Il sostegno di una curva C è l immagine Im C della funzione C, cioè l insieme di tutti i punti C(t), al variare di t in [a, b]: R 2

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1 urve parametrizzate Definizione Una curva parametrizzata nello spazio R 3 è una funzione [a, b] R 3 t (t) = (x(t), (t), z(t)) t [a, b] Il sostegno di una curva è l immagine Im della funzione, cioè l insieme di tutti i punti (t), al variare di t in [a, b]: Sostegno di = Im = {(t) R 3, t [a, b]} Analogamente, una funzione [a, b] parametrizzata nel piano R 2. R 2 si chiama curva Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 1/19 urve 1. Vettore tangente. Definizione Una curva [a, b] R 3, (t) = (x(t), (t), z(t)), si dice di classe 1 se le sue componenti x(t), (t), z(t) sono di classe 1, cioè, sono derivabili con derivata continua sull intervallo [a, b]. Se è una curva parametrizzata di classe 1, il vettore (t) = (x (t), (t), z (t)) si chiama vettore tangente o vettore velocità istantanea della curva in t. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 2/19

2 Esempio. Elica cilindrica. z z x a x R Figura : Elica cilindrica: [, 2π] R 3 (t) = (a cos t, a sin t, bt) (a > ; b > ) Figura : Elica cilindrica: [, 4π] R 3 (t) = (a cos t, a sin t, bt) (a > ; b > ). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 3/19 Esempio. Elica cilindrica (b < ). z x a Figura : Elica cilindrica [, 4π] R 3, (t) = (a cos t, a sin t, bt), b <. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 4/19

3 Esempio. Elica cilindrica (b < ). z x a Figura : Elica cilindrica [, 4π] R 3, (t) = (a cos t, a sin t, bt), b <. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 5/19 La cicloide (πr, 2r) r θ x = r(θ sin θ) = r(1 cos θ) x r θ Figura : Un arco della cicloide 2πr x [, 2π] R 2, (ϑ) = (r(ϑ sin ϑ), r(1 cos ϑ)) La cicloide è la curva descritta da un punto di una circonferenza di raggio r quando la circonferenza rotola, senza strisciare, sull asse delle x. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 6/19

4 Lunghezza di una curva parametrizzata urva parametrizzata di classe 1 in R 3 : [a, b] R 3 t (t) = (x(t), (t), z(t)) Vettore tangente in t [a, b]: (t) = (x (t), (t), z (t)) Definizione L integrale ds = b a (t) dt = b a x (t) 2 + (t) 2 + z (t) 2 dt si chiama lunghezza della curva parametrizzata. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 7/19 Lunghezza della circonferenza alcolare la lunghezza della circonferenza di raggio R. Una parametrizzazione della circonferenza di raggio R è (t) = (x(t), (t)) = (R cos t, R sin t), t [, 2π] Il vettore tangente è (t) = ( R sin t, R cos t), il cui modulo è (t) = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t = R Quindi la lunghezza della circonferenza è data da: 2π (t) dt = 2π R dt = 2πR Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 8/19

5 Lunghezza dell elica cilindrica alcolare la lunghezza dell elica cilindrica (t) = (a cos t, a sin t, bt), t [, 2π] (1) Il vettore tangente è (t) = ( a sin t, a cos t, b) e il suo modulo è (t) = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 = a 2 + b 2 Allora la lunghezza dell elica è 2π (t) dt = 2π a 2 + b 2 dt = 2π a 2 + b 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 9/19 Lunghezza di un elica: interpretazione geometrica z x a 2π a 2 + b 2 2πb 2πa Figura : Sviluppando su un piano il cilindro sul quale l elica è avvolta, l arco di elica si sviluppa lungo una diagonale di un rettangolo i cui lati sono 2πa e 2πb. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 1/19

6 Lunghezza di un grafico alcolare la lunghezza del grafico della funzione (di classe 1 ) = f (x), x [a, b]. Il grafico di f è il sostegno della curva parametrizzata x(t) = t (t) = f (t) t [a, b]. La lunghezza del grafico è allora data da: b a 1 + f (t) 2 dt (2) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 11/19 Lunghezza della cicloide alcolare la lunghezza della cicloide: (t) = (r(t sin t), r(1 cos t)), t [, 2π] (3) (t) = r 2 (1 cos t) 2 + r 2 sin 2 t = r 2 1 cos t 1 cos t Per la formula di bisezione: 2 = sin t 2 (t [, 2π]) si ha: Lunghezza = 2π r 2 1 cos t dt = 2r 2π sin t 2 dt = 8r Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 12/19

7 Integrale di una funzione f = f (x,, z) lungo una curva Dividiamo il sostegno di in N archi consecutivi 1,..., N ; Scegliamo un punto P i in ogni arco i e formiamo le somme N f (P i ) s i i=1 dove s i = lunghezza ( i ). Definizione (Integrale curvilineo come limite di somme) L integrale di f lungo la curva è il limite (quando esiste) delle somme di Riemann quando il massimo delle lunghezze s i tende a zero: N f (x,, z) ds = f (P i ) s i (4) lim s i Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 13/19 i=1 alcolo dell integrale usando una parametrizzazione Teorema Se la curva è di classe 1 e f è continua, l integrale di f lungo esiste e si calcola in questo modo: b f (x,, z) ds = f ((t)) (t) dt = a b a f (x(t), (t), z(t)) x (t) 2 + (t) 2 + z (t) 2 dt Dunque, per calcolare l integrale curvilineo f ds: si sostituisce al posto di x,, z rispettivamente x(t), (t), z(t); si scrive l elemento di lunghezza della curva : ds = x (t) 2 + (t) 2 + z (t) 2 dt si integra sull intervallo [a, b]. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 14/19

8 Idea della dimostrazione Per definizione, l integrale (di Riemann) b a f ((t)) (t) dt è limite delle somme di Riemann N f ((ti )) (ti ) t i i=1 N f (P i ) s i i=1 perché s i = lunghezza ( i ) (t i ) t i. (a = t < < t N = b è una partizione di [a, b]; t i [t i 1, t i ] è scelto a piacere; P i = (t i ); t i = t i t i 1 ; i = [t i 1, t i ] è l archetto di curva di estremi (t i 1 ) e (t i ).) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 15/19 Prima applicazione fisica: massa totale di un filo. Il sostegno della curva è il modello matematico di un filo; La funzione f rappresenta una densità lineare di massa. Questo significa che la massa m i di un piccolo archetto di lunghezza s i è data da m i = f (P i ) s i (5) Allora l integrale f (x,, z) ds (6) si interpreta come la massa totale del filo la cui densità lineare di massa è f. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 16/19

9 Seconda applicazione fisica: carica totale su un filo. Il sostegno della curva è il modello matematico di un filo; Sul filo sono presenti cariche elettriche e λ è la densità lineare di carica sul filo. Allora la quantità di carica Q presente su un piccolo tratto di filo di lunghezza (positiva) s è Q = λ(p) s dove P è un qualunque punto sul tratto di filo. Allora l integrale λ ds si interpreta come la quantità totale di carica elettrica sul filo. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 17/19 Terza applicazione fisica: baricentri di linee Sia λ ds (λ = λ(x,, z)) la densità lineare di massa di un filo [a, b] R 3. Definizione Il baricentro, o centro di massa, G della linea è il punto le cui coordinate sono date da x λ ds λ ds z λ ds x G = λ ds, G = λ ds, z G = (7) λ ds Se la densità di massa λ è costante, il baricentro si chiama anche centroide. In questo caso, posto L = ds la lunghezza di, si ha: x G = 1 x ds G = 1 ds z G = 1 z ds (8) L L L Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 18/19

10 Trovare le coordinate del baricentro della semicirconferenza γ di equazioni parametriche: x(t) = R cos t, (t) = R sin t, t [, π] (9) Per motivi di simmetria, il baricentro si deve trovare sull asse. Le sue coordinate (x, ) sono date, per definizione, da: x = 1 x ds, = 1 ds L L γ dove L è la lunghezza della curva. Nel nostro caso L = πr e ds = R dt. Quindi: x = 1 π R cos t R dt = R π cos t dt = πr π = 1 π R sin t R dt = R π sin t dt = 2 πr π π R Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 19/19 γ