ANALISI MATEMATICA. Prova scritta del 20/12/ FILA 1

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1 ANALISI MATEMATICA CORSO C - CdL INFORMATICA Prova scritta del 0//004 - FILA ESERCIZIO Studiare la funzione f(x) log x log x determinando in particolare a) campo di esistenza ed eventuali asintoti; b) intervalli di monotonia e punti di massimo o di minimo relativo, se esistono; c) gli intervalli dove risulta concava o convessa ed eventuali flessi; d) il grafico approssimato. ESERCIZIO Calcolare il seguente ite usando la formula di Taylor log( + x ) + x x sin x ESERCIZIO Calcolare cos x ( + sin x)( 4 sin x) dx

2 ANALISI MATEMATICA CORSO C - CdL INFORMATICA Prova scritta del 0//004 - FILA ESERCIZIO Studiare la funzione f(x) log 4 x 4 log x determinando in particolare a) campo di esistenza ed eventuali asintoti; b) intervalli di monotonia e punti di massimo o di minimo relativo, se esistono; c) gli intervalli dove risulta concava o convessa ed eventuali flessi; d) il grafico approssimato. ESERCIZIO Calcolare il seguente ite usando la formula di Taylor + x x cos x e x log( + x) ESERCIZIO Calcolare cos x (sin x)( + sin x) dx

3 ANALISI MATEMATICA CORSO C - CdL INFORMATICA Prova scritta del 0//004 - FILA ESERCIZIO Studiare la funzione f(x) log x 9 log x determinando in particolare a) campo di esistenza ed eventuali asintoti; b) intervalli di monotonia e punti di massimo o di minimo relativo, se esistono; c) gli intervalli dove risulta concava o convessa ed eventuali flessi; d) il grafico approssimato. ESERCIZIO Calcolare il seguente ite usando la formula di Taylor x sin x log( x ) x + ESERCIZIO Calcolare sin x ( cos x)( 5 cos x) dx

4 ANALISI MATEMATICA CORSO C - CdL INFORMATICA Prova scritta del 0//004 - FILA 4 ESERCIZIO Studiare la funzione f(x) log 4 x 6 log x determinando in particolare a) campo di esistenza ed eventuali asintoti; b) intervalli di monotonia e punti di massimo o di minimo relativo, se esistono; c) gli intervalli dove risulta concava o convessa ed eventuali flessi; d) il grafico approssimato. ESERCIZIO Calcolare il seguente ite usando la formula di Taylor 4 + 4x x cos x sin x log( + x) ESERCIZIO Calcolare sin x (cos x)( + cos xx) dx 4

5 SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI FILA Esercizio N. Il C.E. della funzione è dato dall insieme {x : x > 0} dove è definita la funzione logaritmo. Valutiamo l andamento della funzione agli estremi del dominio mediante i seguenti iti: Studio della derivata prima: f(x), f(x) + x + f (log x) (x) x x x [(log x) ] Il segno di f è determinato dal segno di (log x). Posto y log x si ha che y > 0 per y > o y <. Mentre y < 0 per < y <. Da cui (log x) > 0 per log x > oppure log x < che equivalgono a x > e oppure 0 < x <. e Quindi f (x) > 0 per x > e oppure 0 < x <, mentre f (x) < 0 per < x < e. Da e e queste considerazioni otteniamo che f cresce negli intervalli (0, ) e (e, + ) mentre decresce e in (, e). Di conseguenza il punto x è di massimo relativo, mentre x e è di minimo e e relativo. Studio della derivata seconda. f (x) x [(log x) ] + x log x x [(log x) log x ] Il segno di f è determinato dal segno di [(log x) log x ]. Poniamo y log x. Il polinomio y y assume segno positivo( per valori di y esterni all intervallo delle radici: (, + ). Da cui f (x) < 0 per x 0, e ) ( oppure x e + ), +, in questi ( intervalli f risulta concava. Mentre f (x) > 0 per x e ), e +, in questo intervallo f risulta convessa. In particolare i punti x e e x e + sono punti di flesso. y 0 x 5

6 Esercizi Utilizziamo lo sviluppo di Taylor delle funzioni che compaiono nel ite. Posto y x, otteniamo Mentre da posto y x e α, otteniamo Sostituiamo nel ite log( + y) y y + o(y ) log( + x ) x x4 + o(x4 ) ( + y) α + αx + α α y + o(y ), x x + ( ) x 4 + o(x4 ). x x4 + o(x4 ) + ( ) x 8 x4 + o(x 4 ) x x + x + 6 o(x ) x x4 + o(x4 ) + x 4 x4 + o(x 4 ) x + 6 o(x ) 4 x4 + o(x 4 ) x 6 + o(x ) 9 x 0 Esercizio Nell integrale proposto effetuiamo il cambiamento di variabile ponendo t sin x, dt cos x dx. Da cui Determiniamo A, B R tali che cos x ( + sin x)( 4 sin x) dx ( + t)( 4t) dt ovvero ( + t)( 4t) A + t + B 4t ( + t)( 4t) A 4At + B + Bt ( + t)( 4t) Questa identità è verificata dai valori di A, B che risolvono il sistema: { A + B 4A + B 0 6

7 Risolvendo otteniamo A, B 4. Sostituendo questi valori nell integrale proposto: 7 7 ( + t)( 4t) dt t dt + 7 4t dt 7 log + t 7 log 4t + C 7 log + t 4t + C 7 log + sin x 4 sin x + C FILA Esercizio N. Il C.E. della funzione è dato dall insieme {x : x > 0} dove è definita la funzione logaritmo. Valutiamo l andamento della funzione agli estremi del dominio mediante i seguenti iti: f(x) +, f(x) + x + Studio della derivata prima: f (log x) (x) 4 4 x x 4 x [(log x) ] Il segno di f è determinato dal segno di (log x). Posto y log x si ha che y > 0 per y >. Mentre y < 0 per y <. Da cui (log x) > 0 per log x > che equivale a x > e. Quindi f (x) > 0 per x > e, mentre f (x) < 0 per 0 < x < e. Da queste considerazioni otteniamo che f cresce nell intervallo (e, + ) mentre decresce in (0, e). Di conseguenza il punto x e è di minimo relativo. Studio della derivata seconda. f (x) 4 x [(log x) ] + 4 x (log x) 4 x [(log x) (log x) ] Il segno di f è determinato dal segno di [(log x) (log x) ]. Poniamo y log x, e studiamo il segno del polinomio ϕ(y) y y. Per questo consideriamo la funzione ϕ calcoliamo le sue derivate: ϕ (y) y 6y y(y ) ϕ (y) 6y 6 6(y ) Da queste relazioni otteniamo che ϕ è crescente in (, 0) e (, + ). Decresce in (0, ). Il punto y 0 è di massimo relativo, mentre y è di minimo relativo. ϕ(0). Il grafico di ϕ è il seguente: 7

8 y 0 4 x Osserviamo che ϕ ha uno zero nel punto y 0 compreso tra y e y 4. Risulta positiva per y > y 0 e negativa per y 0 < y. Da cui f ha uno zero in un punto x 0 compreso tra e e e 4. f > 0 per 0 < x < x 0 e f < 0 per x > x 0. f è convessa per 0 < x < x 0, f è concava per x > x 0. Nel punto x 0 la funzione ha un flesso. Il grafico di f in definitiva è il seguente y 0 e 4 e e x Esercizi Utilizziamo lo sviluppo di Taylor delle funzioni che compaiono nel ite. posto y x e α, otteniamo Sostituiamo nel ite ( + y) α + αx + α α y + o(y ), + x (x) + ( ) 9x + o(x ). + x x x + x + o(x ) x + x + o(x ) x + x + o(x ) 8

9 x + o(x ) x + o(x ) Esercizio Nell integrale proposto effetuiamo il cambiamento di variabile ponendo t sin x, dt cos x dx. Da cui Determiniamo A, B R tali che cos x sin x( + sin x) dx t( + t) dt ovvero t( + t) A t + B + t A + At + Bt t( + t) t( + t) Questa identità è verificata dai valori di A, B che risolvono il sistema: { A A + B 0 Risolvendo otteniamo A, B. Sostituendo questi valori nell integrale proposto: t( + t) dt t dt + t dt log t log + t + C log t + t + C log sin x + sin x + C FILA Esercizio N. Il C.E. della funzione è dato dall insieme {x : x > 0} dove è definita la funzione logaritmo. Valutiamo l andamento della funzione agli estremi del dominio mediante i seguenti iti: f(x), f(x) + x + Studio della derivata prima: f (log x) (x) 9 x x x [(log x) ] 9

10 Il segno di f è determinato dal segno di (log x). Posto y log x si ha che y > 0 per y > o y <. Mentre y < 0 per < y <. Da cui (log x) > 0 per log x > oppure log x < che equivalgono a x > e oppure 0 < x < e. Quindi f (x) > 0 per x > e oppure 0 < x < e, mentre f (x) < 0 per e < x < e. Da queste considerazioni otteniamo che f cresce negli intervalli (0, e ) e (e, + ) mentre decresce in (e, e ). Di conseguenza il punto x e è di massimo relativo, mentre x e è di minimo relativo. Studio della derivata seconda. f (x) x [(log x) ] + x log x x [(log x) log x ] Il segno di f è determinato dal segno di [(log x) log x ]. Poniamo y log x. Il polinomio y y assume segno positivo per valori di y esterni all intervallo delle radici: (, ). Da cui f (x) < 0 per x ( 0, e ) oppure x ( e, + ), in questi intervalli f risulta concava. Mentre f (x) > 0 per x (e, e ), in questo intervallo f risulta convessa. In particolare i punti x e e x e sono punti di flesso. Il frafico di f è simile a quello della Fila. Esercizi Utilizziamo lo sviluppo di Taylor delle funzioni che compaiono nel ite. Posto y x, otteniamo log( + y) y y + o(y ) log( x ) x + x4 + o(x4 ) Mentre da ( + y) α + αx + α α y + o(y ), posto y x e α, otteniamo x x + ( ) x 4 + o(x4 ). Sostituiamo nel ite x + 6 o(x ) x + x4 + o(x4 ) ( x 8 x4 + o(x 4 ) ) + x + 6 o(x ) 4 x4 + o(x 4 ) 6 x + 4 x4 Esercizio 0

11 Nell integrale proposto effetuiamo il cambiamento di variabile ponendo Da cui Determiniamo A, B R tali che ovvero t cos x, dt sin x dx. sin x ( cos x)( 5 cos x) dx ( t)( 5t) A t + B 5t ( t)( 5t) A 5At + B Bt ( t)( 5t) ( t)( 5t) dt Questa identità è verificata dai valori di A, B che risolvono il sistema: { A + B 5A B 0 Risolvendo otteniamo A, B 5. Sostituendo questi valori nell integrale proposto: ( t)( 5t) dt 5 t dt 5t dt log t + log 5t + C log 5t t + C log 5 cos x cos x + C FILA 4 Esercizio Svolgimento analogo a quello della Fila. Esercizi Utilizziamo lo sviluppo di Taylor delle funzioni che compaiono nel ite. posto y 4x e α 4, otteniamo Sostituiamo nel ite ( + y) α + αx + α α y + o(y ), 4 + 4x + x x + o(x ). + x x + o(x ) x + x + o(x ) x 6 x + o(x ) x + x x + o(x ) x + o(x ) x + o(x )

12 Esercizio Nell integrale proposto effetuiamo il cambiamento di variabile ponendo t cos x, dt sin x dx. Da cui Determiniamo A, B R tali che sin x cos x( + cos x) dx t( + t) dt ovvero t( + t) A t + B + t A + At + Bt t( + t) t( + t) Questa identità è verificata dai valori di A, B che risolvono il sistema: { A A + B 0 Risolvendo otteniamo A, B. Sostituendo questi valori nell integrale proposto: t( + t) dt t dt + + t dt log t + log + t + C log + t t + C log + cos x cos x + C