Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 12 giugno 2018

Transcript

1 Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni ANALISI MATEMATICA Prova scritta del giugno 08 Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 5) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: z z z =.. (Punti 8) Calcolare il valore del limite sin x arctan x lim x 0+ +5x6 x 6.. (Punti 0) Data la funzione f(x) = (x )x a) (punti ) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti )determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti ) determinare gli intervalli di concavitá e di convessitá; d) (punti )disegnare il suo grafico approssimato. 4. (Punti 7) Si consideri l integrale improprio log( x) x dx. a) (punti ) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 4) calcolarne il valore.

2 RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI. (Punti 5) Determinare i valori di z C che verificano l equazione: z z z =. (I metodo.) Posto z = x+iy, x, y R l equazione può essere espressa nella forma seguente x +y (x+iy) (x+iy) = di conseguenza l equazione diventa x x +y x + i[y x +y + y] =. Eguagliando rispettivamente la parte reale e qualla immaginaria del primo membro con quelle del secondo otteniamo il sistema x x +y x = y x +y + y = 0 La seconda equazione ammette come soluzione solamente y = 0. Questo implica che le soluzioni sono reali. Inoltre sostituito y = 0 nella prima fornisce x x x = x x x = x x x = 0 Distinguendo i casi x > 0 e x < 0 (x = 0 non puó essere soluzione) rispettivamente otteniamo le equazioni x x = 0 e x x = 0 che ammettono soluzioni, rispettivamente, x, = ±, x,4 = ± 5. x = si scarta perché negativa. Le soluzioni dell equazione data sono dunque (II metodo) z = +, z = + 5 Posto z = ρ(cosθ+isinθ), l equazione diventa,,z 4 = 5. ρ (cosθ+isinθ) ρ(cosθ isinθ) = ρ cosθ ρcosθ+i[ρ sinθ+ρsinθ] = Eguagliando rispettivamente le parti reali e le parti immaginarie del primo membro con quelle del secondo otteniamo

3 ρ cosθ ρcosθ = ρ sinθ+ρsinθ = 0 (ρ ρ)cosθ = (ρ +ρ)sinθ = 0 Poiché z = 0 non puó essere soluzione dell equazione di partenza, la seconda equazione del sistema ha soluzione sinθ = 0, ovvero θ k = kπ, con k N. Quindi l equazione data ammette solo soluzioni reali. Inoltre tenuto conto che cos kπ = ( ) k, la prima equazione del sistema diventa (ρ ρ)( ) k = 0. Da cui se k é pari: ρ ρ = 0. Se k é dispari ρ +ρ = 0. Si conclude come nei casi precedenti.. (Punti 8) Calcolare il valore del limite sin x arctan x lim x 0+ +5x6 x 6. Utilizziamo gli sviluppi di Taylor delle funzioni che compaiono nell espressione. sinx = x 9 x6 +o(x 6 ). arctanx = x x6 +o(x6 ). +5x6 = + 5 x6 +o(x 6 ). x6 = x6 +o(x 6 ). Sostituendo nel limite ed applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi 7 lim x6 +o(x 6 ) x 0+ 4x 6 +o(x 6 ) 7 = lim x6 = 7 x 0+ 4x (Punti 0) Data la funzione f(x) = (x )x a) (punti ) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti )determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti ) determinare gli intervalli di concavitá e di convessitá; d) (punti )disegnare il suo grafico approssimato.

4 Il campo di esistenza è R. Gli zeri della funzione sono x = e x = 0. La funzione risulta positiva per x >, negativa per x <. Determiniamo il comportamento della funzione agli estremi del suo dominio. lim f(x) = +, lim x + f(x) =, x Vediamo se esiste un asintoto obliqui, y = mx+q per x che tende a +, calcolando i limiti che seguono. f(x) m = lim x + x = lim (x )x =. x + x q = lim f(x) mx = lim (x )x x = lim x + x + x + x [ ( ) x ] = (applicando lo sviluppo di Taylor della radice) [ lim x ( ) x + x +o x ] =. Ne segue che l asinto obliquo per x che tende a + è la retta di equazione y = x. Lo stesso risultato si ottiene con calcoli analoghi per x che tende a. Calcoliamo la derivata prima per studiare la monotonia della funzione. f (x) = x 6x (x ) x = 4 x (x ) x. Osserviamo che f (x) > 0 per sugli intervalli (,0) e (,+ ), quindi la funzione risulta crescentesuciascunodiquesti. f (x) < 0su(0,),dunquesuquestolafunzioneédecrescente. Il punto x = é di minimo relativo, mentre x = 0 é di massimo relativo. Determiniamo gli intervalli di concavità e/o convessità della funzione mediante la sua derivata seconda. f (x) = (x ) x (x )(x )(x ) (x )8 x 4 = (x ) (x )8 x 4 Osserviamo che f (x) > 0 se x < e f (x) > 0 se x >. Quindi la funzione risulta convessa sugli intervalli (,0) e (0,); f é concava su (,+ ). Nel punto x = ha un flesso con tangente verticale (vedi sopra il limite della derivata prima). Tenuto conto di quanto dimostrato possiamo tracciare il seguente grafico approssimato di f. 4

5 y 0 x. (Punti 7) Si consideri l integrale improprio log( x) x a) (punti ) dimostrare che esiste finito mediante mediante uno studio a priori; b) (punti 4) calcolarne il valore. (a) Osserviamo che la funzione integranda risulta continua in [,), inoltre per x che tende a tende a e nell intervallo considerato cambia segno. Studiamo l assoluta intergabilitá. La funzione log( x) x dx 4 log( x) = 4 x log( x) C. x x x x. é integrabile sull intervallo dato in quanto l esponente di ( x) é minore di uno. Sopra abbiamo maggiorato con una costante positiva C dato che per x che tende a abbiamo che x log( x) tende a zero. In definitiva per il teorema del confronto la funzione integranda é assolutamente integrabile e quindi é integrabile. (b) Calcolo dell integrale. log( x) x log( x) dx = lim c x 5 dx.

6 Risolviamo integrando per parti( ) log( x) x dx = [ x log( x) ] c x( x) dx. La funzione integranda é di tipo razionale. Applichiamo il metodo di scomposizione: Da cui x( x) = A x + B x (B A)x+A =. x( x) { B A = 0 A = A = B = Sostituendo x( x) dx = x + x dx = [log x log x ]c = = [logc log( c)+log]. Sostituendo sopra log( x) lim dx = c x = lim { c log( c)+log } [logc log( c)+log] = c = lim c [ c c log( c) logc+log log ] = log 5 log. Perché c lim c c log( c) = 0. Poniamo b f (x)g(x) dx = [f(x)g(x)] b a b a a f(x)g (x) dx. f(x) =, g(x) = log( x). x 6