Analisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011)

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1 Corso di laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI compito del 9/09/0 Docente: Claudia Anedda Calcolare, tramite uno sviluppo in serie noto, la radice quinta di e la radice cubica di 9 Utilizzando la serie binomiale si trova Analogamente, + x α = α n x n, x <, α R, 5 = 5 + = 5 + = n 5 n = ] 9 = 7 + = = = n n ] 7 Dopo aver verificato enunciare il teorema utilizzato ce il sistema x + y + z 8 = 0 x + y + z = 0 definisce implicitamente una funzione fx = yx, zx in un intorno di x = tale ce f =,, calcolare y e z e, se possibile, y e z Sarebbe possibile calcolare ance le loro derivate successive nello stesso punto? Percé? Osserviamo ce le funzioni g x, y, z = x + y + z 8 e g x, y, z = x + y + z, essendo polinomi, sono definite su tutto R e sono di classe C Bisogna verificare ce

2 siano soddisfatte le ipotesi del teorema delle funzioni implicite per sistemi: g,, = g,, = 0; calcoliamo ance g = 9x, 4y, e g =,, ; si a g g, g,, = y,, g,, z y, z g y,, g = 8, = 7 0; z Quindi esiste un intorno V di x = e un unica funzione f : V R, fx = f x, f x = yx, zx, tale ce f C V, con f = y, z =, e g x, yx, zx = 0, g x, yx, zx = 0 x V Per calcolare y e z possiamo procedere in due modi, uno dei quali è derivare rispetto a x le equazioni del sistema pensando y = yx e z = zx 9x + 4yxy x + z x = 0 + y x + z x = 0 e calcolarle in x = ricordando ce y = e z = 9 + 8y + z = 0 y = y + z = 0, z = 7 Derivando ulteriormente si a 8x + 4y x + 4yxy x + z x = 0 y x + z x = 0 e, calcolando il sistema ottenuto in x = : y + z = 0 y + z = 0 y = 8 4 z = 8 4 Essendo g = g, g di classe C, ance la funzione f definita implicitamente dal sistema lo è, e quindi si possono calcolare y k e z k k N Data la forma differenziale x + y ω = + x + y dx + x + y dy,

3 dove t è una funzione di classe C R, determinare in modo tale ce ω sia esatta e, per uno di tali casi, calcolare una funzione potenziale Calcolare, poi, l integrale curvilineo della forma differenziale lungo un arco di circonferenza ce congiunge il punto 4, 0 al punto, La forma differenziale ω è definita in tutto R, ce è semplicemente connesso Affincé sia esatta basta imporre la condizione necessaria: F y = F x, x + y con F x, y = + x + y e F x, y = + x + y, cioé x x + y + x + y ] 6x + y + y x + y + x + y = + x + y, Posto x + y ordine x + y = la cui soluzione generale è 6x + y + x + y x + y + x + y + x + y, = t, cioé x + y = t, si ottiene l equazione differenziale lineare del primo t = e t = 8t +9t dt 8t 6t t + + 9t + 9t, 6t + 9t e } 8t +9t dt dt + c Si a t = + 9t + 9t ] + c ; t = + c + 9t, c R, cioé x + y = + c + x + y, c R, Troviamo infinite funzioni per cui ω è esatta La forma differenziale diventa ω = + c dx + x + y ] + x + y dy

4 Cerciamo una funzione potenziale Da U x x, y = + x + y ] + c si trova Ux, y = arctanx + y + cx + gy; derivando rispetto a y si a U y x, y = + x + y + g y,, imponendo ce U y = F, g y = 0 gy = k, k R Una funzione potenziale per ω è, per esempio, Ux, y = arctanx + y + cx Essendo ω esatta, si a γ ω = U, U4, 0 = c, dove γ è una qualunque curva per esempio un arco di circonferenza avente per estremi i punti 4, 0 e,, nell ordine 4Determinare i punti critici vincolati della funzione fx, y = e x + e y sotto la condizione x + y = 9 utilizzando due metodi Determinare, poi, se sono massimi o minimi relativi per f condizionati al vincolo L insieme vincolo è E 0 = x, y R : gx, y = x + y 9 = 0} Dato ce g = x, y = 0, 0 se e solo se x, y = 0, 0 E 0, E 0 non a punti singolari La funzione Lagrangiana è cerciamo le soluzioni del sistema Si a xe x λx = 0 ye y λy = 0 x + y 9 = 0 L = e x + e y λx + y 9; L x = 0 L y = 0 L λ = 0 e x = λ, x 0 e y = λ, y 0 x + y 9 = 0 x = y λ = e x x + y 9 = 0 x = ±y λ = e x y = 9, 4

5 si ottengono i punti critici vincolati A,, e 9, B,, e 9, C,, e 9, D,, e 9 Sono soluzioni del sistema ance i punti E0,, e 9, F 0,, e 9, G, 0, e 9 e H, 0, e 9 Calcoliamo ance L xx = e x +4x e x λ; L yy = e y +4y e y λ; ; L xy = L yx = 0; g x = ; g y = L Hessiano orlato in un punto critico vincolato P é dato da 0 g x P g y P HP = g x P L xx P L xy P g y P L yx P L yy P, dal cui segno si può dedurre se P è un minimo o un massimo relativo per f vincolato a g I punti critici vincolati si possono trovare ance parametrizzando il vincolo con rt = xt = cos t, yt = sin t, t 0, π], e sostituendo nella funzione obiettivo: φt = e 9 cos t + e 9 sin t ; φ t = 8 sin t cos te 9 cos t + 8 sin t cos te 9 sin t φ t = 0 sin t cos t = 0 e 9 cos t = e 9 sin t ; La prima equazione è verificata per t = 0, π, π, π; la seconda per t = π 4, 4 π, 5 4 π, 7 4 π, ce corrispondono, rispettivamente, ai punti di intersezione della circonferenza x +y = 9 con gli assi cartesiani e a quelli ce si trovano dall intersezione della circonferenza con le bisettrici dei quadranti si trovano, cioé, gli stessi punti critici trovati col metodo dei moltiplicatori di Lagrange Essendo f±, 0 = f0, ± = e 9 e f ±, = e 9, A, B, C, D risultano punti di minimo, mentre E, F, G, H punti di massimo 5