1) i) Determinare il valore massimo e il valore minimo assunti dalla funzione. f (x, y) = x e x2 y 2

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1 1 X Cognome:... Nome:... Matricola: Università di Milano - Bicocca Corso di laurea di primo livello in Sciene statistiche ed economiche Corso di laurea di primo livello in Statistica e gestione delle informaioni Matematica II - seconda prova pariale ) i) Determinare il valore massimo e il valore minimo assunti dalla funione sul disco D = { (x, y) R : (x 1) + y 1 }. D è il seguente disco: f (x, y) = x e x y Cominciamo a studiare il comportamento di f all interno del dominio e cerchiamo i punti staionari di f : f x = (1 x x y )e = f y = xye x = y I punti staionari sono quindi A = ( /, ) e B = ( /, ) : solo il primo è interno al disco. Studiamo la matrice Hessiana: [ ] x(x H f (x, y) = 3)e x y y(x 1)e x y y(x 1)e x y x(y 1)e x y, otteniamo H f ( /, ) = [ e 1/ e 1/ è evidente che H f ( /, ) è definita negativa e quindi A è un punto di massimo locale. Studiamo ora il bordo del dominio. Osserviamo che il vincolo può essere espresso come x + y = x, con x [, ]; sostituendo nella espressione di f(x, y), otteniamo F (x) = xe x da studiare per x [, ]; la funione F rappresenta il comportamento della funione f ristretta lungo la circonferena. ] :

2 Facilmente si ottiene F (x) = (1 x)e x ci permette di dire che F è crescente in [, 1/], decrescente in [1/, ]; quindi x = e x = sono punti di minimo per F, mentre x = 1/ è punto di massimo per F (F sempre considerata in [, ]). I punti della circonferena candidati ad essere massimo o minimo sono quindi O = (, 9), C = (, ), E = (1/, 3/) e F = (1/, 3/). Poichè per il teorema di Weierstasse il massimo e il minimo di f su D esistono e poichè f( /, ) = 1 e, f(, ) = e, f(, ) =, f(1/, 3/) = f(1/, 3/) = 1 e, chiaramente il massimo di f è in A e il minimo è in O. ii) Determinare i massimi e i minimi relativi di f su D. Osserviamo che f > se e solo se x ( /, /) e che f se e solo se (x, y) appartiene x y al secondo o al quarto quadrante del piano cartesiano. Lo studio del comportamento di f lungo il vincolo lo abbiamo fatto nel punto precedente. Da queste informaioni otteniamo ove le frecce oriontali e verticali indicano le direioni di crescita per spostamenti oriontali o verticali, mentre le frecce sul bordo indicano il verso di crescita della f vincolata sulla circonferena. Sappiamo, dal punto precedente, che A è massimo e O minimo assoluti su D. Il punto E non è nè massimo nè minimo relativo: infatti, muovendoci lungo la circonferena la funione cresce avvicinandosi a E, mentre se da E ci muoviamo lungo la linea tratteggiata (verso l interno di D) la funione cresce ancora. Questo basta a garantire che E non è nè massimo, nè minimo. Stesso ragionamento vale per F. Il punto C invece è di minimo: infatti se ci muoviamo da C lungo la circonferena, la funione cresce; se poi da un punto della circonferena (vicino a C) ci muoviamo oriontalmente verso l interno di D, vediamo che la funione cresce sempre e raggiungiamo un qualsiasi punto interno a D in un intorno di C. Questo basta a garantire che C è minimo relativo. ) Calcolare I = E xy e y x +y dove E = {(x, y) R : x + y 9, x y }. La regione E è la seguente: x + y dx dy,

3 3 Osserviamo che la funione è pari sia rispetto a x che rispetto a y; inoltre il dominio E è simmetrico sia rispetto all asse x che rispetto all asse y : questo ci permette di integrare la f solo su E R + (ove R + = {(x, y) : x, y }) e moltiplicare per. Quindi I = E R + (poichè x, y ) = (passando in coordinate polari) = = = E R + π/ π/ π/ xy e y x +y x + y xye y x +y x + y cos θ sin θ ( e 9 sin θ = 9 ( e 9 = 3 ( cos θ e r sin θ ] 3 dx dy dx dy re r sin θ dr dθ dθ cos θ ( e 9 sin θ e sin θ) dθ 9 e9/ 9 ] sin θ π/ e e + e ) dove 3) Per ogni α > sia Ω α = {(x, y, ) R 3 : y 3 e J α = Ω α 1 1+ x +y dx dy d, x + y < < x + y + (x + y ) α }. Determinare i valori di α per i quali J α esiste finito e, per questi valori, calcolare J α. Passiamo in coordinate cilindriche (x, y, ) = (r cos θ, r sin θ, ), ricordando che (r, θ, ) [, ) [, π) R. Il dominio di integraione ci fornisce alcune condiioni su (r, θ, ) : x + y < < x + y + (x + y ) α r < < r + r α.

4 Ricordando che il determinante della matrice Jacobiana della trasformaione in coordinate cilindriche è r, abbiamo Ω α y 3 e 1 1+ x +y dx dy d = = = π r+r α ( π ( π Il primo integrale è nullo, per ogni α; infatti abbiamo π = r ) ) π π r e 1 1+r sin 3 θ r e 1 1+r d dr dθ ( ] r+r α log dr r r e 1 1+r log(1 + r α 1 ) dr. ed essendo θ sin 3 θ una funione dispari e continua, da integrare sull intervallo [ π, π] simmetrico rispetto all origine, questo implica che π =. Quindi, se il secondo integrale esiste finito, J α =. Studiamo l integrabilità della funione g(r) = e 1 1+r r log(1 + r α 1 ) su [, ). Chiaramente g è continua in (, ) : quindi studiamo l integrabilità di g in e in : per r + abbiamo g(r) e r log(r α 1 ) = e( α 1)r log r : quindi g è integrabile, per ogni α >, in. Ricordano che log(1 + t) t per t, per r abbiamo g(r) 1 r r α 1 = 1 r α 3 Quindi g è integrabile a se e solo se α 3 > 1, cioè α >. Concludendo J α esiste finito per α > e vale. Per < α, J α non esiste finito. ) Sia f (x, y) = e x +y 8. Dimostrare che per tutte le scelte di x, y, s, t reali vale la seguente disuguagliana: [ f(x, y) f(s, t) e s +t 8 s 3 (x s) + t 7 (y t) ]. (1) Osserviamo che, per ogni (x, y) R abbiamo f(x, y) = ( e x +y 8 x 3, 8e x +y 8 y 7). Ricordando la caratteriaione del primo ordine delle funioni convesse 1 e osservando che la (1) è equivalente a f(x, y) f(s, t) + f(s, t) (x s, y t), dimostrare (1) è equivalente a dimostrare che f è convessa. Per dimostrare che f è convessa, studiamo la matrice Hessiana: [ ] x H f (x, y) = (3 + x )e x +y 8 3x 3 y 7 e x +y 8 3x 3 y 7 e x +y 8 8y 6 (7 + 8y 8 )e x +y. 8 1 TEOREMA [caratteriaione del primo ordine] Consideriamo una funione convessa f : A R, con A R n aperto e convesso. Sia f differeniabile in A. Condiione necessaria e sufficiente affinché f sia convessa è che per ogni x e x punti di A si abbia f(x) f(x ) + f(x ) (x x ).

5 5 Il minore di ordine 1 di nord-ovest è non negativo; e il determinante della matrice è det(h f (x, y)) = e x +y 8 [3x y 6 (3 + x )(7 + 8y 8 ) 3 x 6 + y 1 ] = e x +y 8 3x y 6 (1 + y 8 + 8x ), che è chiaramente non negativo. Quindi la matrice Hessiana è semidefinita positiva in tutto R e quindi f è convessa in R. Questo prova (1).