FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI
|
|
- Rosina Cavalli
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 1) Verificare che x è continua in x 0 per ogni x 0 0 ) Verificare che 1 x 1 x 0 è continua in x 0 per ogni x 0 0 3) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione [sin x] (parte intera di sin x) 4) Disegnare il grafico e studiare i punti discontinuità della funzione M(sin x) (mantissa di sin x) 5) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione x 5x 3 x 4x+3 6) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione x+3 3x +x 3 7) Determinare k R in modo che la funzione x + 4x se x 1 x + k se x < 1 sia continua su R 1
2 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 8) Determinare a, b R in modo che la funzione log(1 + x) se 1 < x 0 a sin x + b cos x se 0 < x < π x se x π sia continua sul suo dominio 9) Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione log(1+x ) 3 sin x 10) Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione M( cos x) 11) Disegnare il grafico e studiare la continuità della funzione ] x[ 1 x se x 0 1 se x = 0 1) Disegnare il grafico e studiare la continuità della funzione x sin x se x 0 1 se x = 0
3 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 3 SOLUZIONI 1) Per verificare che x è continua in x 0, con x 0 0, conviene esprimere la differenza f(x) f(x 0 ) in modo da maggiorarla, se possibile, con la differenza x x 0 o con una funzione di x x 0 In questo caso, razionalizzando, abbiamo x = ( x x 0 )( x x 0 ) x + = x x 0 x + Tenendo conto che x 0 per ogni x 0, x x 0 = x x 0 x + x x 0 Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da x x 0 < δ segua f(x) f(x 0 ) < ε Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0, tale che da x x 0 < δ segua x x 0 < ε Quest ultima condizione equivale a x x 0 < x 0 ε, pertanto basta scegliere δ x 0 ε ) Si vuole verificare che 1 x 1 x 0 è continua in x 0 per ogni x 0 0 Operando come nell esercizio precedente, cerchiamo di esprimere la differenza f(x) f(x 0 ) in modo da maggiorarla, se possibile, con la differenza x x 0 o con una funzione di x x 0 In questo caso, abbiamo 1 x 1 = x 0 x x 0 xx 0 Supponiamo che x 0 > 0 (per x 0 < 0 il procedimento è simile); poichè f non è definita in 0, conviene scegliere x in un intorno di x 0 che non contenga 0 Se scegliamo, per esempio l intorno di centro x 0 e raggio x 0 /, I =] x 0, 3 x 0[, allora per ogni x I si ha Pertanto, per ogni x I si ha x x 0 > x 0 x 0 = x 0 1 x 1 x 0 x = < x 0 x x 0 xx 0 Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da x x 0 < δ segua f(x) f(x 0 ) < ε Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0, tale che da x x 0 < δ segua x 0 x x 0 < ε x 0
4 4 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI Quest ultima condizione equivale a x x 0 < ε x 0 ; affinchè essa sia soddisfatta per x I basta quindi scegliere δ min{ε x 0, x 0 } 3) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione [sin x] (parte intera di sin x) Conviene osservare che, poichè sin x è periodica, di periodo π, anche f ha la stessa proprietà Pertanto è sufficiente limitarsi a studiare f in un intervallo di ampiezza π Consideriamo, ad esempio, x [ π, π] Tenendo conto che [n] = n per ogni n intero, segue che sin x per x = π, π/, 0, π/, π Inoltre [y] = 0 per ogni y [0, 1[, quindi 0 per ogni x tale che sin x [0, 1[, ovvero per ogni x [0, π] \ {π/} Analogamente, essendo [y] = 1 per ogni y [ 1, 0[, segue 1 per ogni x tale che sin x [ 1, 0[, ovvero per x ] π, 0[ Possiamo pertanto disegnare il grafico richiesto, e verificare che vi sono punti di discontinuità In ±π e 0 la funzione f ha discontinuità di prima specie, in quanto lim 0, lim x ±π 1, x ±π + In x 0 = π lim 1, lim f ha una discontinuità eliminabile, in quanto 0, + lim 0 e f( π x π ) = 1 4) Come nel caso precedente la funzione M(sin x) (mantissa di sin x) risulta periodica di periodo π Consideriamo pertanto il problema posto nell intervallo [ π, π] Per tracciare il grafico ricordiamo che M(n) = 0 per ogni intero n, da cui segue 0 per ogni x tale che sin x sia intero, ovvero per x = π, π/, 0, π/, π Inoltre, poichè da y ]0, 1[ segue M(y) = y, allora per gli x tali che sin x ]0, 1[, ovvero per x ]0, π[\{π/}, si ha sin x Invece, da y ] 1, 0[ segue M(y) = y+1, e quindi per x ]π, 0[\{ π/}, si ha sin x+1 Si osserva ora che f ha punti di discontinuità di prima specie, per x = π, 0, π/, π Infatti lim 0, lim x ±π 1, x ±π + In x = π lim 1, lim 0 + la funzione f ha invece un punto di discontinuità eliminabile, poichè lim 1, e f( π x π ) = 0
5 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 5 5) Per disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione x 5x 3 x 4x+3, occorre preliminarmente determinarne il dominio Poichè il denominatore si annulla per x = 1, 3 si ha subito che dom(f) = R\{1, 3} Poichè anche il numeratore si annulla per x = 3 possiamo decomporre numeratore e denominatore, ottenendo (x 3)(x + 1) (x 3)(x 1) = x + 1 x 1 = + 3 x 1 per ogni x R \ {1, 3} Il grafico di f si può ricavare facilmente da quello di g(x) = 1/x mediante traslazioni e cambiamenti di scala Per quanto riguarda i punti di discontinuità, x = 3 è un punto di discontinuità eliminabile, in quanto non appartiene al dominio, ma esiste finito il limite lim x 3 lim ( + 3 ) = 7 x 3 x 1 Per x = 1, punto esterno al dominio di f, si ha invece lim, lim x 1 + x 1 + Con abuso di linguaggio si usa dire anche che 1 è punto di discontinuità di seconda specie Il grafico di f è riportato in figura Fig 1: Grafico di f, (esercizio 5) 6) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione x+3 3x +x 3 L esercizio è simile al precedente Si verifica facilmente che dom(f) = R \ { 3, 0}, e per tali punti 1 x
6 6 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI In x = 3 si ha una discontinuità eliminabile, in quanto esiste finito mentre in x = 0 si ha lim 1 x 3 9, lim +, ovvero una discontinuità di seconda specie Il grafico di f è riportato in figura Fig : Grafico di f, (esercizio 6) 7) Per determinare k R in modo che la funzione x + 4x se x 1 x + k se x < 1 sia continua su R, si può cominciare ad osservare che f(x) è continua per ogni x 1, in quanto composta da funzioni continue (in questo caso, polinomi) Basta quindi studiare la continuità in x = 1 Perchè f sia continua in x = 1 occorre che i limiti destro e sinistro di f(x) per x 1 siano finiti ed uguali al valore f(1) Calcoliamo quindi lim x 1 lim + k) = k 1, ( x x 1 lim lim + 4x) = 6 x 1 + x 1 +(x Imponendo la condizione k 1 = 6 troviamo k = 7, che è il valore cercato Per ogni altro valore di k la funzione f corrispondente risulta discontinua in x = 1
7 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 7 8) Per determinare a, b R in modo che la funzione log(1 + x) se 1 < x 0 a sin x + b cos x se 0 < x < π x se x π sia continua sul suo dominio, osserviamo innanzitutto che dom(f) =] 1, + [ Inoltre, negli intervalli aperti ] 1, 0[, ]0, π [, ] π, + [ la funzione f(x) è continua in quanto composizione di funzioni continue (logaritmo, polinomi, seno e coseno) Resta quindi da studiare la continuità nei punti di raccordo x = 0 e x = π In ciascuno di tali punti si ha continuità se i limiti destro e sinistro sono finiti ed uguali al valore assunto da f Calcoliamo pertanto lim lim log(1 + x) = 0, lim lim sin x + b cos x) = b (a Ne segue che f è continua in 0 se e solo se b = 0 Inoltre lim lim (a sin x + b cos x) = a, lim x π x π lim x = π x π x π, da cui risulta che f è continua in x = π se e solo se a = π 9) La funzione log(1+x ) 3 sin x è definita su tutto R, in quanto per ogni x R si ha 1+x 1 > 0 e 3 sin x > 0 Per ogni x R essa è continua, in quanto composta da funzioni continue 10) La funzione M( cos x) è definita su tutto R Per ogni x R essa è continua, in quanto composta dalla funzione g(x) = cos x, che è continua per ogni x R, e ha per immagine Im (g) = [1/4, 3/4], e dalla funzione M(x) che è continua per ogni x [1/4, 3/4] 11) La funzione ] x[ 1 x se x 0 1 se x = 0 è discontinua nei punti x = 1/n, per ogni n intero (positivo o negativo) ed ha in tali punti discontinuità di prima specie In tutti gli altri punti di R è continua
8 8 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 1) La funzione x sin x se x 0 1 se x = 0 è discontinua per x = 0, dove ha una discontinuità eliminabile, in quanto In tutti gli altri punti di R è continua Il grafico di f è riportato in figura 3 lim 0, f(0) = Fig 3: Grafico di f, (esercizio 1)
APPELLO C AM1C 19 Gennaio f(x) = log( x + 2) x
Esercizio 1. Sia data la funzione f(x) = log( x + 2) x (a )Determinarne: insieme di esistenza e di derivabilità, limiti ed eventuali asintoti, eventuali punti angolosi o di cuspide, eventuali massimi e
DettagliEsercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN.
Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 1 Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica 1. Sia A = n IN ] 1 n + 1, 1 [. n a) Determinare il derivato e l interno di A; b) stabilire
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliEsercitazione su grafici di funzioni elementari
Esercitazione su grafici di funzioni elementari Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 8 Novembre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori, invito
DettagliEsercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.
Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa
DettagliStudio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2
Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione
DettagliEsercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni
Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Ottobre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliCorrezione del compitino del giorno 13 Dicembre 2012
Correzione del compitino del giorno 3 Dicembre 0 Davide Boscaini Questa è una soluzione del compitino del giorno 8 febbraio 0. Invito chi trovasse eventuali errori a segnalarli presso davide.boscaini@studenti.univr.it.
DettagliESERCIZI SUI PUNTI DI DISCONTINUITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME
ESERCIZI SUI PUNTI DI DISCONTINUITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI CONTINUE Sia f : domf R una funzione e sia x 0 domf (esista cioè f(x 0 ) R) Possono verificarsi due casi: il
DettagliSECONDO APPELLO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA CORSO DI LAURA IN INFORMATICA, A.A. 2017/18 20 FEBBRAIO 2018 CORREZIONE
SECONDO APPELLO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA CORSO DI LAURA IN INFORMATICA, A.A. 207/8 20 FEBBRAIO 208 CORREZIONE Esercizio Considerate la funzione f(x = log + x. Tracciate un grafico approssimativo
DettagliINTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti
INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti E data la funzione f( = (a Provare che la funzione F ( = + arcsin è una primitiva di f( sull intervallo (, (b Provare che la funzione G( = + arcsin π è
DettagliCORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 ESERCIZI. Carlo Ravaglia
CORSO DI ANALISI MATEMATICA ESERCIZI Carlo Ravaglia 6 settembre 5 iv Indice Numeri reali Ordine fra numeri reali Funzioni reali 4 Radici aritmetiche 7 4 Valore assoluto 9 5 Polinomi 6 Equazioni 7 Disequazioni
DettagliAnalisi Matematica 1 - Canale Sd-Z Foglio di esercizi n. 1-4 Ottobre 2018 SOLUZIONI
Analisi Matematica 1 - Canale Sd-Z Foglio di esercizi n. 1-4 Ottobre 018 SOLUZIONI Esercizio 1.a 1 x + 1 x 1 + 1 x+ < 0 sommiamo le frazioni e otteniamo 3x +x x(x 1)(x+) < 0. Studiamo il segno di numeratore
DettagliContinuità di funzioni
Continuità di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 2 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
DettagliLA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 2 INTERVALLI Limitati: Chiuso: a x b [a;b] Aperto: a
DettagliCampo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f.
Campo di Esistenza Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. ESERCIZIO. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) = 9+2x. Soluzione:
DettagliEsercizi con soluzioni dell esercitazione del 31/10/17
Esercizi con soluzioni dell esercitazione del 3/0/7 Esercizi. Risolvere graficamente la disequazione 2 x 2 2 cos(πx). 2. Determinare l insieme di definizione della funzione arcsin(exp( x 2 )). 3. Trovare
DettagliAnalisi e Geometria 1 - Seconda Prova - 2 Febbraio 2016 Terza parte (Compito A)
Politecnico di Milano, Scuola di Ingegneria Industriale e dell Informazione Analisi e Geometria 1 - Seconda Prova - 2 Febbraio 216 Terza parte (Compito A) Sia data, per ogni valore del parametro reale
DettagliSCRITTO 02/07/18 - ANALISI MATEMATICA I
SCRITTO 02/07/18 - ANALISI MATEMATICA I Esercizio 1. Determinare tutte le coppie z, w) C C tali che { zw = z 3 w 2 zw = 1 Soluzione: Dalla seconda equazione otteniamo che sia z che w non sono zero. Quindi
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 )
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-9- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio
Dettagli17. Zeri di una funzione continua: esercizi
7. Zeri di una funzione continua: esercizi Esercizio 7.4. Dimostrare che le seguenti equazioni. e x x =,. x + x = 0,. x = x + x, 4. x( x ) = x, hanno un unica soluzione x 0 R e calcolarne un valore approssimato
DettagliINTEGRALI IMPROPRI. Esercizi svolti. dx ; 2. Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore:
INTEGRALI IMPROPRI Esercizi svolti. Usando la definizione, calcolare i seguenti integrali impropri: a b c d e / +5 d ; arctan + d ; 8+ 4 5/ +e + d ; 9 +8 + + d. d ;. Verificare la convergenza del seguente
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 30-0-08 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliCONTINUITA. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Limiti di funzioni - Funzioni continue cap3b.pdf 1
CONTINUITA c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Limiti di funzioni - Funzioni continue cap3b.pdf Ricordiamo la definizione di limite lim 0 f () = l R: I ε (l), I δ ( 0 ) : dom(f ) I δ ( 0
DettagliLimiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti
Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo Appello 13 Febbraio 2018
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo Appello 1 Febbraio 18 Cognome: Nome: Matricola: T.1: 4 punti T.: 4 punti Es.1: 4 punti Es.: 8 punti Es.: 5 punti Es.4: 7 punti Totale
DettagliEsercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti. April 5, 2006
Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti April 5, 6 ESERCIZI. Studiare la convergenza della serie numerica al variare di γ IR.. Calcolare l integrale π n=
DettagliCorrezione terzo compitino, testo A
Correzione terzo compitino, testo A 24 maggio 2 Parte Esercizio.. Procederemo per esclusione, mostrando come alcune funzioni della lista non possano avere il grafico in figura. La prima cosa che possiamo
Dettagli6. Asintoti e continuità
6. Asintoti e continuità Davide Catania davide.catania@unibs.it Esercitazioni di Analisi Matematica 1 Asintoti Continuità Asintoto orizzontale: la retta y = l è l asintoto orizzontale a + (o destro) di
DettagliLimiti di funzioni 1 / 39
Limiti di funzioni 1 / 39 Comportamento agli estremi: operazione di ite 2 / 39 Sia f (x) una funzione definita su R e supponiamo di voler studiare l andamento della funzione agli estremi del dominio: x
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del TEMA log x. f(x) = e
Esercizio 1 [6 punti] Sia ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del 8.07.019 TEMA 1 f) = e +log. a) Determinare il dominio D di f; determinare i limiti di f agli estremi di
DettagliLimiti di funzioni 1 / 41
Limiti di funzioni 1 / 41 Comportamento agli estremi: operazione di ite 2 / 41 Sia f (x) una funzione definita su R e supponiamo di voler studiare l andamento della funzione agli estremi del dominio: x
DettagliRisoluzione del compito n. 2 (Febbraio 2014/1)
Risoluzione del compito n. Febbraio 04/ PROBLEMA Determinate le soluzioni z C del sistema { z + zz z = 4i z =5 3Iz. Dato che nella seconda equazione compare esplicitamente Iz, sembra inevitabile porre
DettagliLIMITI - ESERCIZI SVOLTI
LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ±
DettagliSOLUZIONI ESERCIZI ASSEGNATI. Contents. Il seguente Teorema generalizza al caso delle funzioni il corrispondente Teorema di confronto per successioni
SOLUZIONI ESERCIZI ASSEGNATI Contents. SOLUZIONI ESERCIZI DEL 8. [B] Dispense a cura del docente.. SOLUZIONI ESERCIZI DEL 8. Il seguente Teorema generalizza al caso delle funzioni il corrispondente Teorema
DettagliConfronto locale di funzioni Test di autovalutazione
Test di autovalutazione 1. Per x 0: (a) x 3 = o(x 4 ) (b) x 4 = o(sin x 2 ) (c) x 3 x 3 + 1 (d) x 7 + x x 2 x 2. Il limite lim x 0 + (a) vale 0 (b) non esiste (c) vale 2 (d) è infinito 4x 3 x ln x tan
DettagliStudiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 +
Esercizi del 2//09. Data la funzione f(x) = ln(x 2 2x) (a) trovare il dominio, gli eventuali asintoti e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Disegnare il grafico della funzione. (b) Scrivere
DettagliLA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
LA DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 1 LA Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a f(x 0 ) o a un altro valore reale l? Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a un valore l che è proprio f(x 0 )
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
Dettagli23 INVERTIBILITÀ E CONTINUITÀ
23 INVERTIBILITÀ E CONTINUITÀ Ricordiamo che se A, B sono insiemi e f : A B è una funzione iniettiva, ovvero a 1 a 2 = fa 1 ) fa 2 ), allora la relazione gb) = a fa) = b definisce una funzione g : Im f
DettagliSECONDO TEST DI ANALISI 1 per i CdL in FISICA e MATEMATICA, a.a. 2016/17 assegnato in data lim
SECONDO TEST DI ANALISI per i CdL in FISICA e MATEMATICA, a.a. 06/7 assegnato in data 5..06. Sia f : R \ {(0, 0)} R 3 la funzione definita da ( ( 4 ) f(x, y) = x + y sin, + arctan(x y), x + y Si calcoli
DettagliESERCITAZIONE: FUNZIONI GONIOMETRICHE
ESERCITAZIONE: FUNZIONI GONIOMETRICHE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Circonferenza goniometrica La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio unitario centrata nell
DettagliEsercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).
Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.
DettagliSOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7
SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 Esercizio. Funzione da studiare: log( 3).. Dominio: dobbiamo richiedere che il denominatore non si annulli e che il logaritmo sia ben definito. Quindi le condizioni
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del
ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del 3..7 TEMA Esercizio Calcolare l integrale log(3) 4 dx Svolgimento. Si ha log(3) 4 dx = (ponendo ex = t, per cui dx = dt/t) e = 4 3
DettagliStudi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x
Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare
DettagliLezione 18 (8 gennaio) Limiti
Lezione 18 (8 gennaio) Limiti Ripasso f x = ln 3 x 1 D = (1, + ) ln 3 x 1 + x 1 = ln 3 1 + 1 = ln 3 = ln(+ ) = + 0 + ln 3 x + x 1 = ln 3 + 1 = ln 3 + = ln(0+ ) = 1 Esempi di forme indeterminate x + x3
Dettagli6. LIMITI. Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 6. LIMITI Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 IDEA INTUITIVA DI LIMITE I Caso: comportamento di una
DettagliCalcolo infinitesimale
Calcolo infinitesimale L operazione di limite L operazione di limite ha lo scopo di descrivere il comportamento di una funzione nei pressi di un punto di accumulazione per il suo dominio. Limite finito
DettagliESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio. A. Figà Talamanca
ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio A. Figà Talamanca 14 ottobre 2010 2 0.1 Ancora limiti di funzioni di variabile reale Esercizio 1 Sia f(x) = [sin x] definita nell insieme [0,
Dettagli(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono.
Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y + xy 2 + y (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di
DettagliIntegrazione di funzioni razionali
Esercitazione n Integrazione di funzioni razionali Consideriamo il rapporto P (x) di due polinomi di gradi n e m rispettivamente. Per determinare una primitiva della funzione f(x) P (x) possiamo procedere
DettagliUna funzione reale di variabile reale è continua se si può disegnare senza staccare la matita dal foglio.
FUNZIONI CONTINUE Una funzione reale di variabile reale è continua se si può disegnare senza staccare la matita dal foglio. f x = x3 20 3 2 È una funzione continua Non è una funzione continua diciamo che
DettagliUniversità degli Studi di Verona
Università degli Studi di Verona Dipartimento di Informatica Ca' Vignal 2 Strada le Grazie 5 3734 Verona - Italia Tel. +39 045 802 7069 Fax +39 045 802 7068 Corso di Laurea in Matematica Applicata PROVETTA
DettagliEsercizi sulle equazioni logaritmiche
Esercizi sulle equazioni logaritmiche Per definizione il logaritmo in base a di un numero positivo x, con a > 0 e a 1, è l esponente che occorre dare alla base a per ottenere il numero x. In simboli log
DettagliIstituzioni di Matematiche seconda parte
Istituzioni di Matematiche seconda parte anno acc. 2010/2011 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 26 index 1 2 Continuità Cristina Turrini
Dettagli(E) x > 0 (F) x < 1/2 (E) (1/ 2) 1. (E) f 1 (x) = 2x 2 (F) f 1 (x) = x. (E) x = 2 ln 3 (F) x = 3 ln 2 (F) 1/2
1 Esercizi 8 di Calcolo e Biostatistica Es. 1. Rispondere alle seguenti sette domande nel tempo massimo di 30 minuti, senza usare strumenti elettronici (a) sapendo che log 10 0.3 e log 10 3 0.8, i valori
Dettagliy (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Siano date le seguenti funzioni: (a) f(x, y) = 3x + y (c) h(x, y) = x y (b) g(x, y) = xy (d) k(x, y) = x + y Determinare e disegnare nel piano cartesiano il dominio delle funzioni
DettagliLimiti di funzioni. Mauro Saita Versione provvisoria. Ottobre 2015
Limiti di funzioni Mauro Saita e-mail maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Ottobre 2015 Indice 1 Limiti 2 1.1 Definizione di ite................................ 2 1.2 Alcuni teoremi sui iti..............................
DettagliLezioni sullo studio di funzione.
Lezioni sullo studio di funzione. Schema. 1. Calcolare il dominio della funzione D(f).. Comportamento della funzione agli estremi del dominio. Ad esempio se D(f) = [a, b] si dovrà calcolare f(a) e f(b),
DettagliAnalisi matematica I. Sviluppi di Taylor e applicazioni. Sviluppi di Taylor. Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni
Analisi matematica I e applicazioni Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni 2 2006 Politecnico di Torino 1 e applicazioni Formule di Taylor con resto di Peano: caso e n =0 n =1 Formule di Taylor
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 25 febbraio 2017 Fila 1.
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 5 febbraio 07 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 7) Posto
DettagliCalcolo integrale. Regole di integrazione
Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su
DettagliANNO ACCADEMICO 2017/2018 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA III appello 7/9/2018 1
ANNO ACCADEMICO 7/8 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA III appello 7/9/8 Esercizio. I giocatori A e B giocano con un mazzo di 4 carte, senza le figure, con le seguenti regole: - ad ogni turno
Dettagli3 5 x 25 5 x = 1 5 x (3 25) = x = 1. 5 x = x 8x 8 = 0 2 x (23 ) x. = x (2x ) 3. = x (2 x ) 3 = 0.
Anno Scolastico 014/15 - Classe 3B Soluzioni della verifica di matematica del 9 Maggio 015 Risolvere le seguenti equazioni esponenziali o logaritmiche. Dove è necessario, scrivere le condizioni di esistenza
DettagliLimiti di funzioni e loro applicazioni
Limiti di funzioni e loro applicazioni Versione da non divulgare. Scritta per comodità degli studenti. Può contenere errori. 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Novembre 2013
Dettagli1.3. Se esistono i limiti sinistro e destro della funzione in un punto, allora esiste anche il limite della funzione nel punto stesso.
Esercitazione 8 Novembre 018 1. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false. 1.1. Se una funzione f(x) è definita in un intervallo aperto (a, b), ha senso chiedersi se esistono
DettagliIstituzioni di Matematiche terza parte
Istituzioni di Matematiche terza parte anno acc. 2011/2012 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 35 index Il concetto di limite 1 Il
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d Esame (0/09/200) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 2009/0 Matematica e Statistica Prova d Esame di MATEMATICA (0/09/200) Università di Verona - Laurea
DettagliEsercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
Dettagli15. Funzioni continue: esercizi
15. Funzioni continue: esercizi Esercizio 15.7. Data la funzione f : R f(r) con legge α se 0 f() = β 2 se > 0, 1. dire se per α = β = 1 la funzione è invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio,
DettagliSoluzioni del Foglio 2
ANALISI Soluzioni del Foglio 16 ottobre 009.1. Esercizio. Assegnata la funzione x f : R R; f(x) = x + 1 determinare l insieme di definizione, dire se l insieme immagine è limitato, determinare se l insieme
DettagliCorrezione dell appello del giorno 8 febbraio 2011
Correzione dell appello del giorno 8 febbraio 2 Davide Boscaini Questa è la risol della versione del compito scritto di Analisi Matematica assegnata al gruppo B dell appello del giorno 8 febbraio 2. Invito
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi proposti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi proposti. Risolvere la disequazione x x +. è soddisfatta x IR ]. Disegnare i grafici di (a) y = x + x + 3 ; (b) y = x x
DettagliNOME:... MATRICOLA:... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2008/2009 Calcolo 1, Esame scritto del f(x) = cos
NOME:... MATRICOLA:.... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 008/009 Calcolo, Esame scritto del 06.0.009 Consideriamo la funzione fx cos + x. a Determinare il dominio massimale di f. b Trovare tutti gli asintoti
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare [cos x] x kπ/ al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della
Dettagli1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO
1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti
DettagliANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI
ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x
DettagliAnalisi I - IngBM COMPITO A 6 luglio 2016 MATRICOLA... VALUTAZIONE =...
Analisi I - IngBM - 2015-16 COMPITO A 6 luglio 2016 COGNOME... NOME... MATRICOLA... VALUTAZIONE... +... =... 1. Istruzioni Gli esercizi devono essere svolti negli appositi spazi del presente fascicolo;
DettagliSVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti
Esercizio 1 SVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin con resto di Peano delle funzioni seguenti fino all ordine n indicato: 1. fx log1
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 14 novembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I mod. Lezione del 14/11/2008 1 / 22 Cr-decr-max-min Esempio 1 Esempio 2 Esempio 3
DettagliFacoltà di Scienze MFN, Università di Cagliari Analisi Matematica 1 (Informatica), a.a. 2007/08. Insiemi numerici: sup A, inf A
Facoltà di Scienze MFN, Università di Cagliari Analisi Matematica 1 (Informatica, a.a. 2007/08 Esercizi: Parte 1 Insiemi numerici: sup A, inf A 1. Verificare se A, nel caso sia non vuoto, è limitato superiormente,
DettagliPREMESSE DELL ANALISI INFINETISIMALE
PREMESSE DELL ANALISI INFINETISIMALE LE PREMESSE DELL ANALISI INFINETISIMALE Insiemi numerici e insiemi di punti Un insieme i cui elementi sono numeri reali è chiamato insieme numerico. Detto R l insieme
DettagliAnalisi - 10 settembre 2008 Corso di Laurea in Fisica - Fisica ed Astrofisica
Analisi - 1 settembre 28 Corso di Laurea in Fisica - Fisica ed Astrofisica Chi deve fare lo scritto di Derivate e Integrali (vecchio ordinamento) deve svolgere gli esercizi: 1, 2, 3, 4, 5 Esercizio 1 Data
DettagliUniversità di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A. Pisa, 6 aprile 2018
Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A Pisa, 6 aprile cos ) sin se Domanda Sia f) = Allora se =. A) non ha derivata in = ) è derivabile C) ha un punto di cuspide D) ha
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne
DettagliEs. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T. Totale
Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T. Totale Analisi e Geometria 1 COMPITO A Docenti: F. Colombo, G. Mola, E. Munarini 11/11/2008 Ing. Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi: Es.1 = 6 punti, Es.2 = 12 punti,
DettagliFunzioni continue. Hynek Kovarik. Università di Brescia. Analisi Matematica 1
Funzioni continue Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Funzioni continue Analisi Matematica 1 1 / 44 Funzioni continue Definizione Siano f : A
DettagliFORMULARIO: tavola degli integrali indefiniti Definizione. Proprietà dell integrale indefinito
FORMULARIO: tavola degli integrali indefiniti Definizione Proprietà dell integrale indefinito Integrali indefiniti fondamentali Integrali notevoli Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati:
DettagliEsercizi sulle funzioni
Esercizi sulle funzioni Esercizio. Siano f, g : R R definite da x x g ln x. Determinare le funzioni composte f g e g f, specificandone gli insiemi di definizione. Def(f) = [, ], Def(g) = (0, + ). f g :
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
Dettagli2x 2. Soluzione: Il valore del limite l non puó che essere 1: infatti. Per determinare δ basta studiare la disuguaglianza. x 1. x 1 x 1.
4.. Esercizio. Calcolare il ite { l = x x }, x e determinare δ tale che < δ implichi { x x } l < 0.5 ANALISI Soluzioni del Foglio 4 30 ottobre 009 Il valore del ite l non puó che essere : infatti { x x
DettagliFUNZIONI CONTINUE E FUNZIONI LIMITATE
FUNZIONI CONTINUE E FUNZIONI LIMITATE FUNZIONI CONTINUE Una funzione reale di variabile reale è continua se si può disegnare senza staccare la matita dal foglio. f x = x3 20 3 2 È una funzione continua
DettagliNozioni di base - Quiz - 2
Nozioni di base - Quiz - Rispondere ai seguenti quesiti (una sola risposta è corretta).. L insieme delle soluzioni della disequazione (a) (0, ) (, + ) (x ) log(x) x + 0 è: (b) [, ] (c) (d) (e) (, + ) (0,
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliANNO ACCADEMICO 2017/2018 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA I appello 29/5/2018 1
ANNO ACCADEMICO 2017/2018 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA I appello 29/5/2018 1 Esercizio 1. Una classe di liceo è composta da 12 ragazze e 9 ragazzi. La professoressa di matematica interroga
DettagliLICEO LINGUISTICO NINNI CASSARÁ. Classe VA. Studio di Funzioni. prof. Alessio Cangemi
LICEO LINGUISTICO NINNI CASSARÁ Classe VA Studio di Funzioni prof. Alessio Cangemi Di seguito saranno schematizzati gli step fondamentali per tracciare il grafico probabile di una funzione f(x). 1 Ricerca
DettagliAlgebra dei limiti. quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha. lim. f (x)
Algebra dei limiti Teorema. Se lim f () = l R e lim g() = m R, allora, 0 0 quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha lim (f () + g()) = lim f () + lim g()
Dettagli