UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Ingegneria Online, A.A Analisi Matematica I Prova scritta del

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1 UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Ingegneria Online, A.A.0 05 Analisi Matematica I Prova scritta del Per l esame da crediti: svolgere gli esercizi da a 5tempo 80 minuti Per l esame da 0 crediti: svolgere tutti gli esercizi tranne il numero 5,6,7 tempo 50 minuti Per l esame da 5 crediti, solo seconda parte: svolgere gli esercizi esercizi,,6,7 tempo 00 minuti. Si calcoli lo sviluppo di Taylor all ordine 0 centrato nell origine della funzione fx = sinx ln x. Sia data la funzione fx = x + x + x Trovare il dominio di f detto D, eventuali asintoti, monotonia, eventuali punti di massimo/minimo relativo/assoluto, eventuali punti di non derivabilità, 5 concavità, convessità, 6 disegnare un grafico della funzione. Si trovi per quali valori di α converge l integrale dx xln + x α + x /. Studiare la convergenza della serie seguente al variare di α R + n= n n + n α + sen n α 5. Sia data la funzione di due variabili fx, y che vale y 0. ln + xy y se y > 0 e che vale x se Si trovino i punti in cui è : i continua, discontinua ii derivabile, non derivabile. Ladddove è derivabile si calcolino le derivare parziali, iii Si trovino i punti in cui la funzione è differenziabile. Si svolgano tutti i calcoli necessari che vanno allegati al compito. Sbagliare una delle derivate richieste al punto ii, comporta l annullamento del compito. Le derivate, qualora esistano, vanno calcolate anche sugli assi cartesiani 6. Si risolva la equazione z + z + i + 7 = 0.

2 7. Si risolva l equazione differenziale { y x + y x + y = x y0 =, y 0 = 0 Punteggi crediti Valgono rispettivamente 6, 7, 5, 6, 6 0 crediti Valgono rispettivamente 7., 7.5, 7.5, crediti Valgono rispettivamente 8, 8, 6, 8

3 Abbiamo sin y = y y 6 + oy. Poi abbiamo Ne segue che y = x ln x = x y = x 9 + sinx ln x = x 8 k= x0 8 k= x k k + ox0 + ox 0 x k k + x9 6 x0 + ox 0. Il dominio della funzione è tutto R essendo la radice cubica. x Segno. + x + x se e solo se xx x 0 e quindi, dette x = 05, x + = + 05, si ha che la funzione è positiva per x < x e 0 < x < x + ; negativa altrove. Non ha asintoti orizzontali né verticali. Per quanto riguarda gli asintioti obliqui, possiamo seguire due strade. La prima. Eseguiamo lo sviluppo asintotico della funzione. fx = x / x 6 x = x / x + O x x da cui segue che lim fx x ± + = 0 / / = x / + / + O x La seconda. Come al solito si calcola lim x ± fx/x = /. Poi si calcola x lim fx + x ± / x = + x + x + / x Ora si può sviluppare asintoticamente come sopra o usare a + b = a + ba ab + b e quindi x + x + x + / x x + x + x + / x = x + x + x + / x / x x + x + x

4 ossia Derivate x / = / x x x 6 x / + x x + x + x x / / + x x 6 x / / = / x x 6 / / 6 = / x x f x = x + x + 0 x x + x + x e quindi, /, è un minimo mentre, / / è un massimo. Tralasciamo i punti di flesso. Il grafico è facilmente tracciabile. Per poter fare bella figura in chi corregge, sarebbe opportuno evidenziare che per x 0, x, x +, la tangente al grafico tende a diventare verticale. Si trovi per quali valori di α converge l integrale + dx +. = f xln + x α + x / α xdx. Se dimostriamo che f α x g α x con + g α xdx < +, allora anche f α, xdx < +. Spezziamo l integrale come Cominciamo con I. f α xdx = f α x f α xdx + xln + x α f α xdx. = I + I ed essendo dx un normale integrale di Riemann di una funzione continua, xln + x α esso converge per qualsiasi valore di α. I. f α x x /, Dunque l integrale converge per ogni valore di α. dx < + x /

5 Sia 0 < α <. Detta a n la successione, si ha a n = n n + n α + n sen = n [ α n = n nα α n + O + ] n n + O α n α Come si vede, ogni termine di a n dà luogo ad una serie convergente e quindi la serie a n converge per ogni valore di α compreso fra α = 0 e α =. Sia α 0. Abbiamo a n = n n + n α + n O = [ n = n nα α n + O + ] O n ed accade la stessa cosa. Sia ora α >. a n = n n α/ + n α + n α sen = n [ α n = n n α/ n α/ α/ n + α/ nα/ O + ] n α/ n + O α n α Ora nα/ n α = n α/ e se vogliamo che la relativa serie converga, bisogna che α > /, ; relazione questa certamente soddisfatta da α >. Tutti gli altri temini vanno a zero più velocememte per cui le relative serie convergono anch esse. La risposta quindi è che la serie converge per ogni valore di α. 5 Si veda qui perfetti/didattica/gestionale-analisiii--5/ ing-gest-frontale.pdf

6 6. Usando la formula delle equazioni di secondo grado si ha z, = i ± 8i = i i ± = = i ± e iπ/ = i ± + i da cui + i, i 7. La soluzione generale è yx = axe x + be x + x da cui con le condizioni iniziali yx = xe x + e x + x