Equazioni e disequazioni polinomiali

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1 Equazioni e disequazioni polinomiali Esercizio. Risolvere la seguente equazione: =. Svolgimento. Poiché il discriminante è positivo esistono due soluzioni distinte. Applicando la formula per le equazioni di secondo grado si trova immediatamente che tali soluzioni sono = e = Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: i) + 5 = ; ii) = ; iii) 5 = ; iv) =. Esercizio 3. Risolvere la seguente equazione: 8 + =. Svolgimento. Ponendo t = e sostituendo si ottiene l equazione t t+ =, che ha l unica soluzione t =. Pertanto le soluzioni dell equazione originaria sono date dalle soluzioni di =, che equivale a = = ; pertanto le soluzini sono ±. Esercizio. Risolvere l equazione 3 + =. Svolgimento. L espressione 3 + è definita solo quando il denominatore è diverso da zero; bisogna dunque imporre la condizione. L espressione si annulla quando si annulla il numeratore, cioè per = 3 e =. Questi valori di sono compatibili con le condizioni di esistenza imposte. Esercizio 5. Risolvere le seguenti equazioni: i) = ; ii) = ; iii) 5) 7 + ) = ; iv) 5 + = ; v) 3 + vi) = ; = ; vii) = ; viii) + 5 =. Esercizio 6. Risolvere la seguente disequazione:

2 Figura : Grafico di p) = + esercizio 6) con evidenziata la sua parte Figura : Grafico di f) = + 3, grafico di g) = + e area in cui f) g)

3 Svolgimento. Riscriviamo la disequazione data nella forma +. Troviamo innanzitutto le radici del polinomio p) = + ossia le soluzioni di + = ): la solita formula per le equazioni di secondo grado ci fornisce le soluzioni = 3 e = + 3. Poiché il coefficiente direttore di p) è positivo, si ha che p) per valori di esterni alle due radici trovate, cioè e, o, equivalentemente, per, ] [, + ). Notare la rappresentazione grafica delle soluzioni trovate: in figura è designato il polinomio le cui radici abbiamo calcolato per risolvere l esercizio, mentre in figura sono rappresentate le due funzioni date nel testo dell esercizio. Poiché quello che ci interessa sono i valori di che soddisfano la disequazione le due immagini rappresentano solo due modi diversi di vedere la soluzione. Esercizio 7. Risolvere la disequazione Svolgimento. Per prima cosa imponiamo la condizione di esistenza. Dopodiché studiamo separatamente numeratore e denominatore. 7 + quando 3 e, mentre + > quando >. Possiamo rappresentare graficamente gli intervalli di positività come segue linea continua = positivo, linea tratteggiata = negativo): La disequazione è verificata dove numeratore e denominatore hanno lo stesso segno, cioè per, 3] e [, + ). Esercizio 8. Risolvere le seguenti disequazioni: i) 3 + )9 8) < ; ii) ; iii) + < ; iv) + ; v) + >. Esercizio 9. Ripetere l esercizio 5 sostituendo = con >, <, e. Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi Esercizio. Calcolare 3 ) i) log π π) π ; ii) π π ) dove è un generico numero reale diverso da. Esercizio. Risolvere al variare del parametro a > la disequazione a ) 5 + 6) >. 3

4 Esercizio. Risolvere al variare del parametro a > la disequazione a 5)3 5 + a) >. Svolgimento. Imponiamo innanzitutto la condizione a > affinché l esponenziale esista. Per studiare il segno del prodotto di tre fattori si deve studiare separatamente il segno di ciascuno: si ha che, qualunque sia la base a >, a > per ogni, quindi a < per ogni ; per quanto riguarda il secondo fattore invece si ha che 5 > se e solo se > 5. Il terzo fattore è più delicato, bisogna distinguere tre casi: Caso I 5 a <, ossia a > 5/. Essendo il discriminante negativo, l equazione a = non ammette soluzioni e si ha che a > per ogni poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo. Pertanto la disequazione iniziale è soddisfatta per < 5. Caso II 5 a =, ossia a = 5/. Ragionando come sopra si vede che a per ogni e che a = se e solo se = 5/6, pertanto la disequazione iniziale è soddisfatta se, 5/6) 5/6, 5) si noti che le soluzioni sono le stesse del caso precedente con l esclusione del punto = 5/6). Caso III 5 a >, ossia a < 5/. Si ha che a > per, ) +, ) dove si è posto = 5 5 a, + = a. 6 6 Bisogna dunque capire dove si trovano i punti e + rispetto a = 5 che è il punto in cui il secondo fattore cambia segno). Dato che 5 a è positivo, 5 5 a è minore di 5 e quindi anche minore di 6, dunque < < 5 =. Per capire se + è maggiore o minore di notiamo che la funzione fa) = 5 a è decrescente in a: se infatti scegliamo b > a abbiamo che fb) fa) = 5 b 5 a) = a b) <, cioè fb) < fa). Poiché la radice quadrata è una funzione crescente, si ha che anche 5 a è una funzione decrescente di a; questa osservazione insieme con il fatto che < a < 5/ ci dice che per ogni a ammissibile sempre nel caso II che stiamo consideranso, gli altri sono già stati studiati) 5 a deve essere minore di 5, che è il valore che 5 a assume in a =. Ne segue che + = a 6 < = 5 3 < 5 per ogni a, 5/). Possiamo) dunque concludere che in questo caso la disequazione originale è risolta per, 5 ) 5 a a 6, 5. Esercizio 3. Trovare i valori di che soddisfano l equazione 3 = 5. Svolgimento. Poiché = 3 log 3, possiamo riscrivere l equazione come 3 = 3 log 3 5 ) che è soddisfatta se e solo se = 5 log 3 log 3 ), cioè se e solo se +log 3 ) 5 log 3 =. Questo è un polinomio di secondo grado in che può essere facilmente studiato con i metodi visti sopra. Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni ed equazioni: i) 3 + e 3 + ; ii) log 7 + ) < ; iii) = ;

5 iv) = 5 ; v) ; vi) log = 7 ; vii) log = 7 ; viii) log + 5 = 3. Esercizio 5. Risolvere log3 ) > log 3 + ). Svolgimento. Iniziamo a imporre le condizioni di esistenza per entrambi i membri della disequazione. Per il termine di sinistra deve essere > perché esista il logaritmo, dunque <, > ; deve essere inoltre log 3 ) perché esista la radice; dato che la base del logaritmo è maggiore di quest ultima condizione equivale a, cioè, ; con considerazioni analoghe si vede che perché esista il termine di destra si deve avere. Mettendo insieme le tre condizioni trovate si ha che tutti i termini che appaiono nella disequazione esistono per. La funzione y y è crescente su R + pertanto per risolvere l esercizio è sufficiente risolvere la disequazione log 3 ) > log 3 + ). A sua volta la funzione z log 3 z è crescente su R + \ {} dunque ci si può ridurre a risolvere > +, che è soddisfatta per < 3 e > + 3. Confrontando quanto ottenuto con le condizioni di esistenza si conclude che la disequazione originaria è soddisfatta per > + 3. Esercizio 6. Cosa cambia nell esercizio precendente se si considerano i logaritmi con base 3 invece che con base 3? Esercizio 7. Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni e disequazioni: i) > ; ii) log 3 log 3 > ; iii) log 3 log 5 )) < ; iv) log 3 = 3 ; v) = ; vi) log 3 ) = log 5 ) ; vii) 6 5 ; viii) log ) log 8 ) =

6 Figura 3: Grafici di sin) e sin) nell intervallo [, π] con le loro intersezioni esercizio 9) Equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche Esercizio 8. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: i) sin3) = 3 ; ii) sin cos = ; iii) sin cos = ; iv) sin t cos t < ; 3 v) sin t cos t < ; vi) sin t cos t 5 sin t + cost) +. Esercizio 9. Trovare i valori di compresi nell intervallo [, π] tali che sin) = sin). Svolgimento. Applicando la formula sina) = sin a cos a con a = e sostituendo si ottiene sin) cos) = sin). La funzione sin) si annulla in =, = π e = π quindi questi tre valori sono soluzioni dell equazione. Ce ne sono altre? Per, π e π si ha che sin), pertanto possiamo dividere entrambi i membri dell equazione per sin) ottenendo cos) =, che ha soluzioni = π 6 e = 5 6π. Abbiamo dunque cinque soluzioni distinte nell intervallo [, π]. Dalla figura 3 è evidente che oltre ai valori di per i quali si annullano sia sin) sia sin) dovevamo aspettarci altre due soluzioni. Esercizio. Trovare i valori di che soddisfano l equazione 5 sin + 5 sin cos cos =. ) Svolgimento. Applicando l identità fondamentale sin + cos = riscriviamo la ) come sin + 5 sin cos 3 cos =. ) 6

7 Notiamo che cos si annulla solo nei punti in cui cos =, cioè = π + kπ, k Z, e che si ha sin π + kπ) = per qualunque k, dunque sicuramente tali punti non sono soluzioni dell equazione. Possiamo allora supporre cos e dividere la ) per cos ottenendo tan + 5 tan 3 =. 3) Poniamo t = tan e calcoliamo le radici del polinomio t + t, che risultano essere t = e t = 6. Le soluzioni dell equazione ) sono dunque = arctan) + kπ = π + kπ, k Z, e = arctan 6) + kπ, k Z la funzione arcotangente, y = arctan), è la funzione inversa della tangente sull intervallo [ π, π ], cioè la funzione che associa a un numero l unico numero y [ π, π ] tale che tan) = y). Esercizio. Risolvere l equazione tan + π = tan + ). ) Svolgimento. Notiamo che l equazione ha senso solo per π + kπ, k Z. Dalle formule e ricaviamo che per a = b diventa sina + b) = sin a cos b + sin b cos a cosa + b) = cos a cos b sin a sin b sina + b) tana + b) = cosa + b) sin a cos b + sin b cos a = cos a cos b sin a sin b = = = sin a cos b+sin b cos a cos a cos b cos a cos b sin a sin b cos a cos b sin a cos b cos a cos b cos a cos b cos a cos b tan a + tan b tan a tan b, + sin b cos a cos a cos b sin a sin b cos a cos b tan a tana) = tan a. Applicando questa formule nella ) nel termine di sinistra si pone = /) troviamo tan ) tan ) + = + tan ) tan ) o equivalentemente ) tan tan ) + )) = + tan. 5) Ponendo t = tan ) e sostituendo nella 5) otteniamo il polinomio di secondo grado + )t + che ha radici t, = ± ), da cui segue, = ± arctan ) + kπ, k Z l arcotangente è una funzione dispari). 7

8 Esercizio. Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni: i) sin > ; ii) log sin + cos ). Svolgimento traccia). i): poiché la base dell esponenziale è maggiore di la disequazione è soddisfatta se e solo se sin >, cioè se e solo se sin >. ii): poiché la base del logaritmo è maggiore di la disequazione è soddisfatta se e solo se sin + cos. Possiamo elevare al quadrato ambo i membri ottenendo la disequazione sin). Le soluzioni di quest ultima equazione corrispondono alle soluzioni di sin + cos elevando al quadrato abbiamo aggiunto soluzioni); dovremo dunque considerare solo le soluzioni tali che sin +cos, e questo può essere fatto per esempio considerando, tra quelle trovate precedentemente, solo quelle soluzioni per le quali sin e cos. Esercizi facoltativi) con le formule di prostaferesi Esercizio 3. Risolvere l equazione Svolgimento. Applicando la formula di prostaferesi sin + sin3) + sin5) =. 6) sin a + sin b = sin a + b cos a b con a = e b = 5 e sostituendo nella 6) otteniamo si ricordi che il coseno è una funzione pari) sin3) + cos) ) = che ha soluzioni = π 3 + kπ e = π 3 + kπ, k Z. Esercizio. Risolvere l equazione sin ) cos + sin cos)) + sin) sin) + cos) cos) + cos = 7) nell intervallo [, π]. Svolgimento. Operiamo le seguenti sostituzioni nell equazione: cos = sin grazie all identità fondamentale; cos) cos) = sin3) sin applicando la formula di prostaferesi per cos a cos b ; sin) = sin cos e sin) = sin) cos) applicando la formula di duplicazione del seno. Il membro di sinistra della 7) diventa dunque sin ) cos + sin cos )+ sin) cos) sin) cos) sin3) sin + sin = = sin) cos + sin cos) =) ) sin3) sin + sin = = sin 3) sin3) sin + sin = = sin3) sin ) dove si è fatto uso della formula sin a cos b + sin b cos a = sina + b). Bisogna dunque risolvere l equazione sin3) sin ) = che equivale a risolvere sin3) sin =. Applicando la formula di prostaferesi sin a sin b = cos ) a+b sin a b ) si arriva all equazione cos) sin = che ha le sette soluzioni =, = π, = 3 π, = π, = 5 π, = 7 π, = π, riportate in figura. 8

9 Figura : Grafici di sin3) e sin nell intervallo [, π] e loro intersezioni esercizio ) Calcolo di iti di funzioni Esercizio 5. Calcolare i seguenti iti: i) ii) + 3 ; 3 ; iii) 3 ; iv) π tan ; v) vi) vii) viii) tan ; π + 5 ; + 5 ; 5. Esercizio 6. Calcolare i iti a + e della funzione polinomiale p) = + +. Svolgimento. È immediato constatare che p) = +. A invece si presenta la forma di + indecisione. Notiamo però che grazie alle proprietà dei iti si ha + + ) + + = = + + ) = +. Esercizio 7. Calcolare i iti per + e delle seguenti funzioni e confrontare i risultati ottenuti: { { + per < + per f ) =, f ) = per per >. Esercizio 8. Stabilire se la funzione f) = { ) 3 se, ] 3 7 se, + ) 9

10 è continua su tutto il proprio dominio. Esercizio 9. Trovare gli intervalli nei quali le seguenti funzioni sono continue e calcolare i iti agli estremi dei rispettivi dominio e negli eventuali punti di discontinuità: i) + )3 ; ii) ; iii) ; iv) + + ; v) + 3 vi) + ; ; vii) 3 8 ; viii) + + ; i) ) i) 3 + ; 3 + ;. Svolgimento parziale). iv) La funzione f) = + )/ + ) è quoziente di funzioni continue quindi è continua dove è definita, cioè su R \ { }. Calcoliamo + ) + ± + = ± + = ± = ) = ± ; perché per < il numeratore è positivo e il denominatore è negativo, = + perché per > il numeratore è positivo così cme il denominatore. v) La funzione è continua ovunque tranne che in = ; si vede facilmente che dato che + 3 = per si ha f) = +. Pertanto + 3 = ± ; ± + ) ) + 3 = 5. vi) La funzione è continua ovunque tranne che in = ±. Con considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si vede che + ± = ) + ± ) = ; + = + + = + ; + + = + =.,

11 i) La funzione è definita per,, si ha dunque Domf) = [, ), + ). È immediato verificare che = + e che + = Analogamente, poiché per, si trova ) + ) = + = =. Esercizio 3. Calcolare i seguenti iti: i) ; ii) iii) ; sin 7 6 ) + π ) ; 3 iv) v) vi) cos + π ) ; tan + π ) ; π + tan + π ). + Derivate e studi di funzione Esercizio 3. Calcolare, usando la definizione, la derivata della funzione { se, ] f) = se, + ) e stabilirne il dominio. Esercizio 3. Calcolare la derivata di f) = ). Esercizio 33. Studiare la funzione e disegnarne un grafico qualitativo. f) = Svolgimento. Il dominio di f è l insieme R\{3} e la funzione è continua in ogni punto del proprio dominio in quanto quoziente di funzioni continue. La funzione si annulla dove si annulla il numeratore, ossia nei punti = e. Notiamo che è sicuramente maggiore di, è compreso tra e / ed entrambi sono sicuramente minori di 3. Dobbiamo calcolare i iti agli estremi del dominio, cioè a e a +, e nell unico punto di discontinuità, cioè per che tende a 3 ±. Non è difficile verificare che f) =, + f) = +, f) = +, 3 fs) =. 3 +

12 Questo ci dice che f ha un asintoto verticale in = 3; poiché abbiamo iti infiniti all infinito dobbiamo controllare se ci sono anche asintoti obliqui. Si verifica che e f) ± = f) + ) = ; ± la retta y = è dunque un asintoto obliquo di f sia per + sia per. Cerchiamo ora gli intervalli in cui f cresce o decresce e gli eventuali punti a tangente orizzontale studiando la derivata f. f è derivabile in tutti i punti del suo dominio in quanto quoziente di funzioni derivabili ovunque; applicando la regola di derivazione di un quoziente si ottiene f ) = + 3 ). Poiché il denominatore di f è sempre positivo su Domf ) = Domf) il segno della derivata dipende dal segno del numeratore. La derivata si annulla nei punti = 3 e = 3 +, è positiva per, ) e negativa altrove; pertanto è un punto di minimo locale e è un punto di massimo locale. Si può calcolare quanto vale la funzione in questi punti e usare una calcolatrice per stabilire in che ordine sono,, e, ma anche senza fare calcoli si possono fare alcune considerazioni che aiutano a disegnare il grafico. La funzione va a sia per che tende a 3 + sia per che tende a +, è continua dove è definita e non si annulla mai per > 3, dunque nel punto di massimo deve assumere un valore negativo. Nell intervallo, 3) invece la funzione interseca l asse delle ascisse solo in due punti, è continua e ha un unico punto di minimo siamo sicuri che sia unico perché f è derivabile su tutto, 3) quindi tutti i punti stazionari in tale intervallo sono punti in cui la derivata si annulla); l unica possibilità è quindi che il punto di minimo si trovi tra i due zeri di f, cioè < <. Dato che la funzione è continua, va a + agli estremi di, 3), non si annulla in altri punti ed è sempre decrescente in, ) e sempre crescente in, 3), si deve avere f ) <. Studiamo infine la derivata seconda di f: applicando nuovamente la regola di derivazione di un quoziente si trova f 8 ) = 3), dunque f > per < 3 e f < per > 3. Questo ci dice che f ha la concavità rivolta verso l alto a sinistra dell asintoto verticale e rivolta verso il basso a destra. Mettendo insieme tutte le informazioni trovate possiamo disegnare il grafico di f, vedi figura 5. Esercizio 3. Studiare le seguenti funzioni e disegnarne dei grafici qualitativi: i) f) = ; ii) g) = + 3 ; iii) h) = + 3 iv) w) = 3 ; v) y) = ) ; Esercizio 35. Studiare la funzione f) = e cos.

13 Figura 5: Grafico di f), esercizio 33 Svolgimento. Notiamo che f + π) = e cos+π) = e cos = f) quindi f è periodica di periodo π; possiamo pertanto studiarla solo sull intervallo [, pi). La funzione è definita ovunque, continua in quanto composizione di funzioni continue) e sempre positiva. Calcoliamo le derivate: f ) = e cos sin, f ) = e cos sin ) e cos cos = e cos sin cos ). Dato che e cos < sempre, si ha f < quindi f decrescente) in, π), f > quindi f crescente) in π, π) e f = nei punti = e = π, che devono necessariamente essere rispettivamente un massimo locale e un minimo locale; si ha inoltre f) = e e fπ) = /e. Studiamo la concvità di f tramite la derivata seconda; il termine e cos è sempre positivo, quindi il segno di f è determinato da quello di sin cos. Grazie all identità fondamentale sin + cos = si trova che sin cos = cos cos. Effettuiamo la sostituzione ) t = cos e studiamo il polinomio di secondo grado pt) = t t + : p si annulla per t ± = ± 5, è positivo nell intervallo ) )) 5, + 5 ) ) e negativo altrove. Siccome 5 < non esistono valori di tali che cos = 5, ) mentre esistono sicuramente due valori e in [, π) tali che < e cos = + 5, anche se non sappiamo calcolarli esplicitamente senza l aiuto di una calcolatrice. Avremo dunque che cos cos + è maggiore di quando cos )), + 5, ossia per, ), è minore di quando cos )) + 5, ossia per, ) e, π) ed è infine uguale a in e. I punti e sono dunque punti in cui la funzione cambia la concavità, cioè punti di flesso con tangente obliqua). Il grafico di f è rappresentato in figura 6. Esercizio 36. Studiare le seguenti funzioni e disegnarne dei grafici qualitativi: i) f) = log cos + 8 sin 7 ) ; ii) f) = log + ) ; iii) f) = log + ) ; iv) f) = log. Esercizio 37. Studiare la funzione v) = cos sin. 3

14 Figura 6: Grafico di f) con evidenziati i punti di cambio di concavità, esercizio 35 Svolgimento. Si tratta di una funzione abbastanza difficile da studiare con precisione, ma si riesce comunque a capire abbastanza bene come è fatta con le poche informazioni che si riescono a ricavare in modo semplice. Il dominio di v è tutto R. Notiamo subito che v ) = v) per ogni R, cioè v è dispari; possiamo dunque ridurci a studiarla solo sulla semiretta >. La funzione è continua su tutto il proprio dominio, il ite di v per + non esiste se si pensa alle funzioni trigonometriche semplice questo è intuitivamente vero, anche se non lo dimostiamo rigorosamente). La funzione si annulla in tutti i punti tali che tan = ; è immediato vedere che = è uno di questi punti, mentre non ricaveremo esplicitamente tutti gli altri. Si noti comunque che l equazione tan = ha infinite soluzioni si disegnino i grafici di y = tan e y = per convincersene). La derivata è la funzione v ) = sin, che si annulla in = kπ per ogni N. In tali punti la funzione v vale se k è pari e se k è dispari. Inoltre v è positiva in tutti gli intervalli della forma kπ, k +)π con k dispari, e negativa negli intervalli kπ, k +)π con k pari. La derivata seconda è v ) = cos sin ma è abbastanza difficile studiarne il segno quindi non lo faremo. Ciononostante ricordando che la funzione è continua e mettendo insieme le informazioni ricavate possiamo disegnare un grafico ragionevole di v riportato in figura 7). La regola di De l Hôpital Esercizio 38. Calcolare i seguenti iti facendo ricorso, se necessario, alla regola di De l Hôpital: i) ; ii) iii) iv) v) + log ; log ; + log cos ) ; sin ) ;

15 Figura 7: Grafico di v), esercizio 37 vi). + Svolgimento. Useremo la notazione totalmente arbitraria) H = ogni volta che applicheremo il teorema di De l Hôpital le cui ipotesi vanno verificate di volta in volta, anche se qui non lo faremo). i): ii): iii): H = + H = = 6. + log H = + log log = + + H = iv): notiamo innanzitutto che da sin = segue, tramite un semplice cambio di variabili, che ) Abbiamo allora + sin + log cos ) = + H = + = + = +. =. log cos cos = + = + =. ) sin 3 cos ) ) sin ) =. 5

16 v): vi): grazie a quanto ottenuto in iii). sin ) sin = sin H = H = cos sin + cos sin cos sin =. + = + e log = e + log = Esercizio 39. Calcolare i seguenti iti: i) cos ; ii) π iii) sin) sin ; log ). Esercizio. Studiare la funzione sapendo che f ) > per ogni Domf). f) = 3 + Svolgimento. Siccome 3 + è una quantità sempre positiva, f è definita dove è definita, cioè per / e /, e in tali intervalli è continua in quanto somma di funzioni continue. f interseca l asse delle ascisse in tutti i punti nei quali 3 + =. Elevando al quadrato otteniamo 3 + = cioè + =, che non è mai verificata, quindi f non si annulla mai; siccome in = ± vale, è sempre positiva. Inoltre è una funzione pari, cioè f ) = f), quindi possiamo itarci a studiarla per. È immediato verificare che 5 ) + f) = e che Controlliamo se f ha un asintoto obliquo a + : f) = +. + f) + = 3 + ) = 3 ; + + f) 3 ) = ) = + + H = + = + = ) 6

17 Figura 8: Grafico di f), esercizio, con evidenziati massimi e minimi Quindi la retta y = 3 ) è asintoto obliquo di f per +, e per simmetria f è pari!) la retta y = 3) è asintoto obliquo di f per. La derivata di f è f 6 ) = 3 + = ) ) Notiamo che Domf ) =, / ) /, + ) Domf), dunque f non è derivabile nei punti = ±/ pur essendo ivi continua. Siccome su Domf ) il denominatore di f è sempre positivo, il segno della derivata è dato dal segno del numeratore. Ricordando che stiamo studiando f solo sul semiasse positivo abbiamo che il numeratore di f è positivo quando 3 > 3 +, cioè quando > 3/6. f sarà dunque decrescente su [/, 3/6) e crescente su 3/6, + ), pertanto in = 3/6 ha un minimo. Questo ci dice anche che in = / f ha un massimo, che non abbiamo trovato studiando la derivata dato che la funzione non è derivabile in tale punto. Quanto abbiamo trovato è perfetamente compatibile con l informazione che il testo dell esercizio ci forniva, cioè che la derivata seconda è sempre positiva. Grazie alla simmetria di f possiamo disegnare un suo grafico qualitativo figura 8). Esercizio. Risolvere la disequazione al variare del parametro a R. a ) ) a ) > Svolgimento traccia). Deve essere a > perché la disequazione abbia senso. Il primo termine è sempre negativo, il secondo è positivo se > / e negativo altrimenti, resta da studiare il terzo termine. Si vede che per a > a è sempre positivo, per a = si annulla in un punto e per < a < si annulla in due punti e ed è negativo per ogni, ). Bisogna capire dove si trovano e rispetto a /, e a tale scopo bisogn studiare le funzioni nella variabile a, ). Si trova che: ± a a 7

18 per a la disequazione è soddisfatta da tutti gli < /; per < a < la disequazione è soddisfatta per < / e a Esercizio. Risolvere la disequazione al variare del parametro a R. log a ) a ) ) ) a < < a + a. Integrazione: metodi elementari Esercizio 3. Calcolare i seguenti integrali: i) π cos d, ii) π cos) d. Svolgimento. Basta applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale. i): π cos d = sin = sin π sin = ; ii): π cos) d = π π cos) d = sin) π =. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali: i) π sin d ; vi) 3 d ; ii) 3 d ; vii) e d ; iii) d ; viii) d ; iv) v) π ) d ; sin ) d ; i) ) π π ) d ; 3 cos d. Esercizio 5. Calcolare: i) ii) π tan d ; sin ) d ; iii) π cos sin d. 8

19 Svolgimento. i): ii): π π ) tan d = tan d + π π = π = tan π d + π = π. π sin ) d = cos sin ) = cos sin. tan d π iii): π cos sin d = logsin ) π = log sin π =. )) log sin ) Esercizio 6. Calcolare: i) d ; iii) π π sin 5 cos d ; ii) π sin e cos d ; iv) cos d. Esercizio 7. Calcolare le primitive delle funzioni Esercizio 8. Calcolare gli integrali seguenti: i) ii) iii) + + d ; d ; d. Esercizio 9. Calcolare le primitive seguenti: f) = tan, g) = tan3 + 5). sin cos d, ). 9

20 Integrazione per parti e per sostituzione Esercizio 5. Trovare le seguenti primitive: i) sin d ; iv) log d ; ii) cos d ; v) arctan d ; iii) log d ; vi) e sin d. Svolgimento. i) Applicando la formula di integrazione per parti f g = fg f g con f) = e g ) = sin troviamo sin d = cos cos ) d = cos + sin + C. iii) Scegliamo f) = log e g ) = : log d = 3 3 log d = 3 3 log C. iv) Scriviamo log d = log d e nella formula di integrazione per parti scegliamo f) = log e g ) = ottenendo log d = log d = log + C. v) arctan d = arctan + d = arctan + d = arctan d + = arctan + arctan ) + C. + d vi) Integrando per parti si arriva all uguaglianza e sin d = e cos + e cos d = e sin cos ) e sin d ; portando a primo membro l integrale che compare nell ultima riga si trova e sin d = e sin cos ) + C.

21 Esercizio 5. Calcolare: π π cos d, π sin d, e log d. Esercizio 5. Trovare le primitive della funzione f) = +. Svolgimento. Ricordiamo innanzitutto che d = arctan + C. + Scriviamo dunque: + d = + ) d = + ) d e applichiamo la sostituzione t = /, che implica dt = d, ottenendo + ) d = + t dt = arctan t + C, dunque Esercizio 53. Calcolare: + d = arctan + C. + d, 3 + d, 9 π 6 arctan d Hint: sfruttare l esercizio 5v)). Esercizio 5. Trovare le primitive di Svolgimento. f) = sin cos 3 etan. sin cos 3 d = sostituiamo tan = t, da cui dt = / cos ) d) = te t dt tan cos etan d integriamo per parti) = te t e t dt = te t e t + C = e tan tan ) + C.

22 Figura 9: Cerchio di raggio r = esercizio 55).

23 Figura : Grafico di f) = e area sottesa; grafico di u) = esercizio 55). Esercizio 55. Calcolare l area del cerchio di raggio. Svolgimento. Nel piano munito di coordinate cartesiane, y), il cerchio di centro a, b) e raggio r è l insieme {, y) R tali che } a + y b r. Nel nostro caso r = e, dato che l area non dipende da dove è posizionato il centro del cerchio, possiamo scegliere come centro il punto, ). Dobbiamo dunque trovare l area dell insieme C = {, y) R : + y }. 8) La circonferenza che è la curva che deita il cerchio) non può essere espressa nella forma y = f) o nella forma = gy)), in quanto ad ogni [, ] corrispondono due valori di y vedi figura 9); più precisamente dalla 8) segue che ad ogni [, ] corrispondono sulla circonferenza i due valori y = ±, pertanto la corrispondenza [, ] y [, ]:, y) C non è una funzione. Possiamo però considerare la semicirconferenza superiore, che è il grafico della funzione y = f) = ; avremo allora che l area del semicerchio A compreso tra l asse delle e il grafico di f è metà dell area del cerchio figura ). Per trovare l area di A è sufficiente calcolare d. Sostituendo = sin t, d = cos t dt ci si riconduce a calcolare arcsin) arcsin ) sin t cos t dt = π π cos t cos t dt ; 3

24 nell intervallo [ π/, π/] si ha cos t quindi cos t = cos t = cos t, pertanto si può scrivere ricordando l esercizio 5) = π π cos t dt = cos t sin t + t) π π = π. Pertanto areac) = areaa) = π, a conferma del fatto che l area del cerchio di raggio r è uguale a πr.