Analisi Matematica 1 - a.a. 2017/ Quarto appello

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1 Analisi Matematica - a.a. 07/08 - Quarto appello Soluzione del test Test A E C B B C A D C C D Test B C B C E B A E E D B Test C A A D B E C A C D D Test D D B A A B E A E B D Soluzione della parte di esercizi del Tema Esercizio Studiare la funzione definita da fx = ln. Dominio, eventuali simmetrie, segno, eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, intervalli di monotonia, eventuali punti di estremo relativo ed assoluto, studio della derivata seconda, intervalli di convessità e concavità ed eventuali punti di flesso, abbozzo del grafico] Dominio. Deve essere 0 e > 0, da cui si ottiene dom f =], ]0,. Simmetrie. Poiché il dominio dom f della funzione non è simmetrico rispetto ad x = 0, f non è pari nè dispari. Segno. Poiché ln 0 x < x, considerato che 0 in dom f se e solo se x >, si ottiene che fx 0 se e solo se x e che fx = 0 se e solo se x =.

2 Continuità. dominio. Essendo prodotto e composizione di funzioni continue, f è continua nel suo Asintoti. Si ha lim ln =, x 0 x e quindi la retta x = 0 è asintoto verticale per f. Inoltre ] lim ln = lim ln ln = 0, x x x e quindi f è prolungabile per continuità in x = ponendo f = 0. Allora d ora in poi considereremo f definita e uguale a zero in x =. Ricerchiamo eventuali asintoti orizzontali. Poiché lim ln = ln, si ha lim fx = ±, e quindi la funzione non ammette asintoti orizzontali. Ricerchiamo eventuali asintoti obliqui. Poiché fx lim x = lim x ln = ln, e ] x lim fx x ln = lim ln ln = lim = lim ln ln ] ] x ln ln o / la retta di equazione y = x ln ln è asintoto obliquo completo per f. ] = ln, Derivabilità. Per x la funzione è derivabile perché prodotto e composizione di funzioni derivabili, e vale f x = ln = ln x. Inoltre, poiché f è continua in x = e vale lim f x =, x per il teorema del limite della derivata la funzione non è derivabile in x =. Per studiare il segno di f conviene prima studiare f.

3 Derivata seconda e intervalli di convessità/concavità. f è derivabile due volte per x, x dom f. In tali punti si ha f x = x = x x = x, da cui si deduce che f x 0 in dom f se e solo se x <. Allora f è convessa in ], ] e concava in ]0,. Intervalli di monotonia. Poiché f x > 0 se e solo se x <, si ottiene che f è crescente in ], e decrescente in ]0,. Essendo lim f x = ln > 0, si deduce che f x > 0 per ogni x dom f, e quindi f è strettamente crescente in ], ] e in ]0,. Un abbozzo del grafico è riportato in figura. Figura : Il grafico in blu della funzione; in verde l asintoto obliquo, in rosso quello verticale Esercizio Determinare il carattere della serie al variare del parametro α > 0. n α sen/n n= 3

4 La serie è a termini non negativi e quindi siamo autorizzati ad utilizzare il criterio asintotico del confronto. Grazie al fatto che sen x = x x3 6 ox3 per x 0, si ha sen/n = n 6n 3 o/n3 per n. Allora, per n vale n α sen/n = n α n n 6n 3 α se 0 < α <, o/n3 6n 3 se α =, da cui si deduce che la serie data converge se e solo se α =. Esercizio 3 n se α >,. Calcolare per parti arctan dx.. Utilizzando il metodo della separazione delle variabili, calcolare la soluzione del problema di Cauchy y = y arctan y0 = 0.. Integrando per parti si ottiene arctan dx x /. Procedendo per separazione di variabili si ottiene ln y = arctan dx, dx x dx ln ] arctan c ln x arctan c.

5 e quindi ln yx ln x arctan c. Sfruttando la condizione iniziale y0 = 0 si ottiene 0 = ln π c, da cui c = π ln. Allora la soluzione del problema di Cauchy soddisfa ln yx ln x arctan π ln, cioè yx = exp x arctan ln x arctan π ln ]. Essendo y0 = > 0, si ottiene che ] x yx = exp x arctan ln arctan π x = exp x arctan arctan π ] è la soluzione cercata. 5