risolvere le seguenti disequazioni di secondo grado ) [ ] ) ) ) 8 [ ] [ R ] [ ] ) [ nessuna soluzione reale ] ) 7) ( ) [ ] [ ] 8) 9 [ ] 9) [ nessuna soluzione reale ] ) ( ) ) 9 ) 8 8 [ ] [ R ] = 9 ) 8 [ ] ) ) 8 [ R ] ) ( ) 7) 9 R 8) [ nessuna soluzione reale ]

14 7 9) 8 ) ) [ ] ) 8 ) ) 8 [ R ] ) [ nessuna soluzione reale ] ) [ ] 7) [ ] 8) 9) 7 ) [ R ] 7 ) [ nessuna soluzione reale ] ) [ nessuna soluzione reale ] ) 9 ) ) ) 9 7) 8 8 [ R { } ] [ R ] =

15 8) 8 7 = 9) [ ] ) [ ] ) ( ) 9 9 [ R ] ) ( ) 9 7 ) ( ) ) [ R ] ) ) = 7) ( )( ) 8) ( ) 9) ) ( ) ( ) = ) ( ) 8 8 )

16 II) Risolvere graficamente le seguenti disequazioni di secondo grado ) [ ] ) [ ] ) [ nessuna soluzione reale ] ) [ ] ) [ ] ) [ R ] 7) [ ] 8) [ R ] 9) 8 ) [ 8 ] [ ] III) Risolvere le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo ) ) ) [ ] [ = ] ) [ ] ) ) 7) = 8) [ ]

17 IV) Risolvere le seguenti disequazioni fratte ) 9 ) ) [ ], ) ] [ ) [ { } R ] ) [ ] 7) 8 [ ] 8) 7 [ ] 9) ( ) ] [ ) ] [ ) ( ) ] [ ) ] [ e ) 9 9 ) 8 [ ]

18 V) Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni ) ] [ ) 7 [ ] ) 7 [ = S ] ) ) [ ] ) 7 7 7) [ 7 ] 8) ( ) 7 8 [ ] 9)

19 Problemi ) Problema svolto Consideriamo un equazione di secondo grado contenente un parametro reale k, per esempio ( k ) = k Possiamo chiederci per quali valori del parametro k l equazione ha soluzioni reali, cioè per quali valori di k si ha. Dobbiamo quindi risolvere la disequazione: ( k ) ( k ) k k 8 k k k 7 da cui si ricava( k = ± k = 7, k ), = k 7 k ) Problema guidato Da una lamiera quadrata di lato cm vogliamo ritagliare quatto quadrati uguali di lato (vedi figura) in modo che, ripiegando lungo i lati tratteggiati, si possa costruire una scatola. Per quali valori di la scatola ha superficie maggiore di 8 cm? L area della base della scatola risulta ( ). Le quattro pareti della scatola hanno area ( ), quindi: ( ) ( ) 8. Poiché perché., allora la soluzione è.. Oppure (più semplicemente): 8 da cui si ha.

20 ) Per quali valori di m l equazione ( m ) 9 = ha soluzioni reali? [ m m ] k k ) Per quali valori di k l equazione k = ha due soluzioni reali distinte? k k ) Per quali valori di a l equazione ( a ) a a = ) Problema svolto Per quali valori di k l equazione ( ) ( k ) ( k) = non ammette soluzioni reali? [ a a ] k ha radici reali e positive? Innanzitutto calcoliamo = ( k ) ( k )( k ) =... = k ; quindi affinché si abbiano radici reali occorre che k. Per il segno delle soluzioni possiamo studiare il segno dei coefficienti e ricordare che, per la regola di Cartesio, ad una variazione corrisponde una radice positiva. ( k ) k ( k ) k ( k) k a : b : c : Quindi ho due variazioni (vale a dire due soluzioni positive) per k k 7) Determina per quali valori di k l equazione ( ) k k = reali e negative. k ammette due soluzioni [ k ] 8) Determina per quali valori di a l equazione ( a ) ( a ) = a) ha soluzioni reali; b) ha due soluzioni positive. a R; a 9) Data l equazione ( k ) k =, determinare per quali valori di k l equazione: 7

21 a) ammette soluzioni reali b) ammette soluzioni negative ) Per quali valori di k le soluzioni di ( ) ( k ) = ) Data l equazione ( ) ( k ) ( k) = a) ha soluzioni reali e distinte; b) ha soluzioni reali e positive; c) ha soluzioni reali e negative; d) ha soluzioni reali e discordi. k sono discordi? [ k ; k, k ] k, determinare per quali valori di k: [ k ] [ a ) k, k ; b) k k ; c) / k R; d) k ] ) Un rettangolo ha l area di cm. Quanto deve misurare la sua base b affinché il perimetro non superi i cm? [ b ] ) In un triangolo rettangolo la differenza tra i cateti è cm. Quale deve essere la misura del cateto minore in modo che l area non superi i cm? cm [ ] ) Considera due circonferenze concentriche di raggi cm e cm con. Come deve essere il raggio perché l area della circonferenza interna sia minore di dell area della circonferenza di raggio? cm [ ] ) In un appezzamento rettangolare di terreno m m si vuole costruire una casa come in figura qui sotto. Quale deve essere (in metri) in modo che il giardino abbia una superficie di almeno m? [ m] ) In un trapezio rettangolo la base minore è uguale all altezza e la base maggiore supera di cm la base minore. Quale deve essere la misura della base minore perché l area del trapezio non superi i cm? cm [ ] 8