Svolgimento degli esercizi N. 3

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1 Svolgimento degli esercizi N. 3 Prova scritta parziale n. del // Fila. Calcolare il valore del seguente integrale definito: ( x + e x ) dx. ( x + e x ) dx ( x + e 4x + x e x) dx x dx + e 4x dx + x e x dx. () x dx + C x dx ] Consideriamo ora il secondo termine della somma (). Calcoliamo l integrale indefinito mediante il cambiamento di variabile: t 4x, quindi dt 4dx perciò dx 4 dt e 4x dx e t dt 4 4 et + C 4 e4x + C 3

2 Calcoliamo il relativo integrale definito mediante il teorema fondamentale del calcolo integrale: ] e 4x dx 4 e4x 4 e4 4 Il terzo termine della somma () si risolve prima mediante cambiamento di variabile e poi mediante integrazione per parti: t x, quindi dt dx perciò dx dt x e x dx t e t dt () Applichiamo, a questo punto, la formula di integrazione per parti: F (t) G (t) dt F (t)g(t) F (t)g(t) dt, prendendo F (t) t, G(t) e t, quindi F (t), G(t) e t, sostituiamo in ( ): t e t dt tet e t dt tet et + C xex ex + C ] xe x dx xe x ex e e e4 + e Fila. Calcolare il valore del seguente integrale definito: (x + sin x) dx. (x + sin x) dx x + x sin x + (sin x) ] dx x dx + x sin x dx + (sin x) dx. (3)

3 x dx + C x dx ] Consideriamo ora il terzo termine della somma (3). Calcoliamo l integrale indefinito mediante il cambiamento di variabile: t 4x, quindi dt 4dx perciò dx 4 dt (sin x) dx 4 3 ( sin t ) dt (per la formula di bisezione del seno) 4 4 cos t dt dt 4 t sin t + C x sin 4x + C cos t dt Calcoliamo il relativo integrale definito mediante il teorema fondamentale del calcolo integrale: (sin x) dx x ] sin 4x sin 4 Il secondo termine della somma (3) si risolve prima mediante cambiamento di variabile e poi mediante integrazione per parti. t x, quindi dt dx perciò dx dt x sin x dx t sin t dt (4) Applichiamo, a questo punto, la formula di integrazione per parti: F (t) G (t) dt F (t)g(t) F (t)g(t) dt, prendendo F (t) t, G (t) sin t, quindi F (t), G(t) cos t, sostituiamo in (4): t cos t + sin t t sin t dt t cos t + cos t dt sin x + C x cos x + + C 3

4 x sin x dx x cos x + ] sin x cos + sin 5 6 sin 4 + sin cos Fila 3. Calcolare il valore del seguente integrale definito: (x + cos x) dx. (x + cos x) dx x + x cos x + (cos x) ] dx x dx + x cos x dx + (cos x) dx. (5) x dx + C x dx ] Consideriamo ora il terzo termine della somma (5). Calcoliamo l integrale indefinito mediante il cambiamento di variabile: t 4x, quindi dt 4dx perciò dx 4 dt (cos x) dx 4 3 ( cos t ) dt (per la formula di bisezione del coseno) 4

5 4 4 + cos t dt dt + 4 t + sin t + C x + sin 4x + C cos t dt Calcoliamo il relativo integrale definito mediante il teorema fondamentale del calcolo integrale: (cos x) dx x + ] sin 4x + sin 4 Il secondo termine della somma (5) si risolve prima mediante cambiamento di variabile e poi mediante integrazione per parti : t x, quindi dt dx perciò dx dt x cos x dx t cos t dt (6) Applichiamo, a questo punto, la formula di integrazione per parti: F (t) G (t) dt F (t)g(t) F (t)g(t) dt, prendendo F (t) t, G (t) cos t, quindi F (t), G(t) sin t, sostituiamo in ( 6): t cos t dt t sin t sin t dt t cos t cos x sin t + + C x sin x + + C x cos x dx x sin x + ] cos x sin + cos 3 + sin 4 Fila 4. Calcolare il valore del seguente integrale definito: + cos + sin (x + log x) dx. 5

6 (x + log x) dx x + x log x + (log x) ] dx x dx + x log x dx + (log x) dx. (7) x dx + C x dx ] 7 4 Il secondo termine della somma (7) si risolve prima mediante cambiamento di variabile e poi mediante integrazione per parti. t x, quindi dt dx perciò dx dt x log x dx t log t dt () Applichiamo, a questo punto, la formula di integrazione per parti: F (t) G(t) dt F (t)g(t) F (t)g (t) dt, prendendo F (t) t, G(t) log t, quindi F (t) t, G (t) t, sostituiamo in ( ): t log t dt t 4 log t t t 4 log t 4 t dt t dt t 4 log t t + C x log x x + C 6

7 x log x dx x log x x ] log 3. Consideriamo infine il terzo termine della somma (7) procedendo nello stesso modo visto sopra nel caso del secondo termine: prima il cambiamento di variabile(t x, quindi dt dx perciò dx dt) e poi integrazione per parti. (log x) dx (log t) dt (9) In questo caso applichiamo la formula di integrazione per parti F (t) G(t) dt F (t)g(t) F (t)g (t) dt, prendendo F (t), G(t) (log t), quindi F (t) t, G (t) log t t, sostituendo in (9) si ottiene: (log t) dt t (log t) log t dt integriamo di nuovo per parti l ultimo termine prendendo: F (t), G(t) log t, da cui F (t) t, G (t) t, otteniamo quindi: t (log t) (log t) dt ( ) t log t dt t (log t) t log t + t + C x (log x) x log x + x + C (log x) dx ] x (log x) x log x + x (log ) log (log ) 7