Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 )

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1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio punti Data la funzione fx, = tanx + i studiare l esistenza del limite lim x,, fx, x ii determinare massimo e minimo di fx, su Ω = x, R : x +, } Esercizio punti Calcolare l integrale Ω x dx d x + dove Ω = x, R : x +, x +, } Esercizio punti Data la curva γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione γ : [, ] R, γt = log + t, t + cost i dire se la curva è regolare; ii scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P =, ; iii calcolare il lavoro lungo la curva γ, I del campo di vettori x x + + x + Fx, = x + + x +

2 Svolgimento Esercizio Data la funzione fx, = tanx + i studiare l esistenza del limite lim x,, fx, x La funzione è la composizione della funzione tangente e di un polinomio, dunque è definita quando l argomento della tangente è diverso da k +, k Z Poiché x + per ogni x, R, si ha Domf = x, R : x + k + }, k N, che geometricamente è R meno infinite ellissi sempre più grandi Il denominatore della frazione che si chiede di studiare nel limite è definito per e x, che corrisponde al primo e quarto quadrante del piano meno gli assi Dunque, è un punto di accumulazione per la frazione che dobbiamo studiare, e ha senso studiare il limite richiesto Iniziamo a studiare il comportamento del limite lungo le rette della forma = λx, con λ > siamo nel primo quadrante del piano Si trova lim x,,, =λx fx, x = lim x + fx, λx x λx = lim x + tan + λ x = λ x poiché tan x x per x Lo stesso succede se studiamo le rette nel terzo quadrante Per trovare un limite diverso da, dobbiamo rendere dello stesso ordine numeratore e denominatore Proviamo con la restrizione = x Si trova fx, lim x,,, =x x = lim x fx, x x x = lim x tanx + x x x e, ragionando come sopra per la tangente, si trova che questo limite è uguale a + se x +, ed è uguale a se x Possiamo concludere che il limite richiesto non esiste ii determinare massimo e minimo di fx, su Ω = x, R : x +, } L insieme Ω è rappresentato nella figura, e osserviamo che è interamente contenuto nel dominio di f

3 - - Figure : L insieme Ω Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione La funzione f è di classe C sul suo dominio, quindi non ci sono punti di non derivabilità e per trovare i punti critici dobbiamo risolvere il sistema fx, =, ossia x cos x + = 6 cos x + = L unica soluzione, del sistema non appartiene a Ω, dunque non dobbiamo considerare i punti critici Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω Il bordo è composto di due parti, gli insiemi Γ = x, R : x, = } Dunque gli spigoli sono i punti S = e Γ = e S = x, R : x + =, } Per studiare il comportamento di f su Γ usiamo la parametrizzazione [ t γ t =, t, ] Componiamo con f e otteniamo la funzione di una variabile g t = fγ t = tan t + 8, t [, ]

4 Abbiamo g t t = cos t + 8 dunque l unico punto critico è t = Troviamo quindi il punto critico vincolato Q = γ = Per studiare il comportamento di f su Γ usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange con la funzione G x, = x + Dobbiamo dunque cercare soluzioni x,, λ del sistema fx, = λ G x, G x, = x cos x + = λx 6 cos x + = λ x + = Analizzando la prima equazione, otteniamo che il sistema è equivalente a x x = 6 cos = λ cos x + = λ 6 cos = x + = e quindi a x = λ = cos = x + = x λ = cos = x = cos x + Il secondo sotto-sistema non ha soluzione, dunque troviamo il punto critico vincolato Q = I valori che dobbiamo confrontare sono dunque 66 8 fs = fs = tan, fq = tan, fq = tan per cui il massimo di f è tan e il minimo è tan 8

5 Esercizio Calcolare l integrale Ω x dx d x + dove Ω = x, R : x +, x +, } L insieme Ω è rappresentato nella figura - - Figure : L insieme Ω Risolviamo l integrale usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψρ, θ = x, con x = ρ cos θ = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ Dunque ponendo S l insieme tale che ψs = Ω, abbiamo x x + dx d = ρ cos θ sin θ dρ dθ Ω Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice Dalla definizione di Ω troviamo S = ρ, θ [, + [, ] : ρ, ρ ρ cos θ, ρ sin θ } La prima e la terza condizione ci dicono che mentre la seconda condizione è equivalente a ρ e θ [, ] S ρ cos θ Osserviamo innanzitutto che se θ > si ha cos θ <, dunque la disequazione ρ cos θ ha soluzione solo per θ [, ] Siamo quindi arrivati a S = ρ, θ [, + [, ] : θ }, ρ, ρ cos θ

6 Figure : L insieme S L insieme S è rappresentato nella figura, e per scriverlo come insieme semplice dobbiamo trovare θ [, ] tale che cos θ = Si trova θ =, quindi S = ρ, θ : θ }, ρ ρ, θ : θ }, ρ cos θ Dunque = Ω x x dx d = + ρ cos θ sin θ dρ = = dθ + cos θ sin θ dθ + cos θ S cos 9 θ ρ cos θ sin θ dρ dθ = cos θ ρ cos θ sin θ dρ dθ = cos8 θ sin θ dθ = = = 9 88 Esercizio Data la curva γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione γ : [, ] R, γt = log + t, t + cost i dire se la curva è regolare; Bisogna determinare se ci sono punti interni all intervallo I in cui si annulla il vettore velocità γ t Essendo t γ +t t =, sint 6

7 il sistema t +t = non ha soluzioni Dunque la curva è regolare sint = ii scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P =, ; Innanzitutto troviamo t I tale che γt = P risolvendo log + t = t + cost = Quindi t = La retta tangente al sostegno di γ, I nel punto P è dunque generata dal vettore velocità γ t = γ = e quindi un vettore ortogonale alla retta è in vettore n = L equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P è quindi x + = x = iii calcolare il lavoro lungo la curva γ, I del campo di vettori x x + + x + Fx, = x + + x + Studiamo innanzitutto le proprietà del campo F Il suo dominio è R \, } e = x rotfx, = F x x, F x, = x + + x x + x x + x + + x + = x + x + + = x x x + x + + = x + 7

8 Quindi il campo F è irrotazionale Essendo il suo dominio non semplicemente connesso, per vedere se F è anche conservativo, dobbiamo valutare il suo lavoro lungo una curva chiusa che vada intorno al buco, Scegliamo la curva γt = cos t, sin t con t [, ] Si trova LF, γ = sin t F cos t, sin t + cos t F cos t, sin t dt =, quindi il campo F è anche conservativo Possiamo allora scrivere che se fx, è un potenziale del campo, essendo la curva γ, I non chiusa, con punto iniziale P = γ = log, +cos e punto finale Q = γ = log, + cos, abbiamo LF, γ = fq fp = flog, + cos flog, + cos Cerchiamo quindi un potenziale f Dobbiamo quindi trovare una soluzione del sistema f x x x, = x + + x + Dalla prima equazione troviamo fx, = Sostituendo nella seconda troviamo f x, = x + + x + x x + + dx = x + + d x x + dx + dx = = log + x + + g x + + x + + g = x + + x + da cui g =, e quindi g = costante Tutti i potenziali del campo F sono quindi della forma fx, = log + x + + c Otteniamo allora LF, γ = flog, + cos flog, + cos = log + log + + cos + log + + cos 8