Integrali doppi. Hynek Kovarik. Analisi Matematica 2. Università di Brescia

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1 Integrali doppi Hynek Kovarik Università di Brescia nalisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 1 / 47

2 Motivazione: calcolo di volume Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 2 / 47

3 Definizione di integrale doppio Sia R = [a, b] [c, d] e sia f : R R una funzione limitata. Date due suddivisioni D 1 = {a = x < x 1 < < x n = b} e D 2 = {c = y < y 1 < < y m = d} di [a, b] e [c, d], chiamiamo somma inferiore e somma superiore di f rispetto alla griglia D 1 D 2 le quantità s(f, D 1 D 2 ) = ( ) inf f (x i x i 1 )(y j y j 1 ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] i,j e S(f, D 1 D 2 ) = i,j ( sup f [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] ) (x i x i 1 )(y j y j 1 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 3 / 47

4 Chiamo inoltre i valori e I(f ) = sup D 1,D 2 s(f, D 1 D 2 ) J(f ) = inf D 1,D 2 S(f, D 1 D 2 ) l integrale inferiore e l integrale superiore di f. Dalla definizione segue che I(f ) J(f ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 4 / 47

5 Definizione (Funzioni integrabili e integrale doppio) Sia R = [a, b] [c, d] e sia f : R R una funzione limitata. Diciamo che f è integrabile secondo Riemann se I(f ) = J(f ). Tale valore si indica con f (x, y) dx dy, e si dice integrale doppio di f su R. R Per f = 1 si ha R dx dy = area(r). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 5 / 47

6 Teorema (Le funzioni continue sono integrabili) Sia R = [a, b] [c, d] e sia f : R R una funzione continua. llora f è integrabile secondo Riemann. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 6 / 47

7 Teorema (Proprietà dell integrale doppio) Sia R = [a, b] [c, d] e siano f, g : R R due funzioni integrabili. llora valgono le seguenti proprietà: 1 Linearità: per ogni α, β R risulta (α f (x, y) + β g(x, y)) dx dy = α f (x, y) dx dy R R + β g(x, y) dx dy. 2 Confronto: se f (x, y) g(x, y) per ogni (x, y) R, si ha f (x, y) dx dy g(x, y) dx dy R 3 Confronto con il modulo: f (x, y) dx dy R R R R f (x, y) dx dy. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 7 / 47

8 Teorema (Formule di riduzione per rettangoli) Sia R = [a, b] [c, d] e sia f : R R una funzione integrabile. Supponiamo che per ogni x [a, b] l applicazione y f (x, y) sia integrabile su [c, d]. llora si ha ( b ) d f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. (1) R a nalogamente, se per ogni y [c, d] l applicazione x f (x, y) è integrabile su [a, b], allora si ha ( d ) b f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. (2) R c c a Interpretazione geometrica... Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 8 / 47

9 Esempio Se R = [, 1] [, 2] e f (x, y) = x 2 y, allora si ha ( 1 ) 2 f dx dy = x 2 y dy dx = R 1 [ ] y x dx 2 = 1 2x 2 dx = 2 3. oppure R f dx dy = 2 ( ) 1 x 2 y dx dy = 2 [ x 3 y 3 ] 1 dy = y dx = 2 3. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 9 / 47

10 Integrali doppi su insiemi generali Definizione (Funzione caratteristica) Sia R 2. La funzione 1 : R 2 R definita da { 1 se (x, y), 1 (x, y) = se (x, y) si dice funzione caratteristica di. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 1 / 47

11 Definizione (Integrale doppio su insiemi generali) Sia R = [a, b] [c, d] e sia R. Diciamo che è un insieme di Jordan, se la funzione 1 è integrabile secondo Riemann. In tal caso, data una funzione integrabile f : R R, poniamo f dx dy := 1 f dx dy R Per f = 1 si ha dx dy = area(). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 11 / 47

12 Proprietà elementari Sia R = [a, b] [c, d] e siano 1, 2 R insiemi di Jordan. Siano inoltre f, g : R R funzioni integrabili. Valgono queste proprietà : 1 dditività : se 1 2 =, allora f dx dy = 1 2 f dx dy + 1 f dx dy 2 2 Confronto: se f (x, y) g(x, y) per ogni (x, y) R, allora j f dx dy j g dx dy j = 1, 2. 3 Confronto con il modulo: si ha f dx dy j f dx dy j = 1, 2. j Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 12 / 47

13 Casi particolari: simmetrie 1. Sia R 2 un insieme di Jordan. Supponiamo che sia simmetrico rispetto all asse delle y, cioè per ogni (x, y) R 2 vale (x, y) ( x, y). Sia f : R integrabile. Valgono le seguenti affermazioni: 1 Se f è dispari in x, cioè f ( x, y) = f (x, y), allora f dx dy =. 2 Se f è pari in x, cioè f ( x, y) = f (x, y), allora f dx dy = 2 f dx dy x dove x = {(x, y) : x }. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 13 / 47

14 Esempio L insieme = {(x, y) R 2 : 1 x 1, y 1 + x 2 } è simmetrico rispetto all asse delle y. La funzione f (x, y) = sin(x 3 ) e x arctan(1 + y 3 ) è dispari in x. Dunque f dx dy =. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 14 / 47

15 Casi particolari: simmetrie 2. Sia R 2 un insieme di Jordan. Supponiamo che sia simmetrico rispetto all asse delle x, cioè per ogni (x, y) R 2 vale (x, y) (x, y). Sia f : R integrabile. Valgono le seguenti affermazioni: 1 Se f è dispari in y, cioè f (x, y) = f (x, y), allora f dx dy =. 2 Se f è pari in y, cioè f (x, y) = f (x, y), allora f dx dy = 2 f dx dy y dove y = {(x, y) : y }. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 15 / 47

16 Esempio L insieme = {(x, y) R 2 : 1 y 1, x y 2 } è simmetrico rispetto all asse delle x. La funzione f (x, y) = log(1 + x 2 + y 2 ) arctan(sin y) è dispari in y. Dunque f dx dy =. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 16 / 47

17 Casi particolari: insiemi normali Definizione (Insiemi normali rispetto all asse x) Siano α, β : [a, b] R due funzioni tali che α(x) β(x) x [a, b] L insieme = { (x, y) R 2 : a x b, α(x) y β(x) } è detto insieme normale rispetto all asse delle x. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 17 / 47

18 Casi particolari: insiemi normali Definizione (Insiemi normali rispetto all asse y) Siano γ, δ : [c, d] R due funzioni tali che γ(y) δ(y) y [c, d] L insieme = { (x, y) R 2 : c y d, γ(y) x δ(y) } è detto insieme normale rispetto all asse delle y. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 18 / 47

19 Gli insiemi normali determinati da due funzioni integrabili α, β : [a, b] R o γ, δ : [c, d] R sono insiemi di Jordan. Esistono insiemi normali sia rispetto all asse delle x sia rispetto all asse delle y: rettangoli, triangoli, etc. Dall altra parte, esistono insiemi che non sono normali rispetto a nessuno degli assi: corona circolare,... Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 19 / 47

20 Teorema (Formule di riduzione per insiemi normali) Sia R 2 e sia R un rettangolo tale che R. Sia inoltre f : R una funzione integrabile. Valgono le seguenti affermazioni: 1 Se è normale rispetto all asse delle x e determinato dalle funzioni integrabili α, β : [a, b] [c, d], allora ( b ) β(x) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. (3) a α(x) 2 Se è normale rispetto all asse delle y e determinato dalle funzioni integrabili γ, δ : [c, d] [a, b], allora ( d ) δ(y) f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. (4) c γ(y) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 2 / 47

21 Dimostrazione: Per definizione si ha f (x, y) dx dy = f (x, y) 1 (x, y) dx dy. Supponiamo per esempio che sia normale rispetto all asse delle x: = { (x, y) R 2 : a x b, α(x) y β(x) } R Sia R = [a, b] [c, d]. pplicando la formula di riduzione per rettangoli alla funzione f 1 si ottiene ( b ) d f (x, y) 1 (x, y) dx dy = f (x, y) 1 (x, y) dy dx R da cui la tesi = a b a c ( ) β(x) f (x, y) dy dx, α(x) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 21 / 47

22 Esempio 1 : Sia f : R 2 R data da f (x, y) = y e sia = {(x, y) R 2 : x 1, x 2 y x} Siccome è normale rispetto all asse delle x e determinato dalle funzioni α(x) = x 2 e β(x) = x, posso applicare la formula di riduzione (3) con a = e b = 1: y dx dy = = = ( ) x y dy dx = x 2 ( x 2 x 4 ) dx = ( ) = [ y 2 2 ] x x 2 dx (x x 4 ) dx Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 22 / 47

23 Osserviamo che è normale anche rispetto all asse delle y, e determinato dalle funzioni γ(y) = y 2 e δ(y) = y : = {(x, y) R 2 : y 1, y 2 x y} Quindi dalla formula di riduzione (4) con c = e d = 1 si ottiene ( 1 ) y ( 1 ) y y dx dy = y dx dy = y dx dy y 2 y 2 = 1 y( y y 2 ) dy = 1 (y 3/2 y 3 ) dy = [ ] y 5/2 [ y 4 4 ] 1 = = 3 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 23 / 47

24 Esempio 2 : Sia f : R 2 R data da f (x, y) = sin(y 2 ) e sia { = (x, y) R 2 : x 2 π, x 2 y } π Quindi è normale rispetto all asse x. pplico la formula di riduzione (3): ( 2 π ) π sin(y 2 ) dx dy = sin(y 2 ) dy dx... x 2... non concludo nulla! Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 24 / 47

25 Rappresento come insieme normale rispetto all asse y: { = (x, y) R 2 : y } π, x 2y Dalla formula di riduzione (4) ottengo ( sin(y 2 π ) 2y ) dx dy = sin(y 2 ) dx dy... = π 2y sin(y 2 ) dy = = [ cos t ] π = 2 π sin t dt ltro esempio: si veda il tema d esame del Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 25 / 47

26 Cambiamento di variabili Definizione (Cambiamento di variabili) Siano U, V R 2 due aperti. Diciamo che G : V U è un cambiamento di variabili di classe C 1 tra U e V se G C 1 (V ), G è invertibile con G 1 : U V di classe C 1. Interpretazione: passiamo dalle coordinate (x, y) U alle nuove coordinate (u, v) V definite da x = G 1 (u, v), y = G 2 (u, v). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 26 / 47

27 Jacobiano Definizione (Jacobiano di un cambio di variabili) Siano U, V R 2 due aperti e sia G : V U è un cambiamento di variabili di classe C 1. Chiamiamo jacobiano di G l applicazione J G : V R definita da u G 1 (u, v) v G 1 (u, v) J G (u, v) = det (5) u G 2 (u, v) v G 2 (u, v) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 27 / 47

28 Teorema (Cambiamento di variabili) Siano U, V R 2 due aperti e sia G : V U un cambiamento di variabili di classe C 1. Sia f : U R una funzione integrabile e sia U un insieme di Jordan. llora G 1 () è di Jordan e vale f (x, y) dx dy = f (G 1 (u, v), G 2 (u, v)) J G (u, v) du dv (6) G 1 () L insieme G 1 () è la controimmagine di tramite l appicazione G : G 1 () = {(u, v) V : G(u, v) }. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 28 / 47

29 Coordinate polari Sono le coordinate (r, θ) [, ) [, 2π] definite dal cambio di variabili x = r cos θ, y = r sin θ. Quindi u = r, v = θ, G 1 (r, θ) = r cos θ e G 2 (r, θ) = r sin θ. Dalla formula (5) calcoliamo il jacobiano: cos θ r sin θ J G (r, θ) = det = r cos 2 θ + r sin 2 θ = r sin θ r cos θ Dunque dall equazione (6) si ottiene f (x, y) dx dy = G 1 () f (r cos θ, r sin θ) r dr dθ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 29 / 47

30 Esempio 1: Consideriamo l integrale doppio x 2 dx dy, + y 2 dove = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. Con il passaggio alle coordinate polari si ottiene G 1 () = {(r, θ) : r 1, θ 2π} = [, 1] [, 2π] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 3 / 47

31 Quindi x 2 dx dy = + y 2 1 2π 1 r dr dθ 1 + r 2 = 1 ( ) 2π dθ r 1 + r 2 dr = 1 2πr 1 + r 2 dr [ ] 1 = π log(1 + r 2 ) = π log 2. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 31 / 47

32 Esempio 2: Consideriamo l integrale doppio y dx dy, x 2 + y 2 dove = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4, y}. Con il passaggio alle coordinate polari si ottiene G 1 () = {(r, θ) : r 2, θ π} = [, 2] [, π] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 32 / 47

33 Quindi y 2 x 2 + y dx dy = 2 π r sin θ r r dr dθ = 2 ( π ) sin θ dθ r dr = 2 [ cos θ ] π r dr = 2 2r dr = [ r 2] 2 = 4. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 33 / 47

34 Coordinate polari generalizzate Sono le coordinate (r, θ) [, ) [, 2π] definite dal cambio di variabili x = a r cos θ, y = b r sin θ, a, b >. Quindi u = r, v = θ, G 1 (r, θ) = ar cos θ e G 2 (r, θ) = br sin θ. Dalla formula (5) calcoliamo lo jacobiano: a cos θ ar sin θ J G (r, θ) = det b sin θ br cos θ = a b r cos 2 θ + a b r sin 2 θ = a b r Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 34 / 47

35 Dunque dall equazione (6) si ottiene f (x, y) dx dy = ab f (a r cos θ, b r sin θ) r dr dθ G 1 () Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 35 / 47

36 Esempio: Calcoliamo l area dell insime = {(x, y) R 2 : x 2 a 2 + y 2 } b 2 1. Con il passaggio alle coordinate polari generalizzate x = a r cos θ, y = b r sin θ si ottiene r 2 1. Quindi G 1 () = {(r, θ) : r 1, θ 2π} = [, 1] [, 2π] da cui area() = dx dy = ab r dr dθ G 1 () = ab 1 ( ) 2π dθ r dr = a b π. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 36 / 47

37 Teorema di Green Teorema (Green) Sia Γ una curva chiusa e regolare a tratti a valori in R 2 percorsa in senso antiorario. Sia la regione di piano interna alla curva Γ. Sia Ω un aperto di R 2 contenente e la sua frontiera (la curva Γ). Sia F : Ω R 2, F(x, y) = (F 1 (x, y), F 2 (x, y)) di classe C 1 (Ω). llora ( F2 x F ) 1 dx dy = F dγ y Γ Il Teorema di Green vale anche quando Ω non è semplicemente connesso. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 37 / 47

38 Dimostrazione: Ci limitiamo al caso di insiemi normali rispetto a entrambi gli assi. Siano G, H : R 2 dati da G(x, y) = (F 1 (x, y), ), H(x, y) = (, F2 (x, y)) llora F = G + H e vale F dγ = Γ Γ G dγ + H dγ (7) Γ Siccome è normale rispetto all asse x, esiste un intervallo [a, b] e due funzioni α, β : [a, b] R, di classe C 1 a tratti, tali che = { (x, y) R 2 : a x b, α(x) y β(x) } Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 38 / 47

39 Quindi Γ = Γ 1 Γ 2 Γ 3 Γ 4, dove Γ 1,..., Γ 4 sono le curve con le rappresentazioni parametriche r 1 (x) = (x, α(x)), x [a, b], r 2 (y) = (b, y), y [α(b), β(b)] r 3 (x) = (b + a x, β(b + a x)), x [a, b], r 4 (y) = (a, β(a) + α(a) y), y [α(a), β(a)] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 39 / 47

40 Dunque G dγ = Γ G dγ1 + Γ 1 G dγ3 Γ 3 = = = b + a b a b a b a (F 1 (x, α(x)), ) (1, α (x)) dx (F 1 (b + a x), β(b + a x), ) ( 1, β (x)) dx (F 1 (x, α(x)) b ( F 1 (x, α(x)) F 1 (x, β(x)) a (F 1 (b + a x, β(b + a x))dx ) dx, (8) dove abbiamo usato la sostituzione t = b + a x nel secondo integrale. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 4 / 47

41 D altra parte, usando la formula di riduzione per insiemi normali rispetto all asse x si ottiene ( F b ) β(x) 1 F 1 (x, y) dx dy = (x, y) dy dx y a α(x) y = b a (F 1 (x, α(x)) F 1 (x, β(x))) dx Quindi il confronto con l equazione (8) implica che F 1 (x, y) dx dy = G dγ y Γ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 41 / 47

42 Nello stesso modo, usando il fatto che è normale anche rispetto all asse delle y, si mostra che F 2 (x, y) dx dy = H dγ (esercizio) x Dunque ( F2 x F ) 1 dx dy = y Γ Γ G dγ + H dγ = F dγ Γ Γ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 42 / 47

43 Una conseguenza del Teorema di Green Teorema Sia R 2 semplicemente connesso e sia F : R 2 un campo di classe C 1 ( ). Se F è irrotazionale, allora F è conservativo in. Dimostrazione: Sia Γ una curva chiusa regolare a tratti a valori in. Sia B la regione delimitata da Γ. llora B = Γ e siccome è semplicemente connesso si ha B. Quindi per il Teorema di Green ( F2 F dγ = Γ B x F ) 1 dxdy =. y }{{} Questo vale per ogni curva chiusa regolare a tratti a valori in. Quindi F è conservativo. = Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 43 / 47

44 lcune applicazioni del Teorema di Green Esempio ( ) Sia Γ il bordo, percorso in senso antiorario, della semi-corona circolare delimitata dalle circonferenze x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 e contenuta nel semispazio {(x, y) R 2 : y }. Calcolare F dγ, dove Γ ( 2y 2 F(x, y) = 7 esin x, xy 7 + ) y Sia la regione delimitata dalla curva Γ. Per il Teorema di Green si ha ( F2 F dγ = x F ) 1 dxdy = 3 y dxdy y 7 Γ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 44 / 47

45 Con il passaggio alle coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ si ottiene Quindi G 1 () = {(r, θ) : 1 r 2, θ π} = [1, 2] [, π]. 3 7 y dxdy = ( π = = 2 ) r sin θdθ r dr = r 2 dr Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 45 / 47

46 lcune applicazioni del Teorema di Green Calcolo dell area: Sia R 2. Se F : R 2 R 2 è tale che ( F2 x F ) 1 (x, y) = 1 (x, y), (9) y allora per il Teorema di Green vale area() = 1 dxdy = Possibili scelte di F che soddifanno (9): F(x, y) = (, x) F(x, y) = ( y, ), F(x, y) = 1 ( y, x). 2 F dγ, Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 46 / 47

47 Esempio Ricalcoliamo l area dell insime = {(x, y) R 2 : x 2 a 2 + y 2 } b 2 1. { } Sia Γ = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 il bordo di percorso in senso a 2 b 2 antiorario. Rappresentazione parametrica di Γ: r(t) = (a cos t, b sin t), t [, 2π]. llora scegliendo F(x, y) = (, x) si ha area() = F dγ = 2π (, a cos t) ( a sin t, b cos t) dt = 2π ab cos 2 t dt = ab π Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei nalisi Matematica 2 47 / 47