Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9.

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1 Appunti sul corso di Complementi di Matematica - mod Analisi prof. B.Baccelli 200/ 07 - Funzioni vettoriali, derivata della funzione composta, formula di Taylor. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9. Funzioni a valori vettoriali di variabile reale Sia r : R R n una funzione a valori vettoriali definita in un intervallo J R, cioè r è una legge ce associa ad ogni t J un vettore a n componenti: r(t) = (r (t), r 2 (t),..., r n (t)), t J. N.B. Ogni componente è funzione reale di variabile reale. Il limite di una funzione a valori vettoriali viene fatto per componenti: ( ) lim r(t) = lim r (t), lim r 2 (t),..., lim r n (t) t t 0 t t 0 t t0 t t0 Si dice ce r è continua in t se sono continue in t tutte le sue componenti. La derivata r (t), se esiste, è il vettore ce a per componenti le derivate delle componenti: r r(t + ) r(t) (t) = lim = (r 0 (t), r 2(t),..., r n(t)) In questo caso ogni componente è funzione reale di variabile reale e la derivabilità equivale alla differenziabilità. Si a quindi ce se r è derivabile in t allora r è continua in t. Esempio. r(t) = (2 cos t, 3 sin t), t [0, π] descrive un arco di ellisse nel primo e secondo quadrante. La derivata è r (t) = ( 2 sin t, 3 cos t). Esempio 2. r(t) = (a + t, b + tk), t [0, ] descrive il segmento dal punto (a, b) al punto (a +, b + k). La derivata è r (t) = (, k).

2 Derivata della funzione composta - Caso in cui la funzione composta è funzione reale di variabile reale. Teorema. Se z = f(x) : A R n R e r(t) = (r (t), r 2 (t),..., r n (t)) : J R A e sia g = f r la funzione composta: g(t) = f(r(t)), t J, allora se r(t) è derivabile in J e f è differenziabile in A si a ce g è derivabile in J con Dim. Poicè A è aperto, sia g (t) = f(r(t)) r (t) a = r(t) un punto interno ad A, cioè esiste un intorno U(a) contenuto in A. Vogliamo dimostrare ce g (t) = f(a) r (t). Poicè esiste r (t) allora r è continua in t. Pertanto esiste un δ tale ce per < δ i punti r(t+) sono in U(a). Sia allora 0 < < δ e sia r(t+) = a+y, cioè a = r(t) e y = r(t + ) r(t). Poicè f è differenziabile in a abbiamo g(t + ) g(t) = f(r(t + )) f(r(t)) = f(a + y) f(a) = f(a) y + y E(a, y) dove E(a, y) 0 se y 0. Poicè y = r(t + ) r(t), dividendo per otteniamo g(t + ) g(t) = f(a) r(t + ) r(t) Passando al limite per 0 osserviamo ce + r(t + ) r(t) E(a, y) g(t + ) g(t) g r(t + ) r(t) (t), r (t). e quindi r(t + ) r(t) è limitata. Inoltre, per la continuità di r in t, y 0 se 0, e quindi E(a, y) 0 se 0. 2

3 r(t + ) r(t) Ma allora E(a, y) 0 se 0. Da cui si a la tesi, g (t) = f(a) r (t). Nel caso n=2 la formula diventa, essendo r(t) = (x(t), y(t)), g (t) = f(r(t)) r (t) = D f(x(t), y(t))x (t) + D 2 f(x(t), y(t))y (t) Esempio Sia a =(a, b), y = (, k), e sia g(t) = f(a+ty) = f(a + t, b + tk). Allora, g (t) = f(a+ty) y =f x (a + t, b + tk) + f y (a + t, b + tk) k. Esempio Sia g(t) = f(t 2, log t), dove f(x, y) = x 5 + 3xy. Allora, g (t) = f x (t 2, log t)2t + f y (t 2, log t) t = (5x 4 + 3y) x=t 2,y=log t2t + (3x) x=t 2,y=log t t = (5t8 + 3 log t)2t + 3t 2 Esempio. Ortogonalità del vettore gradiente rispetto ai vettori tangenti alle curve di livello. Sia z = f(x, y) e sia S = {(x, y, z) : z = f(x, y)}. Notiamo ce S è la superficie di livello 0 della funzione F Inoltre, F (x, y, z) = f(x, y) z. F = (f x, f y, ). Sia r(t) = (x(t), y(t), z(t)) l equazione di una una curva ce giace sulla superficie S, e passante per a = (a, b, f(a, b)). Supponiamo ce r(t) sia definita e differenziabile in un intervallo J R. Sia r(t 0 ) = a. Vogliamo mostrare ce il vettore r (t 0 ) tangente alla curva in a è perpendicolare al vettore gradiente F (a). Infatti poicè la curva giace su S, r soddisfa l equazione F (r(t)) = 0, t J. Derivando rispetto a t entrambi i membri si a per la regola di derivazione della funzione composta valutata in t 0 F (a) r (t 0 ) = 0. 3

4 Questo succede per ogni curva di questo tipo, e il piano di equazione F (a) (x a) = 0 contiene quindi tutti i vettori r (t 0 ) tangenti alle curve ce stanno sulla superficie S e ce passano per a. Per questo tale piano è il piano tangente alla superficie z = f(x, y) nel punto a = (a, b, f(a, b)). Tale equazione scritta in forma scalare è z = f(a, b) + f x (a, b, f(a, b)) (x a) + f y (a, b, f(a, b)) (y b) Formula di Taylor per funzioni di due variabili. Come per funzioni di una variabile la formula di Taylor di centro (a,b) di una funzione f di due variabili, rappresenta f(x, y) come somma di un polinomio di grado n, in questo caso nelle potenze di (x a)e(y b), e di un resto (errore) ce è stimato nella forma di Lagrange o nella forma di Peano. Tali stime esprimono il fatto ce in un intorno del centro (a, b) dello sviluppo, tale polinomio è una approssimazione all ordine n della funzione data, cioè l errore è un infinitesimo di ordine superiore a (x a, y b) n, se (x, y) (a, b). Notazione. In quel ce segue l espressione (D + kd 2 ) m f(a, b) indica la potenza m-esima formale del binomio (D f(a, b) + kd 2 f(a, b)), essendo = x a, k = y b; per esempio e in generale (D + kd 2 ) 2 f = 2 D 2,f + 2kD 2,2f + k 2 D 2 2,2f, (D + kd 2 ) m f = m j=0 ( ) m (D j j D m j 2 f ) j k m j Teorema (Formula di Taylor). Supponiamo ce f : R 2 R, definita in un aperto A R 2 contenente un punto (a, b) abbia derivate parziali continue fino all ordine n + in un intorno U((a, b)) A. Allora per ogni (, k) R 2 tale ce (a +, b + k) U ((a, b)) si a f(a +, b + k) = n m=0 m! (D + kd 2 ) m f(a, b) + R n (, k), 4

5 dove il termine del resto di Lagrange è dato da R n (, k) = (n + )! (D + kd 2 ) n+ f(a + θ, b + θk), essendo θ (0, ) un numero opportuno, dipendente da (a, b) e da (, k). La formula puo ance scriversi (resto di Peano) nella forma f(a +, b + k) = n m=0 dove lim (,k) (0,0) o ( (, k) n ) (, k) n = 0. m! (D + kd 2 ) m f(a, b) + o ( (, k) n ), Dim. Dimostriamo solo la formula col resto di Lagrange. Fissato (, k) definiamo g(t) = f(a + t, b + tk), t [0, ]. Appliciamo a g la formula di Taylor (di una variabile) di ordine n, di centro t 0 = 0, incremento t =, e resto di Lagrange. Si ottiene g() = g(0) + g (0) + g (0) 2! g(n) (0) n! + g(n+) (θ), dove 0 < θ <. (n + )! Abbiamo g() = f(a +, b + k), g(0) = f(a, b). Applicando la regola di derivazione della funzione composta si a g (t) = D f(a + t, b + tk) + D 2 f(a + t, b + tk)k, g (0) = (D + kd 2 )f(a, b) g (t) = Df(a 2 + t, b + tk) 2 + D2f(a 2 + t, b + tk)k + D2f(a 2 + t, b + tk)k + D22f(a 2 + t, b + tk)k 2 = Df(a 2 + t, b + tk) 2 + 2D2f(a 2 + t, b + tk)k + D22f(a 2 + t, b + tk)k 2 g (0) = (D + kd 2 ) 2 f(a, b) e in generale g (m) (0) = (D + kd 2 ) m f(a, b) Da cui sostituendo si a la tesi. 5

6 In particolare la formula di Taylor di ordine due, resto di Peano e centro in (a, b) è la seguente: f(x, y) = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) per (x, y) (a, b) + 2 f xx(a, b)(x a) 2 + f xy (a, b)(x a)(y b) + 2 f yy(a, b)(y b) 2 + o((x a) 2 + (y b) 2 ), Esercizi Scrivere la formula di Taylor di ordine due, resto di Peano e centro nel punto P indicato. f(x, y) = e y/x + xy + 2, P = (, 0) Facendo le derivate parziali necessarie e applicando la formula si ottiene f(x, y) = 3 + 2y + y 2 /2 + o((x ) 2 + y 2 ), (x, y) (, 0) f(x, y) = x 3 + y 2 + 2e xy, P = (, ) Facendo le derivate parziali necessarie e applicando la formula si ottiene f(x, y) = 2e + (3 2e)(x + ) + ( 2 2e)(y + ) (3 e)(x + ) 2 +2( + e)(x + )(y + ) + ( + e)(y + ) 2 + o((x + ) 2 + (y + ) 2 ), (x, y) (, ) f(x, y) = x 5 3xy + sin y 2, P = (0, 0) In questo caso, senza fare derivate, si può usare lo sviluppo di McLaurin di sin t f(x, y) = 3xy + y 2 + o((x 2 + y 2 ), (x, y) (0, 0) Da questa formula si può dedurre ce f xx (0, 0) = 0, f xy (0, 0) = 3, f yy (0, 0) = 2 f(x, y) = log(3x 2 + y), P = (0, ) Senza fare derivate, si può usare lo sviluppo di McLaurin di log( + t) f(x, y) = log((3x 2 + y ) + ) = (3x 2 + y ) 2 (3x2 + y ) = (y ) + 3x 2 2 (y )2 + o((x 2 + (y ) 2 ), (x, y) (0, ) f(x, y) = e x 2y, P = (3, 0) Senza fare derivate, si può usare lo sviluppo di McLaurin di e t f(x, y) = e x 3+3 2y = e 3 e (x 3) 2y = e 3 [((x 3) 2y) + ((x 3) 2 2y) ] 6

7 = e 3 (x 3) 2e 3 y + e3 2 (x 3)2 + e 3 y 2 2e 3 (x 3)y + o((x 3) 2 + y 2 ), (x, y) (3, 0) Scrivere la formula di Taylor di ordine 6, resto di Peano e centro nel punto (0, 0) f(x, y) = x 4 + cos(x 3 y) Senza fare derivate, si può usare lo sviluppo di McLaurin di cos t f(x, y) = x 4 + o((x 2 + y 2 ) 3 ), (x, y) (0, 0) 7