FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI

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1 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 1) Verificare che x è continua in x 0 per ogni x 0 0 ) Verificare che 1 x 1 x 0 è continua in x 0 per ogni x 0 0 3) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione [sin x] (parte intera di sin x) 4) Disegnare il grafico e studiare i punti discontinuità della funzione M(sin x) (mantissa di sin x) 5) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione x 5x 3 x 4x+3 6) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione x+3 3x +x 3 7) Determinare k R in modo che la funzione x + 4x se x 1 x + k se x < 1 sia continua su R 1

2 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 8) Determinare a, b R in modo che la funzione log(1 + x) se 1 < x 0 a sin x + b cos x se 0 < x < π x se x π sia continua sul suo dominio 9) Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione log(1+x ) 3 sin x 10) Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione M( cos x) 11) Disegnare il grafico e studiare la continuità della funzione ] x[ 1 x se x 0 1 se x = 0 1) Disegnare il grafico e studiare la continuità della funzione x sin x se x 0 1 se x = 0

3 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 3 SOLUZIONI 1) Per verificare che x è continua in x 0, con x 0 0, conviene esprimere la differenza f(x) f(x 0 ) in modo da maggiorarla, se possibile, con la differenza x x 0 o con una funzione di x x 0 In questo caso, razionalizzando, abbiamo x = ( x x 0 )( x x 0 ) x + = x x 0 x + Tenendo conto che x 0 per ogni x 0, x x 0 = x x 0 x + x x 0 Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da x x 0 < δ segua f(x) f(x 0 ) < ε Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0, tale che da x x 0 < δ segua x x 0 < ε Quest ultima condizione equivale a x x 0 < x 0 ε, pertanto basta scegliere δ x 0 ε ) Si vuole verificare che 1 x 1 x 0 è continua in x 0 per ogni x 0 0 Operando come nell esercizio precedente, cerchiamo di esprimere la differenza f(x) f(x 0 ) in modo da maggiorarla, se possibile, con la differenza x x 0 o con una funzione di x x 0 In questo caso, abbiamo 1 x 1 = x 0 x x 0 xx 0 Supponiamo che x 0 > 0 (per x 0 < 0 il procedimento è simile); poichè f non è definita in 0, conviene scegliere x in un intorno di x 0 che non contenga 0 Se scegliamo, per esempio l intorno di centro x 0 e raggio x 0 /, I =] x 0, 3 x 0[, allora per ogni x I si ha Pertanto, per ogni x I si ha x x 0 > x 0 x 0 = x 0 1 x 1 x 0 x = < x 0 x x 0 xx 0 Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da x x 0 < δ segua f(x) f(x 0 ) < ε Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0, tale che da x x 0 < δ segua x 0 x x 0 < ε x 0

4 4 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI Quest ultima condizione equivale a x x 0 < ε x 0 ; affinchè essa sia soddisfatta per x I basta quindi scegliere δ min{ε x 0, x 0 } 3) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione [sin x] (parte intera di sin x) Conviene osservare che, poichè sin x è periodica, di periodo π, anche f ha la stessa proprietà Pertanto è sufficiente limitarsi a studiare f in un intervallo di ampiezza π Consideriamo, ad esempio, x [ π, π] Tenendo conto che [n] = n per ogni n intero, segue che sin x per x = π, π/, 0, π/, π Inoltre [y] = 0 per ogni y [0, 1[, quindi 0 per ogni x tale che sin x [0, 1[, ovvero per ogni x [0, π] \ {π/} Analogamente, essendo [y] = 1 per ogni y [ 1, 0[, segue 1 per ogni x tale che sin x [ 1, 0[, ovvero per x ] π, 0[ Possiamo pertanto disegnare il grafico richiesto, e verificare che vi sono punti di discontinuità In ±π e 0 la funzione f ha discontinuità di prima specie, in quanto lim 0, lim x ±π 1, x ±π + In x 0 = π lim 1, lim f ha una discontinuità eliminabile, in quanto 0, + lim 0 e f( π x π ) = 1 4) Come nel caso precedente la funzione M(sin x) (mantissa di sin x) risulta periodica di periodo π Consideriamo pertanto il problema posto nell intervallo [ π, π] Per tracciare il grafico ricordiamo che M(n) = 0 per ogni intero n, da cui segue 0 per ogni x tale che sin x sia intero, ovvero per x = π, π/, 0, π/, π Inoltre, poichè da y ]0, 1[ segue M(y) = y, allora per gli x tali che sin x ]0, 1[, ovvero per x ]0, π[\{π/}, si ha sin x Invece, da y ] 1, 0[ segue M(y) = y+1, e quindi per x ]π, 0[\{ π/}, si ha sin x+1 Si osserva ora che f ha punti di discontinuità di prima specie, per x = π, 0, π/, π Infatti lim 0, lim x ±π 1, x ±π + In x = π lim 1, lim 0 + la funzione f ha invece un punto di discontinuità eliminabile, poichè lim 1, e f( π x π ) = 0

5 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 5 5) Per disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione x 5x 3 x 4x+3, occorre preliminarmente determinarne il dominio Poichè il denominatore si annulla per x = 1, 3 si ha subito che dom(f) = R\{1, 3} Poichè anche il numeratore si annulla per x = 3 possiamo decomporre numeratore e denominatore, ottenendo (x 3)(x + 1) (x 3)(x 1) = x + 1 x 1 = + 3 x 1 per ogni x R \ {1, 3} Il grafico di f si può ricavare facilmente da quello di g(x) = 1/x mediante traslazioni e cambiamenti di scala Per quanto riguarda i punti di discontinuità, x = 3 è un punto di discontinuità eliminabile, in quanto non appartiene al dominio, ma esiste finito il limite lim x 3 lim ( + 3 ) = 7 x 3 x 1 Per x = 1, punto esterno al dominio di f, si ha invece lim, lim x 1 + x 1 + Con abuso di linguaggio si usa dire anche che 1 è punto di discontinuità di seconda specie Il grafico di f è riportato in figura Fig 1: Grafico di f, (esercizio 5) 6) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione x+3 3x +x 3 L esercizio è simile al precedente Si verifica facilmente che dom(f) = R \ { 3, 0}, e per tali punti 1 x

6 6 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI In x = 3 si ha una discontinuità eliminabile, in quanto esiste finito mentre in x = 0 si ha lim 1 x 3 9, lim +, ovvero una discontinuità di seconda specie Il grafico di f è riportato in figura Fig : Grafico di f, (esercizio 6) 7) Per determinare k R in modo che la funzione x + 4x se x 1 x + k se x < 1 sia continua su R, si può cominciare ad osservare che f(x) è continua per ogni x 1, in quanto composta da funzioni continue (in questo caso, polinomi) Basta quindi studiare la continuità in x = 1 Perchè f sia continua in x = 1 occorre che i limiti destro e sinistro di f(x) per x 1 siano finiti ed uguali al valore f(1) Calcoliamo quindi lim x 1 lim + k) = k 1, ( x x 1 lim lim + 4x) = 6 x 1 + x 1 +(x Imponendo la condizione k 1 = 6 troviamo k = 7, che è il valore cercato Per ogni altro valore di k la funzione f corrispondente risulta discontinua in x = 1

7 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 7 8) Per determinare a, b R in modo che la funzione log(1 + x) se 1 < x 0 a sin x + b cos x se 0 < x < π x se x π sia continua sul suo dominio, osserviamo innanzitutto che dom(f) =] 1, + [ Inoltre, negli intervalli aperti ] 1, 0[, ]0, π [, ] π, + [ la funzione f(x) è continua in quanto composizione di funzioni continue (logaritmo, polinomi, seno e coseno) Resta quindi da studiare la continuità nei punti di raccordo x = 0 e x = π In ciascuno di tali punti si ha continuità se i limiti destro e sinistro sono finiti ed uguali al valore assunto da f Calcoliamo pertanto lim lim log(1 + x) = 0, lim lim sin x + b cos x) = b (a Ne segue che f è continua in 0 se e solo se b = 0 Inoltre lim lim (a sin x + b cos x) = a, lim x π x π lim x = π x π x π, da cui risulta che f è continua in x = π se e solo se a = π 9) La funzione log(1+x ) 3 sin x è definita su tutto R, in quanto per ogni x R si ha 1+x 1 > 0 e 3 sin x > 0 Per ogni x R essa è continua, in quanto composta da funzioni continue 10) La funzione M( cos x) è definita su tutto R Per ogni x R essa è continua, in quanto composta dalla funzione g(x) = cos x, che è continua per ogni x R, e ha per immagine Im (g) = [1/4, 3/4], e dalla funzione M(x) che è continua per ogni x [1/4, 3/4] 11) La funzione ] x[ 1 x se x 0 1 se x = 0 è discontinua nei punti x = 1/n, per ogni n intero (positivo o negativo) ed ha in tali punti discontinuità di prima specie In tutti gli altri punti di R è continua

8 8 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 1) La funzione x sin x se x 0 1 se x = 0 è discontinua per x = 0, dove ha una discontinuità eliminabile, in quanto In tutti gli altri punti di R è continua Il grafico di f è riportato in figura 3 lim 0, f(0) = Fig 3: Grafico di f, (esercizio 1)