Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli

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1 Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 07/8 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli 6 foglio di esercizi - 5 ottobre 07 grafici, massimi/minimi, regola di de l Hôpital 6. Esercizio - Determinate, al variare di k R, il numero delle soluzioni dell equazione log = k. [Suggerimento: tracciate un grafico qualitativo di log.] Soluzione. Studiamo brevemente la funzione f () = log. Abbiamo dom f = ]0,+ [ ; f continua su ]0,+ [ ; f () = 0. Infatti basta applicare il Teorema di de l Hôpital a log 0 + e si ha pertanto da valutare (log) 0 +. Siccome si ha ancora una forma indeterminata del tipo, riapplichiamo il Teorema di de log l Hôpital: = 0. Pertanto si ha che = f () = +. + f () = log + (log) = log(log + ) e dom f = ]0,+ [. Inoltre f () = 0 =, = e ; f () 0 ]0,e ] [,+ [ Dunque = e è un punto di massimo locale per f, mentre = è un punto di minimo locale per f. I valori assunti da f in tali punti sono: f (e ) = e (loge ) = 4e, f () = 0. Nella figura sotto si vede tracciato il grafico qualitativo della funzione f. Possiamo allora asserire che Se k < 0, log = k non ha soluzioni. Se k = 0, log = k ha una soluzione.

2 Se 0 < k < 4e, log = k ha tre soluzioni. Se k = 4e, log = k ha due soluzioni. Se k > 4e, log = k ha una soluzione. 6. Esercizio - Sia f (t) = t + cost per ogni t > 0. Dopo aver verificato che la funzione è invertibile, calcolate f (π ) e ( f ) (π ). Soluzione. Si ha f (t) = t sint. Siccome per 0 < t < π si ha (sint) = sint < 0, la funzione sint è concava in (0,π), per cui sta al disotto di ogni sua retta tangente. La retta tangente al grafico di sint in (0,0) è y = t (si ha (sint) = cost, per cui (sint) t=0 = ), per cui si deduce sint < t per 0 < t < π, e quindi per 0 < t < + (sint per ogni t, mentre la retta y = t sta al di sopra della retta y = π > per t π). A maggior ragione abbiamo verificato che sint < t per t > 0, e quindi f (t) > 0 t > 0; dunque f è strettamente crescente in (0,+ ) ed invertibile in quell insieme. [La dimostrazione che f (t) > 0 per t > 0 si può fare anche senza mettere in campo la concavità: ad esempio, si ha f (t) = cost > 0, per cui f è strettamente crescente. Siccome f (0) = 0, ne consegue f (t) > 0 per t > 0... Ma parlare un po di concavità non fa male...] Ora t 0 = f (π ) è la soluzione (positiva) di f (t 0 ) = π, dunque di t0 + cost 0 = π. Si vede subito che si ha t 0 = π. La derivata ( f ) (π ) è data da f ( f (π )) = f (π). Essendo f (π) = (t sint) t=π = π, ne segue ( f ) (π ) = π. 6.3 Esercizio - (i) Rappresentate graficamente la funzione f : R R definita da: se < 0 f () = cos se 0 < π π se π; (ii) individuate i punti di massimo relativo e di minimo relativo; (iii) individuate i punti in cui si ha f () = 0; (iv) individuate i punti in cui si ha f () = 0. Soluzione. (i) (ii) Si noti che la funzione f è continua su tutto R, infatti basta controllare la continuità di f nei punti = 0 e = π : 0 = ) = f (0) = 0, 0 +(cos π ) = π ) = f (π) = 0 (cos +( π

3 Calcoliamo la derivata f di f : se < 0 f () = sin se 0 < π se > π; Controlliamo ora la continuità di f : 0 f () = 0 = 0 e 0 + f () = 0 +( sin) = 0, dunque f è continua in = 0. f () = π π ( sin) = 0 e f () = π + π +( ) = e quindi non esiste f (π). Dunque f non è derivabile in = π e = π è un punto angoloso per f. Si ha quindi che f è continua su dom f = R \ {π}. Inoltre = π è un punto di minimo relativo di f e vale f (π) = ; = π è punto di massimo relativo per f e vale f (π) = 0. (iii) Per quanto osservato al punto precedente si ha che f () = 0 per = 0 e = π. (iv) Calcoliamo la derivata seconda f di f : se < 0 f () = cos se 0 < < π 0 se > π; Dunque f () = 0 per = π e = 3 π. 6.4 Esercizio - (i) Rappresentate graficamente la funzione f : R R definita da: { se < 0 e f () = e se 0; (ii) individuate i punti di massimo relativo e di minimo relativo; (iii) individuate i punti in cui si ha f () = 0; (iv) individuate i punti in cui si ha f () = 0. Soluzione. Studiamo la funzione f. La funzione f è continua per ogni R \ {0}, infatti per 0 la funzione è continua perché prodotto e composizione di funzioni continue in R \ {0}, mentre in = 0 non è continua poiché Inoltre f () = 0 0 f () = =, e =, e f () = e = f (0) = + 3 f () = + + e = 0

4 Calcoliamo la derivata f di f. f () = + (e ) se < 0 e e se > 0 e ; Si osserva inoltre che dom f = R \ {0,}, infatti f () = e, + f () = e e f è continua sul suo dominio di definizione. Studiamo il segno di f. Come si vede rappresentato nella figura sulla destra, si ha f () 0 per e <. (ii) Dunque = e = sono entrambi punti di massimo relativo per f mentre = è un punto di minimo relativo per la funzione f. (iii) Inoltre f () = 0 = e =. (iv) Calcoliamo ora f. Si osserva che dom f = dom f e e ( + + ) (e ) 4 se < 0 f () = e (3 ) se 0 < < ; e ( 3 + ) se > ; Lo studio del segno di f si vede nella figura sulla destra. Si noti che f () = 0 per = 3. Nella figura sotto si vede rappresentato il grafico della funzione f. 4

5 6.5 Esercizio - Determinate per quali delle seguenti funzioni il punto = è un punto di massimo relativo: (i) ( ) 5 ( ) 4 (ii) ( ) 5 + ( ) 4 (iii) ( ) 4 + ( ) 3 (iv) Soluzione. (i) Notiamo che per la funzione y = ( ) 5 ( ) 4 si comporta come la funzione y = ( ) 4 che ha un punto di massimo relativo per =. Pertanto anche la funzione y = ( ) 5 ( ) 4 ha un punto di massimo relativo in = come si vede anche nella figura a fianco. Le funzioni y = ( ) 5 e y = ( ) 4 sono state rappresentate tratteggiate. 5

6 (ii) Notiamo che per la funzione y = ( ) 5 +( ) 4 si comporta come la funzione y = ( ) 4 che ha un punto di minimo relativo per =. Dunque la funzione y = ( ) 5 + ( ) 4 non ha un punto di massimo relativo in = come si vede anche nella figura a fianco. (iii) Si osserva che per la funzione y = ( ) 4 + ( ) 3 si comporta come la funzione y = ( ) 3 che ha un punto di flesso per =. Dunque la funzione y = ( ) 4 + ( ) 3 non ha un punto di massimo relativo in = come si vede anche nella figura a fianco. (iv) Si osserva che per la funzione y = = ( 5 ) + ( 4 ) si comporta come la funzione y = 9 4 ( 4 ) per cui = non è un punto critico. Dunque la funzione y = non ha un punto di massimo relativo in = come si vede anche nella figura a fianco. 6.6 Esercizio - Determinate il massimo assoluto e il minimo assoluto delle seguenti funzioni: (i), [3,5], (ii) , [,], (iii) , [,]. Soluzione. (i) Consideriamo la funzione f () =. Notiamo che per 3 5, la nostra funzione è data dal quoziente di due funzioni continue quindi sarà anch essa continua. Per il Teorema di Weierstrass, una funzione continua su un intervallo chiuso e itato ammette massimo e minimo su tale intervallo. Determiniamo innanzitutto gli eventuali punti in cui si annulla la derivata prima f : f () = ( ) 4 = = =

7 Dunque, nell intervallo considerato, f () 0 per 3 4 e si annulla unicamente nel punto = 4 [che, se già si è a disposizione dell informazione che il segno di f detta la crescenza/decrescenza di f, risulta quindi essere il punto di massimo assoluto nell intervallo [3,5], poiché f cresce prima di 4 e decresce dopo 4)]; in tale punto la funzione vale f (4) =. Restano da valutare i valori della funzione negli estremi del nostro intervallo: 8 f (3) = 9 f (5) = 3 5. Pertanto il minimo assoluto della funzione f nell intervallo [3,5] è, raggiunto in corrispondenza del punto = 3, 9 mentre il massimo assoluto è 8, raggiunto nel punto = 4. (ii) Consideriamo la funzione g() = nell intervallo [,]. Tale funzione è una funzione polinomiale e dunque continua in tutto R e quindi a maggior ragione risulta essere continua nell intervallo [,]. Come nel caso precedente, guardiamo innanzitutto se e dove si annulla la funzione derivata prima g all interno dell intervallo [,]: g () = +8 ; g () 0 6( +3 ) 0 ((, ] [ ) [ ],+ ) [,] =,. In particolare g ( ) = 0, e è l unico punto di annullamento di g nell intervallo [,]. [Se già si è a disposizione dell informazione che il segno di g detta la crescenza/decrescenza di g, si osserva che si tratta del punto di minimo assoluto per g nell intervallo considerato (g decresce prima di e cresce dopo ).] Il valore assunto dalla funzione nel punto è g( ) = 9. Si devono valutare ora i valori assunti dalla funzione g agli estremi dell intervallo 4 [,]: g( ) = = 8 g() = =. Pertanto il massimo assoluto della funzione g nell intervallo [, ] è 8, raggiunto in corrispondenza del punto =, mentre il minimo assoluto è 9 4 ed è raggiunto in corrispondenza del punto =. (iii) Consideriamo la funzione h() = per [,]. Si tratta di una funzione polinomiale dunque è certamente continua nell intervallo [,]. La derivata prima h è la funzione h () = 3 + 9; h () 0 3( 4 + 3) 0 ( (,] [3,+ ) ) [,] = [,]. Pertanto, nell intervallo [,] l unico punto di annullamento di h è =. [Se già si è a disposizione dell informazione che il segno di h detta la crescenza/decrescenza di h, si osserva che si tratta del punto di massimo assoluto (h cresce prima di e decresce dopo ).] In tale punto la funzione vale h() = 6+9+ = 5. Valutando i valori assunti da h agli estremi dell intervallo, si vede che: h( ) = = 49 h() = = 3. Quindi il minimo assoluto di h nell intervallo [,] è 49, raggiunto nel punto =, mentre il massimo assoluto di h è 5, raggiunto nel punto =. 6.7 Esercizio - Studiate le seguenti funzioni (dominio, iti, segno, continuità, derivabilità, crescenza/decrescenza, punti di massimo e di minimo (assoluto e relativo), convessità/concavità e tracciate di ciascuna un grafico qualitativo): (i) 3 (ii) 3 e (iii) e + (iv) (log ). Soluzione. (i) Sia f () = dom f = R \ {} ; 3, si osserva che f () = 0, dunque y = 0 è asintoto orizzontale per f, per ; 7

8 f () = 0, dunque y = 0 è asintoto orizzontale per f, per + ; + f () =, dunque = è asintoto verticale per f ; f () = + ; + Segno di f. La funzione f è un quoziente di due funzioni, pertanto f () 0 quando la funzione al numeratore e quella al denominatore hanno lo stesso segno. Lo studio dei segni è riportato nella figura sulla destra. Dunque f () 0 per ],0] ],+ [. f è continua sul suo dominio perché quoziente di funzioni continue; dom f = R \ {}, f () = 3 (3 ) ( 3 ) = 3 ( 3 ), f () = 0 3 = = 3 Segno di f. Nella figura sulla destra si vede lo studio dei segni per f. Si osserva che = 3 è un punto di massimo relativo per f. dom f = dom f, f () = 6 ( 3 + ) ( 3 ) 3. Nella figura a destra è rappresentato il segno di f. In particolare si osserva che = 3 è un punto di flesso per f. A questo punto possiamo tracciare il grafico qualitativo di f : 8

9 (ii) Sia f () = 3 e, si osserva che dom f = R ; f () = f () = 0, dunque y = 0 è asintoto orizzontale per f, per + ; + Segno di f : poichè e > 0 per ogni R, si ha che f () 0 per 3 0 cioè 0. f è continua su R perché composizione e prodotto di funzioni continue ; dom f = R, f () = 3 e 3 e = (3 )e f () = 0 = 0, = 3 Segno di f. Poiché e 0 per ogni R, si ha che f () 0 per 3 0 cioè 3. Dunque = 3 è un punto di massimo relativo per f e f (3) = 7 e 3.3. dom f = R, f () = e (3 ) e (3 ) e = e ( 6 + 6) Segno di f. Nella figura a destra è rappresentato il segno di f. In particolare si osserva che = 0, 3 ± 3 sono punti di flesso per f. Nella figura che segue si vede rappresentato il grafico di f. (iii) Sia f () = e +, si osserva che dom f = R ; e + = e (+) + = e e (+) quindi il grafico di f è simmetrico rispetto alla retta =. f () = 0, dunque y = 0 è asintoto orizzontale per f, per ; f () = 0, dunque y = 0 è asintoto orizzontale per f, per + ; + Segno di f : f () 0 per ogni R. f è continua su R perché somma e composizione di funzioni continue su R ; 9

10 dom f = R, f () = ( + )e + f () = 0 = Segno di f. Poiché e + > 0, si ha che f () 0 per + 0 cioè. Dunque = è un punto di massimo relativo per f e f () = e. dom f = R, f () = e + +( +) e + = e + (4 8+) = ( 4+)e + Segno di f. Nella figura a destra è rappresentato il segno di f. In particolare si osserva che = ± sono punti di flesso per f. Nella figura sotto è rappresentato il grafico di f. (iv) Sia f () = (log ), si osserva che dom f = ]0,+ [ ; f () = 0 (per calcolare questo ite si può usare il Teorema di de l Hôpital) ; 0 + f () = + ; + Segno di f : f () 0 per log cioè per e. f è continua su ]0,+ [ perché prodotto di funzioni continue su ]0,+ [ ; dom f = ]0,+ [, f () = (log ) + = (log ) Inoltre notiamo che f () = f () = 0 = e Segno di f. Poiché dom f =]0,+ [, si ha che f () 0 se log 0 cioè e. Dunque = e è un punto di minimo relativo per f e f ( e) = e.3. dom f = ]0,+ [, f () = (log ) + = log +. Dunque f () 0 se log cioè per e. 0

11 In particolare si osserva che = e è un punto di flesso per f. Nella figura sotto è rappresentato il grafico di f. 6.8 Esercizio - Calcolate i seguenti iti utilizzando la regola di de l Hôpital: (i) log( + ) arcsin π + sin( 3 ), (ii), (iii) 0 ( + )( sin ). sin Soluzione. Regola di de l Hôpital Siano f,g : (a,b) R due funzioni derivabili in (a,b) (con eventualmente a = ). Sia g () 0 per ogni (a,b). Sia inoltre Allora a f () f () = g() = 0 oppure + oppure ed esista, finito o infinito, + a + a + g (). Risultato analogo vale scambiando il ruolo di a e b. f () a + g() = f () a + g (). (i) Scrivendo t =, il ite viene riscritto per t 0+. Si ha, applicando due volte la regola: log(t + ) t = t + t 0 + t sin(3t) t 0 + sin(3t) + 3t cos(3t) = (t + ) t 0 + 3cos(3t) + 3cos(3t) 9t sin(3t) = 6. (ii) arcsin π = = + = =.

12 (iii) Si ha, applicando quattro volte la regola ed utilizzando ripetutamente la formula trigonometrica sin cos = sin(): ( 0 + )( sin ) = sin 0 sin = sin sincos 0 sin = 0 sin + sincos = 0 = 0 sin() sin + sin() = 0 cos() sin + sin() + sin() + cos() 4sin() sin() + 4sin() + 8cos() + 4cos() 4 sin() = 0 = 0 sin() 3sin() + 6cos() sin() 4cos() 6cos() + 6cos() sin() 4sin() 4 cos() = 4 = 3.