ESERCIZI SULLE CURVE

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1 ESERCIZI SULLE CURVE VALENTINA CASARINO Esercizi per il corso di Fondamenti di Analisi Matematica, (Ingegneria Gestionale, dell Innovazione del Prodotto, Meccanica e Meccatronica, Università degli studi di Padova) () Determinare una parametrizzazione della curva r, il cui sostegno è l intersezione fra il paraboloide di equazione z = x + y e il cilindro a sezione ellittica di equazione x + 9y = 9. () Determinare una parametrizzazione della curva r, il cui sostegno è l intersezione fra il piano z = e la superficie sferica x + y + z = 4. (3) Determinare una parametrizzazione della curva r, il cui sostegno è l intersezione fra il paraboloide di equazione πy = x + z e il cilindro a sezione ellittica di equazione 5x + z = 5. (4) Determinare una parametrizzazione della curva r, intersezione fra il piano x + z = e la superficie sferica x + y + z =. (5) Determinare l equazione della retta tangente e della retta normale alla curva x(t) = log( t) y(t) = t t in corrispondenza di t =. (6) Data la curva piana r di equazioni parametriche x(t) = e t + y(t) = log t + t, t [/, ], determinare il versore tangente a r in corrispondenza di t =. (7) Scrivere in forma cartesiana l equazione della retta tangente alla curva di equazioni parametriche x(t) = e t y(t) = t + log( + t), t [, ], in corrispondenza di t =.

2 VALENTINA CASARINO (8) Verificare che + x dx = x + x + log x + + x. Calcolare poi la lunghezza dell arco di parabola y = x, che corrisponde all intervallo x b. (9) Calcolare la lunghezza dell arco di curva y = e x, per x. () Calcolare la lunghezza delle seguenti curve: (a) la cardioide di equazione (a > fissato). (b) la spirale logaritmica di equazione ove λ < è fissato. r = a( + cos θ), θ [, π], r = e λθ, θ [, kπ], () Calcolare l integrale curvilineo r f, ove f(x, y) = xy e r è l arco dell ellisse 4x + y = 4 contenuto nel primo quadrante. () Calcolare (x + y ), r ove r è l arco di spirale rappresentato, in coordinate polari, da ρ(θ) = ae θ, θ [, + ), con a > fissato. (3) Calcolare z, ove r è l arco di curva parametrizzato da x(t) = y(t) = sin t z(t) = t, t [, π]. r (4) Si consideri l arco di curva r x(t) = 3t y(t) = 4t +, t [, 3]. (a) Dimostrare che r è regolare. Calcolare poi l ascissa curvilinea s = s(t) (con t = ) e parametrizzare la curva in funzione di s. (b) Calcolare la lunghezza dell arco r.

3 VALENTINA CASARINO 3 (5) Si consideri l arco di curva r x(t) = t y(t) = log ( ) z(t) = log ( + tan t), t [, π/4]. (a) Stabilire se r è regolare. Esplicitare, in particolare, il vettore derivato. (b) In caso affermativo, calcolare la lunghezza dell arco r. Suggerimento: per calcolare l integrale, può essere utile ricordare che = cos x. cos x cos x (6) Calcolare la lunghezza della curva piana r, il cui sostegno coincide con il grafico della funzione x f(x) = ( x) 3 quando x [, ). (7) Calcolare la lunghezza dell arco di curva di equazioni parametriche x(t) = cosh t y(t) = cosh t sin t z(t) = t, t [, ].

4 4 VALENTINA CASARINO Soluzioni degli esercizi () L equazione del paraboloide ci permetterà di esprimere z in funzione di x e y. Per il momento la ignoriamo e partiamo dall equazione del cilindro, che coinvolge solo x e y e ci dice che (x(t)) + 9(y(t)) = 9 per ogni t R. Possiamo quindi porre x(t) = 3 e y(t) = sin t. Dall equazione del paraboloide ricaviamo ora z(t): poiché z = x + y, risulta z(t) = 9 cos t + sin t. Si ha quindi r = (3, sin t, 9 cos t + sin t), t [, π]. () Sappiamo dal testo dell esercizio che z(t) = per ogni valore di t, perché la curva si trova sul piano z =. Sostituendo questo valore nell equazione della sfera x + y + z = 4 troviamo che la relazione soddisfatta da x(t) e y(t), al variare di t, è (x(t)) + (y(t)) = 4 = 3. Al variare di t [, π] (x(t), y(t)) percorre quindi una circonferenza di raggio 3 sul piano z =. Le equazioni parametriche richieste sono quindi r = ( 3, 3 sin t, ), t [, π]. (3) r = (, π (cos t + 5 sin t), 5 sin t), t [, π] (si procede come nell esercizio ). (4) r = (/, sin t, / ), t [, π]. (5) x + y =, x = y. (Suggerimento. Basta considerare per quale punto del piano passa la curva quando t = e calcolare il vettore tangente alla curva in t =. Poi scriviamo l equazione parametrica di una retta passante per un punto dato con direzione assegnata (la direzione è ovviamente quella del vettore tangente)). (6) t = (/ 5, / 5). (7) y = x (8) Occorre calcolare l integrale J = + t dt. Una possibilità è porre t = sinh x e usare poi la formula ottenendo cosh x sinh x =, J = (cosh x) dx. Questo integrale si può calcolare per parti, e si ottiene Quindi J = x + cosh x sinh x + C. J = sinh t + t cosh(sinh t) + C.

5 VALENTINA CASARINO 5 Ricordiamo che la funzione f(t) = sinh t è invertibile su tutto R. La funzione inversa f, che prende il nome di settore seno iperbolico di x si può esprimere come f (t) = log ( t + t + ). Quindi J = log ( t + t + ) + t cosh(log ( t + t + ) ) + C. Dalla definizione di coseno iperbolico segue che J = log ( t + t + ) + [ ( 4 t e log t+ ) ( t + + e log = log ( t + t + ) + 4 t [ (t + t + ) + t+ t + )] + C ( t + t + ) ] + C = log ( t + t + ) + 4 t [ ( t + t + ) + ( t + t + ) ] + C. Bisogna ora calcolare l integrale fra e b. Si ottiene L = b + t dt = log ( b + b + ) + [ ( 4 b b + b + ) + ] ( b + b + ) = log ( b + b + ) + [ b 4 b + + b b + ] b + b + = log ( b + b + ) + [ b b + + b b + ] b + b + = log ( b + b + ) + [ b b b b ] b + b + = log ( b + b + ) + b b +. (9) Occorre calcolare l integrale L = + e t dt. Una possibilità è porre u = + e t, da cui ricaviamo dt = u du. Si ha quindi u ( L = + e t + + e log t ), + e t +

6 6 VALENTINA CASARINO da cui L = + e + ( log + e ) ( + e + log ) = + = + e + ( log + e ) log ( ) + e + = + e + ( ( + log e ) ) e log ( ) = + e ( + e + log ) log ( ) e = + e ( ) + log + e log ( ). () (a) Ricordiamo innanzitutto che, se una curva regolare r è espressa in coordinate polari come ρ = ρ(θ), θ π, la lunghezza di r è data da π (ρ(θ) ) ( L(r) = + ρ (θ) ) dθ. Disegnando la cardioide, si osserva che essa è regolare a tratti su [, π]. La condizione di regolarità è violata in t = π. Poiché il sostegno è simmetrico rispetto all asse y, per simmetria basta calcolare l integrale fra e π (dove la condizione di regolarità è soddisfatta) e moltiplicare per due il risultato ottenuto. Ci si riconduce quindi a calcolare l integrale π I = a ( + cos θ)dθ. o Con la formula di bisezione si ottiene poi L = 8a. (b) λ +(e kπλ ). λ () Parametrizziamo l ellisse ponendo x(t) = e y(t) = sin t, t [, π/]. Allora r(t) = (, sin t) rappresenta un arco di curva regolare con r (t) = ( sin t, ). Si ha quindi π/ f = sin t sin t + 4 cos tdt r = π/ sin t + 3 cos tdt. Poniamo u = + 3 cos t, da cui du = 6 sin t. Quindi (non teniamo conto nei passaggi intermedi degli estremi di integrazione) f = udu = r u3/ = ( + 3 cos t ) 3/ π/ = 9 9 ( 43/ )

7 VALENTINA CASARINO 7 = 4 (8 ) = 9 9. () a 5 /5 ( (3) 3 ( + 4π ) 3/ ) (4) Si ha r (t) = (6t, 8t) (, ) su [, 3], quindi r è regolare. Inoltre r (t) = t. Quindi possiamo calcolare s(t) = t r (τ) dτ = t cioè s(t) = 5t 5. Otteniamo allora τ dτ = t = (s + 5)/5, che, sostituita nelle equazioni parametriche di r conduce a x(s) = 3s + 5 ȳ(s) = 4 s + 6, 5 s [, 4]. Infine, l(r) = 4 r (s) ds = 4 ds = 4. t τdτ = 5τ t = 5t 5, (5) a) Le tre funzioni che definiscono x(t), y(t), z(t) sono di classe C sull intervallo assegnato. Inoltre, derivando r(t), otteniamo r (t) = ( ), tan t,. Questo vettore è continuo e non nullo sull intervallo assegnato, quindi r(t) è regolare. b) Si ha r (t) = + (tan t) + cos t = cos t. Quindi π/4 l(r) = dt = π/4 dt ( ) π/4 = cos t dt = Poniamo sin t = u, da cui dt = du e sin t dt = u du = π/4 sin t dt. u du + + u du = log u + log + u = log sin t + log + sin t = log( sin t) + log( + sin t) = + sin t log sin t = log ( + sin t) sin t = log ( + sin t) cos t = log + sin t.

8 8 VALENTINA CASARINO Possiamo quindi concludere che + sin t l(r) = log sin t o anche che l(r) = log + sin t π/4 π/4 = + log, = log( + ). (6) L = / 3. Cenni di svolgimento. Scrivendo la curva in forma cartesiana x = x y(x) = x( x), 3 con x [, ), in base al teorema che permette di calcolare la lunghezza di un arco di curva regolare ci riduciamo a calcolare L = + (f (x)) dx. Svolgendo i conti si ottiene da cui + (f (x)) = L = (3x + ), x 3x + x dx. Ponendo x = t (da cui dx = tdt), si ottiene infine L = (t 3 + t) = (x 3/ + x / ) = / (7) L = (e ) = sinh. e Cenni di svolgimento. Dopo aver osservato che l arco assegnato è regolare, si ottiene r (t) = sinh t + cosh t +. Quindi l(r) = sinh t + cosh t + dt = = sinh t cosh tdt = = (e e ). cosh tdt